第一章第4节无穷小与无穷大

1、1无穷小与无穷大第四节一、无穷大一、无穷大二、无穷小无穷小三、无穷小与函数极限的关系三、无穷小与函数极限的关系四、无穷小与无穷大的关系四、无穷小与无穷大的关系五、小结及作业五、小结及作业2一、无穷大一、无穷大例如：例如：31lim,3xx 时的无穷大量；时的无穷大量；就是当就是当则称则称331xx一般地一般地时的无穷大量。时的无穷大量。为当为当则称则称若若xxxxfxfxxx00)(,)(lim)(121xxlim如如lim(23).xx 3严格定义：严格定义：00 （无无论论多多么么大大），总总对对 m时，时，或或使得当使得当）（或（或)(,xxxxx 000,)(mxf恒有恒有）时为无穷大

2、量，）时为无穷大量，（或（或当当则称则称xxxxf0)(,)(lim)(xfxxx0记作记作注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;不是无穷大。不是无穷大。如如100100010101limxx43.特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或5. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变但是无界变量未必是无穷大量未必是无穷大.认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将)(lim.xfxx022lim tan,xx 2lim tan,xx 有关有关无穷大与自变量的变化无

3、穷大与自变量的变化. 4,11)(xxf如如是无穷大量是无穷大量时时当当)(1xfx 无穷大量无穷大量不是不是时时当当 )(2xfx 如如5xxy11sin.,1sin1,0,但但不不是是无无穷穷大大是是一一个个无无界界变变量量时时当当例例如如xxyx), 3 , 2 , 1 , 0(221) 1 (0kkx 取取,22)(0 kxy.)(,mxyk0充充分分大大时时当当), 3 , 2 , 1 , 0(21) 2(0kkx 取取, kxk充分大时充分大时当当 kkxyk22sin)(但但.m 0不是无穷大不是无穷大无界，无界，6.11lim11xx证明证明例例证证. 0 m,11mx要使要使

4、,11mx只要只要,1m 取取,110时时当当mx .11mx就有就有.11lim1xx所以所以.)(,)(lim:的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx0011xy7二、无穷小例如例如,)(lim0121xx时的无穷小量；时的无穷小量；就是当就是当则称则称112xx一般地一般地时的无穷小量。时的无穷小量。为当为当则称则称若若xxxxfxfxxx000)(,)(lim)(例如例如,sinlim00 xx.sin时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数0 xx, 01limxx.1时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数xx, 0) 1(limnn

5、n.) 1(时时的的无无穷穷小小是是当当数数列列nnn8注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.严格定义：严格定义：),()(000x或或，总，总无论多么小无论多么小 恒有恒有）的一切）的一切（或（或使当使当xxxxx 00,)( xf）时为无穷小量，）时为无穷小量，（或（或当当则称则称xxxxf0)(,)(lim)(00 xfxxx记作记作不是无穷小。不是无穷小。如如80109是无穷小无意义。是无穷小无意义。说说变化过程变化过程、在没有指明自变量的、在没有指明自变量的)(3xf是无穷小”是无穷小

6、”“如如xxf)(是错的。是错的。时为无穷小；时为无穷小；当当0)(xxxf时为无穷大；时为无穷大；当当xxxf)(也也不不是是无无穷穷大大；既既不不是是无无穷穷小小时时当当,3)(xxxf10时的无穷小量。时的无穷小量。为当为当证明证明例例21122xx证证, 0 ,12 x要使要使21212xx由由,212 x只需只需即可，即可，即即221 x,2 取取时，时，则当则当 210 x,212)( xxf恒有恒有, 0)12(lim21xx故故时的无穷小量。时的无穷小量。为当为当即即2112xx11三三.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证必要性必要性,)(limaxfxx0设设

7、,)()(axfx 令令,)(lim00 xxx 则有则有).()(xaxf故故充分性充分性),()(xaxf 设设,)(时的无穷小时的无穷小是当是当其中其中0 xxx )(lim)(limxaxfxxxx 00则则)(limxaxx 0.a 定理定理 1 1 ),()()(lim0 xaxfaxfxx 其中其中)(x 是当是当0 xx 时的无穷小时的无穷小.12意义意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷无穷小小);).(,)()(.xaxfxxf误差为误差为附近的近似表达式附近的近似表达式在在给出了函数给出了函数023.无穷小的运算性质无穷小的运算性质

8、:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.证证,时的两个无穷小时的两个无穷小是当是当及及设设x 使得使得, 0, 0, 021 nn13;21 时恒有时恒有当当nx;22 时恒有时恒有当当nx,max21nnn 取取恒有恒有时时当当,nx 22 , )(0 x 故故注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .是是无无穷穷小小，时时例例如如nn1, .11不不是是无无穷穷小小之之和和为为个个但但nn14定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.1sinlimxxx如如

9、03!sinlim2nnnn0 推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小穷小的乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.xxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例如例如都是无穷小都是无穷小15四、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无都可归结为关于无穷小的讨论穷小的讨论.,时时或或当当xxx0是是无无穷穷大大；，则则是是无无穷穷小小，且且若若)()()()xfxfxf101是

10、是无无穷穷小小。是是无无穷穷大大，则则若若)()()xfxf12),(sin00 xx如如1(0);sinxx 21(3),9xx ).(3092xx16思考题思考题若若0)( xf，且且axfx )(lim，问问：能能否否保保证证有有0 a的的结结论论？试试举举例例说说明明.17思考题解答思考题解答不能保证不能保证.例例xxf1)( , 0 x有有01)( xxf )(limxfx. 01lim axx18五、小结1、主要内容、主要内容: 两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小