第三讲分离变量法1

1、第三章第三章 分离变量法分离变量法1. 1. 叠加原理叠加原理 本章介绍求解有界区域上的线性偏微分方程定解问题的本章介绍求解有界区域上的线性偏微分方程定解问题的基本方法基本方法分离变量法。其理论基础是分离变量法。其理论基础是fourier级数展开，级数展开，也称也称fourier级数方法。级数方法。在此之前，先介绍叠加原理在此之前，先介绍叠加原理在物理学研究中经常出现这样的现象：几种不同原因的综合在物理学研究中经常出现这样的现象：几种不同原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独（假设其他原因不存在）所产生的效果等于这些不同原因单独（假设其他原因不存在）产生的效果的累加。这就是叠加原理。它对于

2、用线性方程和产生的效果的累加。这就是叠加原理。它对于用线性方程和线性定解条件描述的物理现象来说，都是成立的。线性定解条件描述的物理现象来说，都是成立的。例如：若例如：若u1 1(x, t)是方程是方程的解，而的解，而u2 2(x, t)是方程是方程),(222222txfxuatu的解，则对于任意的常数的解，则对于任意的常数c1、c2，函数，函数),(),(),(2211txuctxuctxu是方程是方程),(),(221122222txfctxfcxuatu的解。的解。典型例子：声学中把弦线振动时所发出的复杂的声音分解成各种典型例子：声学中把弦线振动时所发出的复杂的声音分解成各种单音的叠加。

3、单音的叠加。),(122222txfxuatu10)sincos(2)(kkklxkblxkaaxflldlkfl,cos)(1ak,sin)(1bkdlkflll2傅立叶级数傅立叶级数若若f(x)是以是以2l为周期的函数，在为周期的函数，在-l，l上满足上满足dirichlet条条件，即在上只有有限多个第一类间断点和有限多个极件，即在上只有有限多个第一类间断点和有限多个极值点，则在值点，则在-l，l上上f可以展开成可以展开成foureir级数级数10cos2)(kklxkaaxfldlkfl0k,cos)(2a,sin)(2b0kdlkfll1sin)(kklxkbxf当当f为奇函数时，为奇

4、函数时，当当f为偶函数时，为偶函数时，3 3常系数常系数二阶二阶线性常微分方程的通解线性常微分方程的通解02cbkak0cybyayxkxkececy(x)2121(1). 当当k1,k2为实数且为实数且k1k2时，时，(2). 当当k1=k2=k时，时，(3). 当当k1= , k2=kxexccxy)()(21)sincos()(21xcxcexyxii特征方程特征方程:3-1 3-1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动齐次弦振动齐次弦振动方程的初边值问题方程的初边值问题0:0:0),(),(:0, 022222ulxuxxtuxutxuatu我们设想先求出足够多的变量分离形式的非平凡我们设

5、想先求出足够多的变量分离形式的非平凡( (即不恒为零即不恒为零) )的特解的特解u(x,t)=x(x)t(t)，然后把这些特解叠加得到问题的最终，然后把这些特解叠加得到问题的最终解解以下我们详细介绍如何运用这一思想求解初边值问题：以下我们详细介绍如何运用这一思想求解初边值问题：iiittxxtxu)()(),(3.1设设0)()()()(2 ttxxattxx将上式分离变量，将上式分离变量，有：有：2 . 3)()()()(2xxxxttatt 在在(3.2) 式中，左边仅是式中，左边仅是t的函数，右边仅是的函数，右边仅是x的函数，左右两的函数，左右两端要相等，只有等于同一个常数才可能。记这个

6、常数为端要相等，只有等于同一个常数才可能。记这个常数为-(其其值待定值待定)，就得到：，就得到：4 . 30)()(3 . 30)()(2 xxxxttatt带入方程带入方程(3.1)，得到：，得到：)()(),(ttxxtxusturm-liouville方程方程情况情况a a 当当0, =0以以及及0而不同，下面分以上三种情况讨论。而不同，下面分以上三种情况讨论。0)()( xxxx-kx(0)=0， x (l)=0sturm-liouville问题问题特征值特征值问题问题：寻找寻找值使值使s s-l-l问题问题有非零解有非零解。0)()( xxxx特征方程的实根特征方程的实根:要使它满足

7、边界条件要使它满足边界条件x(0)=0和和 x(l)=0，就必，就必有有002121llececcc从而推知从而推知c1=c2=0。故在。故在0时，方程时，方程(3.4)的通解为的通解为xcxcxxsincos)(21要使此解满足边界条件要使此解满足边界条件x(0)=0，则，则c1=0。0sin2lc为了使为了使c20，就必须有，就必须有0sinl于是可以确定于是可以确定的取值为的取值为222lkk这样就找到了一族非零解这样就找到了一族非零解：5 . 33 , 2 , 1sin)(kxlkxx再由再由x (l)=0，可知，可知特征值特征值特征函数特征函数i k数学上，称数学上，称(3.5)右端

8、的函数为常微分方程右端的函数为常微分方程(3.4)满足边界条件满足边界条件x(0)=0和和 x(l)=0的固有函数（或特征函数），而的固有函数（或特征函数），而=k22/l2 称称为相应的固有值或特征值。为相应的固有值或特征值。 例题例题将固有值将固有值k带入带入方程方程(3.3)中中，), 2 , 1(sincos)(ktlakbtlakattkkk0)()()(2 ttlaktt可求得其通解为可求得其通解为上式上式中中ak ，bk 为任意待定常数为任意待定常数。这样我们就得到了方程。这样我们就得到了方程(3.1)满足边界条件满足边界条件u(0,t)=0和和 u(l,t)=0的分离变量形式的

9、特解的分离变量形式的特解:ilakk特征方程的实根特征方程的实根:现在我们设法作出这种特解的适当的线性组合，以得出初边现在我们设法作出这种特解的适当的线性组合，以得出初边值问题的解。也就是说，要确定出常数值问题的解。也就是说，要确定出常数ak 和和bk 使使6 . 3sin)sincos(),(1kkkxlktlakbtlakatxu满足初始条件满足初始条件)(),(:0 xtuxut), 2 , 1(sin)sincos()()(),(kxlktlakbtlakaxtxxtxukkkkk在在(3.6)式中的级数可以逐项求导时，我们得到式中的级数可以逐项求导时，我们得到：1sin)cossin

10、(),(kkkxlktlakbtlakalakttxu结合初始条件，应有结合初始条件，应有11sin)(sin)(kkkkxlklakbxxlkax；观察发现观察发现ak 和和bkka/l分别是分别是(x)和和(x)在区间在区间0,l上正弦展上正弦展开的傅立叶级数的系数，即开的傅立叶级数的系数，即7 .3sin)(2sin)(200lklkdlkakbdlkla前面的推导说明了初边值问题前面的推导说明了初边值问题如果有解，那么它如果有解，那么它的解可以表的解可以表示为示为(2.24)式的级数形式，现在的问题是：什么条件下，式的级数形式，现在的问题是：什么条件下，初初边值问题边值问题的解一定存在

11、？的解一定存在？定理定理：若函数若函数(x)在求解区域内具有三阶连续偏导数，在求解区域内具有三阶连续偏导数，(x)在求解区域内具有二阶连续偏导数，并且在求解区域内具有二阶连续偏导数，并且8 . 30)()0()()0()()0( lll则弦振动方程的初边值问题则弦振动方程的初边值问题(3.1)(3.1)的解是存在的，它可以由的解是存在的，它可以由级数级数(3.6)给出，给出， ak和和bk 由由(3.7)式确定。通常我们称式确定。通常我们称(3.8)式式为为相容性条件相容性条件。将由将由(3.7)式表示的式表示的ak ，bk 代入代入(3.6)式中，就得到式中，就得到了用级数了用级数形式表示的

12、初边值问题形式表示的初边值问题(3.1)(3.1)的解。的解。nkknkkxlklakbxxlkax11sin)(sin)(；的平均收敛极限，当的平均收敛极限，当n很大时，因为方程和边界条件都已满很大时，因为方程和边界条件都已满足，初始条件也近似得到了满足，由此可以把足，初始条件也近似得到了满足，由此可以把un(x,t)看成问看成问题的近似解题的近似解。如果如果(x)和和(x)不满足以上定理的条件，我们可以把不满足以上定理的条件，我们可以把(x)和和(x)看成函数列看成函数列例1：求下解问题 0)0 ,( sin3)0 ,( 0)0 ,(), 0( 0 02xuxxuutuxuautxxtt解

13、：此题属于有界弦的振动，且0)( ,sin3)( ,xxxl根据上述，可知：xlktlakbtlakatxukkksin)sincos(),(11sin)sincos(kkkkxatkbkatalkxdxlkxla0sin)(201 01 3sinsin32时时kkkxdxx其中：lkxdxlkxakb00sin)(2xattxusincos3),(例例2，例，例3比较比较0:0:0),(),(:0, 02ulxuxxuxutuautxxtt0:0:0)(:0)0 , 0(02huulxuxxutlxtuauxxxt波动方程波动方程热传导方程热传导方程位势方程位势方程axuxfubyuubya

14、xuubyyaxxyyxx0 0),(0 0, 00 ,0 0003-2 3-2 有界杆上的热传导问题有界杆上的热传导问题 初边值问题的分离变量法初边值问题的分离变量法 在前一章中，我们用分离变量法求得了波动方程初边值问题的解。这一方法对热传导方程的初边值问题也是适用的。以下以热传导方程在边界上分别取第一和第三边界条件的初边值问题为例详细讨论其求解过程。利用分离变量法求解如下的初边值问题17. 316. 315. 314. 30:0:0)(:0)0 , 0(02huulxuxxutlxtuauxxxt其中h为正的常数。用分离变量法求解，令u(x,t)=x(x)t(t)，这里x(x)和t(t)分

15、别表示仅与x有关和仅与t有关的函数，把它代入方程(3.14)得到xxtatxtatx 22这个等式只有在两边均等于常数时才能成立。令该常数为-，则有19. 3018. 302 xxtat首先考虑方程(3.19)的求解。根据边界条件(3.16)和(3.17)， x(x)应当满足边界条件)()(),(ttxxtxu20. 30)()(, 0)0(lhxlxx对于边值问题(3.19)和(3.20)，通过与前一章类似的讨论可得： (1) 当0时，xbxaxxsincos)(利用边界条件x(0)=0得a=0，于是由(3.20)的第二个边界条件可以得到0)sincos(lhlb为了使x(x)为非平凡解，应

16、满足 即是以下超越方程的正解：0sincoslhl21. 3/tanhl令 则(3.19)式变为 利用图解法或数值解法可以得出这个方程的根。l hltan由右图可知，方程有可列举的无穷多个正根k0 (k=1,2,)，满足(k-1/2)kk 。因此，特征值问题(3.19)和(3.20)存在无穷多个固有值：), 2 , 1()(2klkk以及固有函数：)3 , 2 , 1(sinsin)(kxlbxbxxkkkkk把前面得到的代入方程(3.18)可得)3 , 2 , 1()(2kectttakkk于是我们得到一列可分离变量的特解)3 , 2 , 1(sinb),(2kxectxuktakkkk由于

17、方程(3.14)和边界条件(3.16) 和(3.17)都是齐次的，所以可以利用叠加原理构造级数形式的解22. 3sin),(12kktakxeatxuk以下的任务是利用初始条件(3.15)来决定常数ak，为了使在t=0时u(x,t)取到初值(x)，应成立23. 3sin)(1kkkxax为了确定系数ak，须先证明固有函数系 在0,l上正交。设固有函数xn和xm分别对应于不同的固有值n和m，即sinxxkk. 0; 0 mmmnnnxxxx以xn和xm分别乘以上面第一和第二式，相减后在0,l积分，利用xn和xm都满足边界条件(3.20) ，就得到0)()(00lnmmnlmnmnxxxxdxxx

18、由于n和m不等，故得到固有函数系的正交性：nmxdxxdxxxlmnlmn, 0sinsin00于是在(3.23)两边乘以 再进行积分，利用固有函数系的正交性得：xksinxdxaxdxxlkklk020sinsin)(记dxxxdxmlklkk00222cos1sin那么有dmalkkk0sin)(1将其代入(3.22)式就得到了初边值问题(3.14)至(3.17)的形式解为24. 3sinsin)(1),(102kktalkkxedmtxuk从(3.24)式来看，由于存在因子 ，因此级数(3.24)可以很快收敛。这个特点也使得解的存在条件要比波动方程更宽松,仅需(x)一阶连续可导且take20)()(,0)0(lhl例题例题 3sin2sin)0 ,( 0)0 ,(), 0(0,0 0 xxxuututxduuxxt)()(),(ttxxtxu)()()()(ttxxdttxx )()()()(xxxxtdttt例2：求定解问题解：没有现成的公式可套，直接采用分