新三角函数与平面向量

1、 一、三角函数1.同角三角函数关系重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(1)商数关系:tan =;(2)平方关系:sin2+cos2=1.2.几个三角公式(1)公式变用:1+cos 2=2cos2,1-cos 2=2sin2,sin2=, cos2=,tan=.(2)辅助角公式:asin +bcos =sin(+).sincos21 cos221cos22sin1cos1 cossin22ab(其中cos =,sin =)22aab22bab3.三角函数的图象与性质 y=sin xy=cos

2、 xy=tan x图象定义域rrx|x+k,kz值域-1,1-1,1r2重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选单调性及递增、递减区间在-+2k,+2k,kz上递增;在+2k,+2k,kz上递减在-+2k,2k,kz上递增;在2k,+2k,kz上递减在(-+k,+k),kz上递增周期性及奇偶性t=2奇函数t=2偶函数t=奇函数2223222重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选对称轴x=+k,k

3、zx=k,kz无对称轴对称中心(k,0),kz(+k,0),kz(,0),kz222k重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选4.三角函数的图象变换:若由y=sin(x)得到y=sin(x+)的图象,其中0,则向左或向右平移|个单位.也就是说若f(x)=sin x,则向左或向右平移|个单位后得到f(x+)=sin(x+)=sin(x+),即平移的量是对x而言的.5.三角形中的有关公式: (1)在abc中:sin(a+b)=sin c,sin=cos;2ab2c重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析

4、主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)正弦定理:=2r;(3)余弦定理:a2=b2+c2-2bccos a,cos a=;(4)面积公式:s=aha=absin c=r(a+b+c)(其中r为三角形内切圆半径).sinaasinbbsincc2222bcabc121212重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选特别地,a2=aa=|a|2,|a|=.当为锐角时,ab0,且ab0是为锐角的必要非充分条件;当为钝角时,ab0,且

5、ab0,|),y=f(x)的部分图象如图,则f()= .224重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)给出下列结论:函数y=cos4x-sin4x的最小正周期为2;函数y=cos(x+)的图象是关于点(,0)成中心对称的图形;函数y=tan(x+)的图象是关于直线x=成轴对称的图形;将函数f(x)=cos(2x+)+1的图象向右平移个单位后,对应的函数是偶函数.其中所有正确结论的序号是 .363636重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回

6、归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(3)已知函数y=asin(x+)+m的最大值是4,最小值是0,最小正周期是,直线x=是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是( )(a)y=4sin(4x+). (b)y=2sin(4x+)+2.(c)y=2sin(4x+)+2. (d)y=2sin(2x+)+2.236633重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选【分析】(1)结合图象先确定其中的a、.(3)y=asin(x+)+m中的各个参数中,a由最值求出,与t有关,m与最值

7、有关,与平移或对称轴等有关.(2)针对每个命题进行判断.【解析】(1)由图象可知,此正切函数的半周期为-=,即周期为,故=2.由题意可知,图象过定点(,0),所以有atan (2+)=0,即+=k(kz),所以=k-(kz).又|f(),则f(x)的单调递增区间是( )(a)k-,k+(kz). 对于三角函数图象的形状和位置特征,要准确掌握,如对称中心是图象与x轴的交点,对称轴经过图象的最高点或最低点,图象平移应注意整体代换.5125125125126236(b)k,k+(kz).2(c)k+,k+(kz).(d)k-,k(kz).6232重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命

8、题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(3)已知函数f(x)=acos (x+)(a0,0,0f()=sin(2+)=sin ,故sin 0,0,00,0,0)为奇函数,=k+(kz),而0 =,f(x)=cos (x+)=-sin (x),f(1)=-.22322323【答案】(1)- (2)c (3)d3重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选运用坐标对向量的加、减、数乘、数量积进行运算是基本考查内容.向量的共线问题及垂直问题,求模长及夹角问题

9、,是考查的重点.解三角形问题也是考查的重点之一,此题型难度中等,一般是小题.综合解三角形问题常为解答题.题型二向量的基本运算、数量积与解三角形重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(a)30. (b)45. (c)60. (d)90.(2)(2011年湖南)在边长为1的正三角形abc中,设=2,=3,则= .(3)在abc中,角a、b、c所对的边分别为a、b、c,若a=,b=2,sin b+cos b=,则角a的大小为 .bcbdcaceadbe22例2 (1)在abc中,角a、b、c所对的边

10、分别为a,b,c,m=(b,2a-c),n=(cos c,-cos b)且mn,则角b的大小为( )【分析】(1)由mn得出等式,再使用正弦定理.(2)把向量与用正三角形abc的三条边所在的向量表示,再对数量积进行运算.adbeadbe(3)利用三角变换得sin 2b=1,再求出b,然后由正弦定理去求a.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选【解析】(1)mnmn=0bcos c-(2a-c)cos b=0.由正弦定理得sin bcos c-(2sin a-sin c)cos b=0,即sin

11、(b+c)-2sin acos b=0,sin a-2sin acos b=0,sin a0,cos b=,b(0,180),b=60.12重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)由题=-=-,=-=-,所以=(-)(-)=-+=-.(3)由sin b+cos b=,得1+2sin bcos b=2,即sin 2b=1,因为0b,所以b=.又因为a=,b=2,所以在abc中,由正弦定理得:=,解得sin a=,又ab,所以a0,0,0b,求a,b的值.3【解析】(1)g(x)=b2=1+s

12、in22x=1+ =-cos 4x+,函数g(x)的最小正周期t=.1 cos42x1232242重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)f(x)=ab=(2cos2x,)(1,sin 2x)=2cos2x+sin 2x=cos 2x+1+sin 2x=2sin(2x+)+1,f(c)=2sin(2c+)+1=3,sin(2c+)=1.c是三角形abc的内角,2c+(,),2c+=,即c=,33366666136626cos c=,即a2+b2=7.将ab=2代入可得a2+=7,解得a2=

13、3或4,a=或2,b=2或.ab,a=2,b=.2222bacab323212a333重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选 三角变换与解三角形这两个知识块往往是结合在一起出现在高考试题中的,一般是先进行三角变换,后解三角形,题型往往是解答题,难度中等.当然,也经常出现独立的考查三角变换和解三角形的题型四三角变换与解三角形重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选试题.例5 (2011年山东)在a

14、bc中,内角a,b,c的对边分别为a,b,c.已知=.cos2coscosacb2cab(1)求的值;sinsinca(2)若cos b=,b=2,求abc的面积s.14重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选=.【分析】应把题设中的边角关系式“=”通过正弦定理转换为角角关系式才可找到求三角代数式的值的目的,由已知求a,c及sin b后可求s.cos2coscosacb2cabsinsinca【解析】(1)由正弦定理和已知得即(cos a-2cos c)sin b=(2sin c-sin a)c

15、os b,化简可得sin(a+b)=2sin(b+c).cos2coscosacb2sinsinsincab又a+b+c=,所以sin c=2sin a.因此=2.sinsinca重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)由=2及正弦定理得c=2a,由余弦定理b2=a2+c2-2accos b及cos b=,b=2,得4=a2+4a2-4a2,解得a=1,从而c=2.又cos b=,且0b,-为锐角,当d=55时,tan(-)有最大值,hd125d4hd121dtantan1tantan12

16、51211251211dddd4125 121dd255 5125 1215即-有最大值.故当d=55 m时,-有最大值.5重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选 同类拓展7 如图,a、b是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点.现位于a点北偏东45,b点北偏西60的d点有一艘轮船发出求救信号,位于b点南偏西60且与b点相距20海里的c点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达d点需要多长时间?33重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考

17、命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选【解析】由题意知ab=5(3+)海里,dba=90-60=30,dab=90-45=45,adb=180-(45+30)=105,在dab中,由正弦定理得=,db= 3sindbdabsinabadbsinsinabdabadb5(33) sin45sin105= =10(海里),5(33) sin45sin45 cos60cos45 sin605 3( 31)3123重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选又dbc=d

18、ba+abc=30+(90-60)=60,bc=20海里,在dbc中,由余弦定理得cd2=bd2+bc2-2bdbccosdbc=300+1200-21020=900,cd=30(海里),则需要的时间t=1(小时).答:救援船到达d点需要1小时.333123030重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选 回归课本(2008年湖北)已知函数f(t)=,g(x)=cos xf(sin x)+sin xf(cos x),x(,.11tt1712(1)将函数g(x)化简成asin(x+)+b(a0,0,

19、0,2)的形式;(2)求函数g(x)的值域.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选【解析】(1)g(x)=cos x+sin x =cos x+sin x =cos x+sin x x(,=-cos x,=-sin x,g(x)=cos x+sin x =sin x+cos x-21 sin1 sinxx1cos1cosxx22(1 sin )cosxx22(1cos )sinxx1 sin|cos |xx1 cos|sin|xx1712cosxsinx1 sincosxx1 cossinxx

20、=sin(x+)-2.24重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)由x,得x+.sin t在(,上为减函数,在(,)上为增函数,又sin sin ,sin sin (x+)sin (当x(,),即-1sin(x+)-,-2sin(x+)-20)在区间0,上单调递增,在区间,上单调递减,则等于( )(a)3. (b)2. (c). (d).3323223=,=.【答案】c【解析】由题意可知,函数f(x)=sin x的一个增区间是-,因此t=23323232重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析

21、主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选5.函数y=sin(x+)(0)的部分图象如图所示,设p是图象的最高点,a,b是图象与x轴的交点,则tan apb=( )(a)10. (b)8. (c). (d).8747【解析】t=2,可设a(x,0),则p(x+,1),b(x+2,0),212重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选【答案】b=(-,-1),=(,-1).设apb=,由=|cos ,得=cos ,cos =,从而有sin

22、 =,tan =8.pa12pb32papbpapb1454134165865重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选6.在abc中,内角a,b,c的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sin c=2sin b,则a=( )33(a)30. (b)60. (c)120. (d)150.【解析】sin c =2sin bc=2b,a2-b2=bca2-b2-c2=bc-c2b2+c2-a2=c2-bc,cos a=-=-=-=,在abc中,a=30.【答案】a333332222bcabc23

23、2cbcbc22cbc322cb322 323232重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选7.已知a=(sin 12+cos 12),b=sin 12+cos 12,c=,则a,b,c的大小关系为( )2322sin12(a)acb. (b)cab.(c)bac. (d)abc.【答案】a【解析】 a=2sin 57,b=2sin(12+30)=2sin 42,c=(sin 6+cos 6)=2sin 51.22(sin6cos6 )2重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋

24、势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选8.已知=(2cos ,2sin ),=(5cos ,5sin ),且=-5,则soab等于( )oaoboaob(a). (b). (c)5. (d)5.525 323【答案】b【解析】由题意知|=2,|=5,=-5,得cos(-)=-.设aob=,则0,必有sin =|sin(-)|=.soab=|sin oaoboaob123212oaob=25=.12325 32重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选9.

25、已知向量a=(3cos ,3sin ),b=(2cos ,2sin ),若a与b的夹角为60,则直线l:2xcos -2ysin +1=0与圆c:(x+cos )2+(y-sin )2=1的位置关系( )(a)相切. (b)相离.(c)相交且过圆心. (d)相交但不过圆心.【答案】c【解析】根据题意得cos 60=cos(-)=,|a ba b22226cos cos6sin sin9944cos sin cos sin 12圆心c(-cos ,sin )到直线l的距离d=0,故直线l与圆c相交且过圆心.22| 2cos cos2sin sin1|4cos4sin|2cos() 1|2重点知识

26、回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选10.定义在r上函数f(x)=则f(2012)的值为( )(a). (b)-. (c)-1. (d)1.2sin,0,6(1)(2),0,xxf xf xx33【解析】当x0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),f(x+6)=f(x),f(2012)=f(6335+2)=f(2)=f(1)-f(0)=f(0)-f(-1)-f(0)=-f(-1)=-2sin(- )=1.【答案】d6重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练

27、专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选11.已知a是实数,则函数f(x)=1+asin ax的图象不可能是 ( )重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选【答案】d象可以是函数f(x)的图象;图b中,函数的最大值大于2,故a应大于1,其周期小于2,故b中图象可以是函数f(x)的图象;当a=0时,f(x)=1,此时对应c中图象;对于d可以看出其最大值大于2,其周期应小于2,而图象中的周期大于2,故d中图象不可能为函数f(x)的图象.【解析】图a中函数的最大值小于2,故0a1,

28、而其周期大于2,故a中图重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选12.对于非零向量a我们可以用它与直角坐标轴的夹角,(0,0)来表示它的方向,称,为非零向量a的方向角,称cos ,cos 为向量a的方向余弦,则cos2 +cos2 =( )(a)1. (b). (c). (d)0.【答案】a3212【解析】不妨设a=(x,y),x轴,y轴方向的单位向量分别为i=(1,0),j=(0,1),由向量知识得cos =,cos =,则cos2 +cos2 =1,其他情况结论也成立.| | |i aia2

29、2xxy| |j aja22yxy重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选二、填空题13.已知函数f(x)=2sin x,g(x)=2sin (-x),直线x=m与f(x),g(x)的图象分别交m、n两点,则|mn|的最大值为 .214.曲线y=2sin (x+)cos (x-)与直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为p1,p2,p3,则|p2p4|等于 .【答案】【解析】构造函数y=2sin x-2cos x=2sin (x-),故最大值为2.242【答案】2 24412【解析】y=

30、2sin (x+)cos (x-)=2sin (x+)cos (x+-)=2sin2(x+)=1-cos (2x+)=1+sin 2x,|p2p4|恰为一个周期的长度.4444242重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选15.若y=|3sin(x+)+2|的图象向右平移后与自身重合,且tan x的一个对称中心为(,0),则的最小正值为 .12648于是的最小正值为24.【答案】24【解析】y=|3sin(x+)+2|图象向右平移后的图象的相应函数解析式是y=|3sin(x-)+2|=|3sin

31、(x+-)+2|,因它表示的图象是平移前的图象,所以=2k,=12k(kz).又tan x的一个对称中心为(,0),126612126648故x=x=,即=,得=24k(kz).2k2k2k48重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选16.有下列命题:函数y=4cos 2x,x不是周期函数;函数y=4cos 2x的图象可由y=4sin 2x的图象向右平移个单位得到;函数y=4cos (2x+)的图象关于点(,0)对称的一个必要不充分条件是=+(kz);10 ,10462k6函数y=的最小值为2-

32、4.其中正确命题的序号是 .26sin2sinxx10重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选【解析】中的函数不符合周期函数的定义,所以不是周期函数;因为中函数y=4sin 2x的图象向右平移个单位得到y=4sin 2(x-),即y=-4cos 2x的图象,不是y=4cos 2x的图象;把点(,0)代入函数y=4cos (2x+),有4cos (+)=0,则+=k+(kz),所以=k+(kz),又|=+(kz)|=k+(kz),所以正确;函数y=(2-sin x)+-4,如果它的最小值为2 -4

33、,那么(2-sin x)2=10,而(2-sin x)244633262k6626sin2sinxx2(2sin )4(2sin )102sinxxx102sin x10的最大值为9,故不正确.【答案】重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选三、解答题17.已知a、b、c为三个锐角,且a+b+c=.若向量p=(2sin a-2,cos a+sin a)与向量q=(cos a-sin a,1+sin a)是共线向量.(1)求角a;(2)求函数y=2sin2 b+cos 的最大值.32cb【解析】(

34、1)p、q共线,(2sin a-2)(1+sin a)=(cos a+sin a)(cos a-sin a),则sin2 a=,又a为锐角,sin a=,则a=.34323重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)y=2sin2b+cos =2sin2b+cos =2sin2b+cos (-2b)=1-cos 2b+cos 2b+sin 2b=sin 2b-cos 2b+1=sin (2b-)+1.32cb()332bb3123232126b、c(0,),-b,b(,),2b-(,),当2b

35、-=,即b=,y有最大值,为2.2232626656623重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选18.已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1.3(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0,上的最大值和最小值;2(2)若f(x0)=,x0,求cos 2x0的值.6542【解析】(1)由f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1,得f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin (2x+),所以函数f(x)的最小正周期为.因为f(x)=2sin (2x+)在区间0,上为

36、增函数,在区间,上为减函数,又f(0)=1,f()=2,f()=-1,所以函数f(x)在区间0,上的最大值为2,最小值为-1.3366662622重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)由(1)可知f(x0)=2sin (2x0+).又因为f(x0)=,所以sin (2x0+)=.由x0,得2x0+,.从而cos (2x0+)=- =-,所以cos 2x0=cos (2x0+)-=cos (2x0+)cos +sin (2x0+)sin = 66563542623766201 sin (2

37、)6x4566666634 310重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选19.(2011年湖南)在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,且满足csin a=acos c.(1)求角c的大小;(2)求sin a-cos(b+)的最大值,并求取得最大值时角a,b的大小.34【解析】(1)由正弦定理得sin csin a=sin acos c.因为0a0,从而sin c=cos c,又cos c0,所以tan c=1,且0c,则c=.4重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命

38、题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)由(1)知,b=-a,于是sin a-cos(b+)=sin a-cos(-a)=sin a+cos a=2sin(a+).因为0a,所以a+0),若f(x)=mn,且f(x)的图象相邻的对称轴间的距离不小于.32(1)求的取值范围;(2)若当取最大值时,f(a)=1,且在abc中,a,b,c分别是角a,b,c的对边,其面积sabc=,求abc周长的最小值.3【解析】(1)f(x)=mn=(sin x+cos x)(cos x-sin x)+2cos xsin x=cos2x-sin2x+sin 2x=

39、cos 2x+sin 2x=2sin(2x+),3336又由条件知,所以01.22重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)当取最大值1时,f(a)=2sin(2a+)=1,又2a+(,),所以2a+=,故a=.在abc中,sabc=bcsin a=bc=,bc=4.又由余弦定理有:a=,abc的周长为a+b+c=+b+c+2=+2=6,当且仅当b=c=2时取得等号.故abc周长的最小值为6.666136656312343222cosbcbca224bc224bc24bcbc2 444重点知

40、识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选21.某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口o北偏西30且与该港口相距20海里的a处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理

41、由.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选【解析】(1)设相遇时小艇航行的距离为s海里,航行时间t小时,则s= = .故当t=时,smin=10,此时v=30.29004002 3020 cos(9030 )tt2900600400tt21900()3003t 13310 3133即小艇以30海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.3重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)设小艇与

42、轮船在b处相遇,则v2t2=400+900t2-22030tcos (90-30),故v2=900-+.600t2400t重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选0v30,900-+900,即-0,解得t.又t=时,v=30.故v=30时,t取得最小值,且最小值等于.此时,在oab中,有oa=ob=ab=20,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30,航行速度为30海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇.600t2400t22t3t232323重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高

43、考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选22.已知a=(1-cos x,2sin),b=(1+cos x,2cos).2x2x(1)若f(x)=2+sin x-|a-b|2,求f(x)的表达式;(2)若函数f(x)和函数g(x)的图象关于原点对称,求函数g(x)的解析式;14(3)若h(x)=g(x)-f(x)+1在-,上是增函数,求实数的取值范围.22【解析】(1)f(x)=2+sin x-4cos2x+4(sin-cos)2=2+sin x-cos2x-1+sin x=sin2x+2sin x.142x2x重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖

44、析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)设函数y=f(x)的图象上任一点m(x0,y0)关于原点的对称点为n(x,y),则x0=-x,y0=-y.点m在函数y=f(x)的图象上,-y=sin2(-x)+2sin(-x),即y=-sin2x+2sin x,函数g(x)的解析式为g(x)=-sin2x+2sin x.(3)h(x)=-(1+)sin2x+2(1-)sin x+1,设sin x=t(-1t1),重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新

45、设计试题备选试题备选则有k(t)=-(1+)t2+2(1-)t+1(-1t1).当=-1时,k(t)=4t+1在-1,1上是增函数,=-1符合题意.当-1时,对称轴方程为直线t=.()当-1时,-1,解得-1时,1,解得-10.综上,0.111111重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选1.已知o是abc的外心,ab=2,ac=1,bac=120,设=a,=b.若=1a+2b,则1+2= .abacao7【解析】如图,由余弦定理求得bc=,因o为abc外心,结合正弦定理得=2aoao=.sinbcbac73213重点知识回顾重点知识回