第32定积分的概念与性质

1、一、定积分的概念一、定积分的概念第二节定积分(之一)二、定积分的性质二、定积分的性质引例引例 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x两直线bxax,所围成 , 求其面积 a .?a)(xfy 矩形面积ahhaahb梯形面积)(2bahyoxab1xix1ixxabyo解决步骤解决步骤 :1) 分割分割.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 近似替代近似替代. 在第i 个小曲边梯形上任取作以,1iixx为底 ,)(if为高的小矩形, 并以此小矩形面积近似

2、代替相应小曲边梯形面积,ia得)()(1iiiiiixxxxfa),2, 1,nii3) 近似求和近似求和.niiaa1niiixf1)(4) 取极限取极限. 令, max1inix则曲边梯形面积niiaa1niiixf10)(lim1xix1ixxabyoi一、定积分定义一、定积分定义 (p71 ),)(上有界定义在设函数baxf在a, b内任任一分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取,1iiixxi时只要0max1inixiniixf1)(总趋于确定的极限 i , 则称此极限 i 为函数)(xf在区间,ba上的定积分定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(inii

3、xf10)(lim此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积可积 .记作1xix1ixxabyoibaxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba注：定积分仅与被积函数及积分区间有关注：定积分仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分而与积分变量用什么字母表示无关变量用什么字母表示无关 , 即即baxxfd)(battfd)(bauufd)(定积分的几何意义定积分的几何意义:axxfxfbad)(,0)() 1 (曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)()2(曲边梯形面积的负值abyx1a2a3a4a5abaxxfd)(各部分面积的代

4、数和ao(3)一般f (x),54321aaaaa 例例1.1.利用定积分的几何意义求定积分的值：利用定积分的几何意义求定积分的值：1211.ax dx12111.2x dx故2( )1yf xx解：解： 被积函数为0,由定积分的几何意义知此定积分等于由曲线21yx，及x轴，x=-1, x=1所围成的图形面积. 1,1x o1 xyni例例3. 利用利用定义定义计算定积分计算定积分nix1,nii取),2, 1(ni.d102xx解解: 将 0,1 n 等分, 分点为niix ) 1, 1(ni2xy iiiixxf2)(则32ni定积分的充分条件定积分的充分条件:定理定理1.上连续在函数,)

5、(baxf.,)(可积在baxf定理定理2.,)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点 (证明略).,)(可积在baxfiinixf)(1niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nno1 xyni2xy 二、定积分的性质二、定积分的性质0d)() 1 (aaxxf：规定bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 1证证:iiinixgf)()(lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010= 右端abbaxxfxxfd)(d)()2(扩展扩展:banbab

6、anxxfxxfxxfxfd)(d)(d)()(11baxd，特别地xxfkxxfkbabad)(d)(. 2( k 为常数)abbaxkd. 3)(abkabxykbccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 4注注: a, b, c 为任意实数.bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)().(4 续证证: 当bca时,因)(xf在,ba上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixf0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(abcabc当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如,cba则有cax

7、xfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(5. 若在 a , b 上0)(1iinixf则.0d)(xxfba证证:,0)(xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推论推论1. 若在 a , b 上, )()(xgxf则xxfbad)(xxgbad)()(ba 例例4. 比较解解:设, )1ln()(xxxf则)(xf,1 ,0 x,0增.在0,1上单调递)(xf，时当于是， 1 ,0(x, 0d)(10 xxf即xxxxd)1 (lnd1010的大小.和xxxxd)1 (lnd1010 xx1),1 ,0

8、(x0)0()( fxfx111推论推论2.xxfbad)(xxfbad)(证证:)( xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(6. 设, )(min, )(max,xfmxfmbaba则)(d)()(abmxxfabmba)(ba 3 , 1 , 1)(2xxxf被积函数321(1)ixdx.的值20例例6.6. 估计积分解：解：是增函数，1,3max( )f x(3)10,f1,3min( )f x (1)2f321(1)xdx2(3 1)4 10(31)所以7. 定积分中值定理定积分中值定理, ,)(bacxf若则至少存在一点, ,ba使)(d)(abfxxfba证证:,)(mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设则由性质性质6 可得mxxfabmbad)(1所以上至少存在一在,ba, ,ba点使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.)(d)()(abmxxfabmba故oxbay)(xfy 说明说明:.都成立或