第一章7复合函数的导数

1、复合函数的导数复合函数的导数一.复习与引入：1.函数的导数的定义与几何意义.2.常见函数的导数公式.3.导数的四则运算法则.4.例如求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式展开,利用 导数的四则运算法则求导.然后能否用其它的办法求导呢?又如我们知道函数y=1/x2的导数是 =-2/x3,那么函数 y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?y 为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算法则,这就是复合函数的导数.设函数 在点x处有导数 ,函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数 ,则复合函数在点x处也有导数,且 或记二. 新课复合函数的导数1.复合函数的概念:对于函数y=f (x)

2、,令u= (x),若y=f(u)是中间变量u的函数, u= (x)是自变量x的函数,则称y=f (x)是自变量x的复合函数. 2.复合函数的导数:)(xu )(xux )(ufyu )(xfy ;uyyxux ).()()(xufxfx 如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以有,令y=u2,u=3x-2,则 从而 .结果与我们利用导数的四则运算法则求得的结果完全一致., 3,2 xuuuy1218 xuyyxux 在书写时不要把 写成 ,两者是不完全一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变量 的求导.)()(xfxfx )(x 3.复合函数的求导法则: 复合函数对自变量的导数

3、,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.法则可以推广到两个以上的中间变量法则可以推广到两个以上的中间变量. 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接求导,就不必再选其他中间变量. 复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要有机的结合和综合的运用.要通过求一些初等函数的导数,逐步掌握复合函数的求导法则.三. 例题选讲：例1:求下列函数的导数:5) 12() 1 ( xy解:设y=u5,u=2x+1,则:xuxuyy 21254)( x41210)(xxuxu)()(125254 u

4、解:设y=u-4,u=1-3x,则:xuxuyy4)31 (1) 2(xy )( 345u53112)(xxuxu)()(31442)sin1()3(xy 解:设y=u4,u=1+v2,v=sinx,则:xvuxvuyy 说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.xvuxvu)(sin)()( 241xvucos243xxxcossin)sin(21432xx21432sin)sin( 例2:求下列函数的导数:解:)()(xxxxxxy12124333(2)(2)51xxy解:)()(xxxxy115154)()(1161242233xxxxx43121)( )(xxxy5654151)

5、(xx25411151)()(xxx(3)y=tan3x;解:)(tan)(tanxxy23)cossin(tanxxx23xxxxxxx223cos)sin(sincoscos)cossin( xxx2213cos)cossin( xx423secsin (4)221) 32 (xxy xxxxxy212132142122212)()()(22132xxy)(解:2122132)(xx22213214xxxxx)(.1623xxx例3:如果圆的半径以2cm/s的等速度增加,求圆半径r= 10cm时,圆面积增加的速度.解:由已知知:圆半径r=r(t),且 = 2cm/s.tr 又圆面积s=r2

6、,所以=40(cm)2/s.210221010 rtrtrrs|故圆面积增加的速度为40(cm)2/s.例4:在曲线 上求一点,使通过该点的切线平行于x轴,并求此 切线的方程.211xy 解:设所求点为p(x0,y0).则由导数的几何意义知:切线斜率.,)(|)()(00121102200200 xxxxxfkxx把x0=0代入曲线方程得:y0=1.所以点p的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.例5:设f(x)可导,求下列函数的导数: (1)f(x2);(2)f( );(3)f(sin2x)+f(cos2x)21x 解: );(2)()() 1 (222xf xxxfy );1(1122)

7、1() 2(2222xfxxxxxfy ).(cos)(sin2sin)sin(cos2)(coscossin2)(sin)(cos(cos)(sin(sin )(cos)(sin) 3(2222222222xfxfxxxxfxxxfxxfxxfxfxfy 说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则. 我们曾经利用导数的定义证明过这样的一个结论:“可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函数为偶函数”.现在利用复合函数的导数重新加以证明:证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x求导得: ,故 为奇函数.)(

8、)()()(xfxfxfxxf )(xf 同理可证另一个命题. 我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数的导函数也是周期函数.证:设f(x)为可导的周期函数,t为其一个周期,则对定义域内的每一个x,都有f(x+t)=f(x). 两边同时对x求导得: 即 也是以t为周期的周期函数.),()(xftxtxf ).x (f)tx (f) x (f例6:求函数 的导数. 11311)(2xxxxxf说明:这是分段函数的求导问题,先根据各段的函数表达式,求出在各可导(开)区间的函数的导数,然后再用定义来讨论分段点的可导性.解:当x1时, . 1312)(xxxxf又 ,故f(x)在x=1处连续.2) 1 ()(lim)(lim11 fxfxfxx而; 2) 1(lim121lim1) 1 ()(lim1211 xxxxfxfxxx;33lim12)1(3lim1)1()(lim111 xxxxxxfxf,11)(lim1) 1 ()(lim11xxfxfxfxx从而f(x)在x=1处不可导.1312)( xxxxf四.小结：利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变量是复合函数求导的关键