第2节微积分基本定理

1、高等数学高等数学主主 讲：林鸿莺讲：林鸿莺电电 话：话q: 1040588068e-mail： 第二节第二节 微积分基本定理微积分基本定理一、问题的提出一、问题的提出二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数三、牛顿三、牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式四、小结四、小结 xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()( xadttfx变上限积分函数变上限积分函数（变上限定积分）（变上限定积分）一、变上限积分函数及其导数一、变上限积分函数及其导数abxyo积分上限函数的性质积分上限函数的性质xx )(x x思考题思考题 如果函数如果函数)(xf在区间

2、在区间,ba 上连续，上连续，dttfxa )( 是函数是函数 在区间在区间 上的一个原函数上的一个原函数定理定理2 2则函数 )(x)(xf,badtedxdxat：计算例1xxatxatedtedtedxd解：dttdxdx0)13cos(2：计算例dttdxdx0)13cos(解：)13cos()13cot(0 xdttdudx练习：练习：p128 1（3）（）（4），），2（1）240sinlimxaxtdtx 例例：计计算算240sinlimxaxtdtx 解解：220sin=lim2xxx2201sin=lim22xxx1=2230sin2lim4xxxx 定理定理 3 3（微积分

3、基本公式）（微积分基本公式）如如果果)(xf是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(afbfdxxfba . .二、牛顿二、牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式)()()(afbfdxxfba 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： baxf)( 一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量.注意注意当当ba 时，时，)()()(afbfdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.102dxx331x2x

4、310311313133103102xdxx 例3. 计算解 由于是的一个原函数 所以 2311 xdx31231arctan1xxdx) 1arctan(3arctan127)4 (3 例4 计算 211x 解 由于arctan x是的一个原函数 所以 121dxx1212|ln1xdxx 例5. 计算 解 ln 1ln 2ln 231)1(dxxx3ln41ln213ln29ln21)1(12231xxdxxx 例6. 计算 解 31)1(dxxx31|2|dxx52x-2xx-2)2-()-2(3222123221 -xxdxxdxx 例7. 计算 解 31|2|dxx所以因为,dx|x

5、-2|)2(-2)2(2-xxxx练习练习设设 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上规规定定当当1 x时时，5)( xf,1211200012556xdxxx原原式式= = =xyo12例例8 8 求求 dxxx3022cossin1原式原式dxxdxxx)1sec2()tan(sec3302022解解3320033tan2tan230dxxx例例3 3 求求 解解.112dxx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 解解 面积面积xyo 0sin xdxa 0cos x. 2 3.微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(x