第一节 多元函数的基本概念

1、第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一一、 rn 空间的有关概念空间的有关概念二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性一、一、 rn 空间的有关概念空间的有关概念1、n维空间维空间 rn设设 n 为为取取定定的的一一个个自自然然数数，用用 rn表表示示 n 元元有有序序实实数数组组),(21nxxx的的全全体体构构成成的的集集合合. 定定义义了了线线性性运运算算的的集集合合 rn称称为为 n维维空空间间，而而每每个个 n元元数数组组),(21nxxx称称为为 n维维空空间间中中的的一一个个点点，数数 xi 称

2、称为为该该点点的的第第 i 个个坐坐标标. rn中中的的点点也也可可记记为为),(21nxxxx ， )0 , 0 , 0(0 称称为为 rn的的坐坐标标原原点点. 说明：说明： 1) n维空间中的线性运算维空间中的线性运算 ,),(, ),(2121rryyyqxxxpnnn 设设),(11nnyxyxyx 则则即为即为 x 与与 y 的的线性运算线性运算 .2) n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 .)()()(|2222211nnxyxyxyyx 当当 n=1 , 2 , 3 时，时， 为数轴、平面、空间两点间的距离为数轴、平面、空间两点间的距离),(21nxxxx ),(2

3、1nyyyy 设两点为设两点为3) x a,),(,),(11的定元的定元为为设设nnnnraaarxxx ,0|arxaxn中中趋趋于于定定元元在在则则称称变变元元若若 记为记为 x a .x a 的充要条件是的充要条件是 xi ai ( i=1,2,n) . 设设),(000yxp是是xoy平面上的一个点，平面上的一个点， 是某是某一正数，与点一正数，与点),(000yxp距离小于距离小于 的点的点),(yxp的全体，称为点的全体，称为点0p的的 邻域，记为邻域，记为),(0 pu， 1) 邻域邻域0p ),(0 pu |0ppp.)()(| ),(2020 yyxxyx ),(0 pu。

4、 |00ppp.)()(0| ),(2020 yyxxyx0p 点的去心点的去心 邻域，记为邻域，记为),(0 pu。2、r2的有关概念的有关概念2) 内点、边界点和聚点内点、边界点和聚点.)(的内点的内点为为则称则称，的某一邻域的某一邻域一个点如果存在点一个点如果存在点是平面上的是平面上的是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，设设epepuppe .ee 的内点属于的内点属于ep 的边界点的边界点为为），则称），则称可以不属于可以不属于，也，也本身可以属于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也有不属于的点，的点，于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点epeepeepep

5、 的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 ee 设设 e 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，p 是是平平面面上上的的一一个个点点，如如果果点点 p 的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限多多个个点点属属于于点点集集 e，则则称称 p 为为 e 的的聚聚点点.(1) 内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明说明(2) 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点(3) 点集点集e的聚点可以属于的聚点可以属于e，也可以不属于，也可以不属于e10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合是

6、聚点但不属于集合1| ),(22 yxyx例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合3) 开集与闭集开集与闭集.,2为开集为开集则称则称的点都是内点的点都是内点若点集若点集ere 41),(221 yxyxe例如：例如：即为开集即为开集.,2为闭集为闭集则称则称是开集是开集的余集的余集若点集若点集eerec 41),(222 yxyxe例如：例如：即为闭集即为闭集41),(223 yxyxe而而既非开集也非闭集既非开集也非闭集0| ),( yxyx是有界点集；是有界点集；是无界点集是无界点集称为无界点集称为无界点集否则否则为有界点集为有界点集则称则称成立成立对一切对

7、一切即即不超过不超过间的距离间的距离与某一定点与某一定点使一切点使一切点如果存在正数如果存在正数对于点集对于点集eeepkapkapaepke, 41| ),(22 yxyx例如：例如：4) 有界集与无界集有界集与无界集5) 区域、闭区域区域、闭区域.,是连通的是连通的则称开集则称开集点都属于点都属于且该折线上的且该折线上的都可用折线连结起来都可用折线连结起来内任何两点内任何两点如果对于如果对于是开集是开集设设dddd 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41| ),(22 y

8、xyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo0| ),( yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如：例如：41| ),(22 yxyx3、 n维空间维空间rn中邻域、区域等概念中邻域、区域等概念 nrpppppu ,|),(00 内点、边界点、区域、聚点等概念也可类似定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可类似定义邻域：邻域：4、 直线与线段直线与线段,),(),(2222111ryxpyxp 设设),)(1(),(2211 tyxtyxtl直线：直线：10),)(1(),(2211

9、 tyxtyxts线段：线段：,21nrpp 设设)1(21 tpttpl直线：直线：10)1(21 tpttps线段：线段：二、多元函数的概念二、多元函数的概念 设设 d 是平面上的一个点集，如果对于每个是平面上的一个点集，如果对于每个点点dyxp ),(，变量，变量 z 按照一定的法则总有确按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称定的值和它对应，则称 z 是变量是变量 x , y 的二元函的二元函数，记为数，记为),(yxfz （或记为（或记为)(pfz ）. . 二元函数的定义二元函数的定义二元函数由二元函数由对应法则对应法则 f 和定义域和定义域 d 两要两要素素确定。确定。 规定规定

10、 二元函数的自然定义域是使算式所表达的二元函数的自然定义域是使算式所表达的函数有意义的函数有意义的x,y所对应的点所对应的点p(x,y)的全体的全体 . . 当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数多元函数中也有定义域、值域、自变量、因变量等概念多元函数中也有定义域、值域、自变量、因变量等概念.例例1 1 (1) 求求 的定义的定义域域)ln(),(yxyxf (2)(2) 求求 的定义域的定义域)ln(1),(yxyxf (3)(3) 求求 的定义域的定义域)ln(1),(yxyxf 例例1 1 (1) 求求 的

11、定义的定义域域)ln(),(yxyxf .0| ),( yxyxd(2)(2) 求求 的定义域的定义域)ln(1),(yxyxf .1, 0| ),( yxyxyxd且且(3)(3) 求求 的定义域的定义域)ln(1),(yxyxf .1| ),( yxyxd例例2 2 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxd 例例3 3 求下列函数的定义域求下列函数的定义域解解 0022222222zyxrrzyx22222rzyxr 所求定义域为：所求定义域为：.| )

12、,(22222rzyxrzyxd 222222221),(zyxrrzyxzyxu 例例4 4 设设求求解解 000),(222222yxyxyxxyyxf)1,1(yxf)1,1(yxf22)1()1(11yxyx 22yxxy 多元函数也有单值性与多值性的概念多元函数也有单值性与多值性的概念. . ),( ),(222ryxyxdyxp 当当222yxrz 222yxrz 2222rzyx 例如：例如：单值分支单值分支 一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性质一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性质的定义在多元函数中不再适用，但的定义在多元函数中不再适用，但有界性的定义有界性的定义仍适用仍适用

13、：设有：设有n元函数元函数y=f(x)，其定义域为，其定义域为d rn，集合集合x d. .若垂存在正数若垂存在正数m，使对，使对 x x，有，有|f(x)| m，则称，则称f(x)在在x上有界，上有界，m称为称为f(x)在在x上的上的一个界一个界. .二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 设设函函数数),(yxfz 的的定定义义域域为为 d，对对于于任任意意取取定定的的dyxp ),(，对对应应的的函函数数值值为为),(yxfz ， 这这样样，以以 x 为为横横坐坐标标、y 为为纵纵坐坐标标、z 为为竖竖坐坐标标在在空空间间就就确确定定一一点点),(zyxm，当当 x 取取遍遍 d上

14、上一一切切点点时时，得得到到一一个个空空间间点点集集 ),(),(| ),(dyxyxfzzyx ， 这这个个点点集集称称为为二二元元函函数数的的图图形形. （如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,左图球面左图球面.),(222ayxyxd 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:例例5 5、已知、已知 求求 . .,),(22yxyxxyf ),(yxf例例6 6、已知、已知 求求 . .),(yxf,),(22yxyxxyf 二元函数也有复合函数二元函数也

15、有复合函数例例7 7、. )(,2), 1(, )(1),(2xfyyyfyxfxyxf求求设设 定义定义 1 设函数设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为 d， ),(000yxp是其聚点，如果对任意给定的正数是其聚点，如果对任意给定的正数 ，总 存 在 正 数总 存 在 正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 20200)()(|0yyxxpp的 一 切的 一 切点，都有点，都有 |),(|ayxf成立，则称成立，则称 a 为函数为函数),(yxfz 当当0 xx ，0yy 时的极限，时的极限， 记为记为 ayxfpp ),(lim0或或

16、ayxfyxyx ),(lim),(),(00 （或（或)0(),( ayxf这里这里|0pp ）. . 三、多元函数的极限三、多元函数的极限说明：说明：(1) 定义中定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0pp (2) 二元函数的极限也叫二重极限二元函数的极限也叫二重极限);,(lim),(),(00yxfyxyx(3) 二元函数的极限运算法则与一元函数类似二元函数的极限运算法则与一元函数类似一元函数求极限的许多方法可搬到求二元函数的极一元函数求极限的许多方法可搬到求二元函数的极限上来如四则运算法则、无穷小替代、两个重要限上来如四则运算法则、无穷小替代、两个重要极限、夹逼定理等极限、夹逼定

17、理等 .例例1 1 求证求证 01sin)(lim2222)0,0(),( yxyxyx例例2 2 求证求证 0lim22)0,0(),( yxxyyx例例1 1 求证求证 证证01sin)(lim2222)0,0(),( yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立例例2 2 求证求证 证证0lim22)0,0(),( yxxyyx022 yxxy|2 xyxy | xy , 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx,022 yxxy原结论成立原结论

18、成立,22yx 例例3 3 设设),(lim)0,0(),(yxfyx , 00, 0),(222222yxyxyxxyyxf证明证明 不存在不存在解解取取kxy 22)0,0(),(limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证263)0,0(),(limyxyxyx 取取,3kxy 263)0,0(),(limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在方法一方法一 令令),(yx

19、p沿沿某某特殊特殊路径路径(如如kxy )趋向于趋向于),(000yxp，若极限值，若极限值不不存在存在(与与k有关有关)，则可断言极，则可断言极限不存在；限不存在； 方法方法二二 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim),(),(00yxfyxyx存在，但两者不相等，此时也可断言存在，但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxp处极限不存在处极限不存在 确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法： 从极限定义知，多元函数的极限与一元函从极限定义知，多元函数的极限与一元函数极限相同，所以可以把一元函数求极限的许数极限相同，所以可以把一元函数求极限的许多方法

20、搬到多元函数的极限上来多方法搬到多元函数的极限上来. .yxyyxsinlim)0,0(),(例例5 5、求、求22),(),(limyxyxyx 例例6 6、求、求例例7 7 求极限求极限 .)sin(lim222)0,0(),(yxyxyx 解解222)0, 0(),()sin(limyxyxyx ,)sin(lim22222)0, 0(),(yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx22)0, 0(),()sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim222)0, 0(),( yxyxyxyxu2 定义定义 2 设设 n 元函数元函数

21、)(pf的定义域为点集的定义域为点集 d，0p是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总 存 在 正 数总 存 在 正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 |00pp的一切点的一切点dp ，都有，都有 |)(|apf成立， 则称成立， 则称 a 为为 n 元函数元函数)(pf当当0pp 时的极限，记为时的极限，记为 apfpp )(lim0. . 利用点函数的形式有利用点函数的形式有n元函数的极限元函数的极限 定义定义3 设设n元函数元函数)(pf的定义域为点集的定义域为点集d，0p是其聚点且是其聚点且dp 0，如果，如

22、果)()(lim00pfpfpp 则称则称 n 元函数元函数)(pf在点在点0p处处连续连续. . 0p称为称为函函数数)(pf的的连续点连续点. . 设设0p是是函函数数)(pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果)(pf在在点点0p处处不不连连续续，则则称称0p是是函函数数)(pf的的间间断断点点. 四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性如果函数在如果函数在d上上各点处各点处都连续都连续, , 则称此函数则称此函数在在d上连续上连续. .例例8 8 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性函数在函数在(0,0)处不连续处不连续

23、点点(0,0)为其间断点为其间断点又如又如, , 函数函数11),(22 yxyxf122 yx在圆周在圆周 上间断上间断. .例例8 8 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续点点(0,0)为间断点为间断点多元基本初等函数多元基本初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的

24、区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域由多元函数极限的四则运算可得多元函数的由多元函数极限的四则运算可得多元函数的四则运算连续性及复合函数的连续性四则运算连续性及复合函数的连续性.多元初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数多元初等函数.,arcsin,arcsin,sin,sin,log,log,yxyxyxaayxcaayx 把这些函数看作多元函数，叫做把这些函数看作多元函数，叫做多元基多元基本

25、初等函数本初等函数.例例9 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000pfpfppfpfppfpfpppp 处连续，则有处连续，则有点点在在的定义域的内点，则的定义域的内点，则是是数，且数，且是初等函是初等函时，如果时，如果一般地，求一般地，求xyxyyx11lim)0,0(),( 闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（1）有界性定理）有界性定理 在有界闭区域在有界闭区域d上的多元连续函数必定上的多元连续函数必定在在d上必有界上必有界 在有界闭区域在有界闭区域d上的多元连续函数，在上的多元连

26、续函数，在d上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域d上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在d上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在d上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（2）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（3）介值定理）介值定理多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）四、小结四、小结多元函数的定义多元函数的定义 若点若点),(yx沿着无数多条平

27、面曲线趋向于沿着无数多条平面曲线趋向于点点),(00yx时，函数时，函数),(yxf都趋向于都趋向于 a，能否，能否断定断定ayxfyxyx ),(lim),(),(00？思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因为若取原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,则则),(tytxf= =_. .2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,则则 )3, 2(f_; ; ), 1(xyf_. .3 3、 若若)0()(22 yyyxxyf, ,则则 )(xf_. .4 4、 若若22),(yxxyyxf , , 则则 ),(yxf_. .函数函数)1ln(4222yxyxz 的定义域是的定义域是_. .练练 习习 题题 6 6、函数、函数yxz 的定义域是的定义域是