第一章11函数

1、1一元函数微积分学一元函数微积分学q一元函数的极限一元函数的极限q微分学微分学q积分学积分学2第一章第一章 函数的极限函数的极限1.2 函数的极限函数的极限1.1 函数的概念函数的概念1.3 函数的连续性函数的连续性31.1 函数的概念函数的概念1.1.1 函数的定义函数的定义1.1.2 分段函数分段函数1.1.3 有界函数有界函数1.1.4 复合函数复合函数41.1.1 函数的定义函数的定义数集数集d d 叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域. .( )yf x，因变量因变量自变量自变量.)(00处的函数值处的函数值为函数在点为函数在点称称时,时,当当0 0 xxfdx ( ),.wy

2、yf x xd数集称为函数的值域定义定义 设设 x 和和 y 是两个变量是两个变量, ,d是一个给定的数集，是一个给定的数集，如果对于每个数如果对于每个数x , , 变量变量y 按照一定法则总有按照一定法则总有d确定的数值和它对应，则称确定的数值和它对应，则称y 是是x 的的函数函数，记作，记作 5函数的两要素函数的两要素: : 定义域、定义域、 对应法则对应法则. .()d0 xx对应法则对应法则f)(wy)(0 xf自变量自变量因变量因变量约定约定: : 定义域是自变量所能取的使算式有意定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值义的一切实数值. .21xy，例如例如 1 , 1 : d

3、211xy，例如例如)1 , 1(: d6基本初等函数基本初等函数幂函数类幂函数类)( 是常数是常数 xy)1 , 1(oxyxy1 2xy xy xy 117)1, 0( aaayxxey xay xay)1( )1( a)1 , 0( 指数函数类指数函数类8xyalog xya1log )1( a)1, 0(log aaxyaxyln )0 , 1(对数函数类对数函数类9正弦函数正弦函数xysin xysin 三角函数类三角函数类.10余弦函数余弦函数xycos xycos .11正切函数正切函数xytan xytan .12余切函数余切函数xycot xycot .13正割函数正割函数x

4、ysec xysec .14余割函数余割函数xycsc xycsc .15xyarcsin反反正正弦弦函函数数xyarcsin 反三角函数类反三角函数类16xyarccos反反余余弦弦函函数数xyarccos 17xyarctan反反正正切切函函数数xyarctan xycotarc反余切函数反余切函数181.1.2 分段函数分段函数在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, , 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数, , 称为称为分段函数分段函数. . 0, 10, 12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy191.1.3 有界函数有界函数则称则

5、称 f (x )为为有界函数有界函数. . ,f xm定义定义 若存在若存在m 0, ,对任意的对任意的x ，有，有fd例如，正弦函数例如，正弦函数 是有界函数是有界函数.sinyx因为，有常数因为，有常数 m = 1，,xr 使得使得sin1.xm 20正弦函数正弦函数xysin xysin .:sin ,1, 1 .y yxxr211.1.4 复合函数复合函数,自变量自变量x,中间变量中间变量u,因变量因变量y ,f u 外层函数 x内层函数.,arcsinuy 例如例如1;ux arcsin(1).yx22例例1 12( ),1, ( )1, ( ).xf xe xxxfx设求及其定义域

6、22( )1,( )1 1.xxrxrxx 解的定义域为实数集 ，且有 2( )1( ).xxf xfxee由函数的定义知：21( ).xfxer且的定义域为实数集23初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限多次的由常数和基本初等函数经过有限多次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数可用一个式子表示的函数, , 称为称为初等函数初等函数. .微积分研究的主要对象是初等函数微积分研究的主要对象是初等函数. .241.2 函数的极限函数的极限1 函数极限的定义函数极限的定义2 极限四则运算法则极限四则运算法则3 复合函数的极限复合

7、函数的极限25lim1 .2.1极限概念极限概念 oxy1,0.yxxx x1x0.x00 x1xlim. 0lim, lim,xxxf xaf xa一般地，记为.a其中 为实数或26无穷小量、无穷大量无穷小量、无穷大量 的定义的定义的的无穷小量无穷小量. .即无穷小量是以零为极限的变量即无穷小量是以零为极限的变量. . 若若 ，则称函数，则称函数 是当是当 时时 lim0 xf x f xx 若若 ，则称函数，则称函数 是当是当 时时 0limxxf x f x0 xx的的无穷大量无穷大量. .即无穷大量是以即无穷大量是以 为极限的变量为极限的变量. . 27例如例如, , 0sinlim0

8、 xx.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx1lim0,1xx1.1xx 函数是当时的无穷小量11lim.1xx 11.1xx函数是当时的无穷大量28极限概念（续）极限概念（续）xysin x00limxsin x0 x0sin x0limx0.右极限右极限左极限左极限若函数的极限是一个有限数，则称函数的极限存在若函数的极限是一个有限数，则称函数的极限存在. .0limsinxxsin029左、右极限的定义左、右极限的定义若若 且且 时，函数时，函数 以以a为极限为极限， 0 xx f x0 xx若若 且且 时，函数时，函数 以以a为极限，为极限， 0 xx f x0 xx则称则称

9、a 为函数为函数 在点在点 处的处的右极限右极限. .记为记为 f x0 xx 0lim.xxf xa 0lim.xxf xa则称则称a 为函数为函数 在点在点 处的处的左极限左极限. .记为记为 0 xx f x 0limxxf xa 0lim.xxf xa 0limxxf xa且且定理定理130极限不存在极限不存在极限概念的分类极限概念的分类 lim f x 0limxxf x limxf x 0limxxf x 0limxxf x 0limxxf x limxf x limxf x limxf x极限存在极限存在( ,)a( ,)a( ,)a( ,)a( ,)a ( ,)a31注解注解4

10、.若函数的极限存在，则其极限是惟一的若函数的极限存在，则其极限是惟一的. .(2). 函数的极限值函数的极限值仅与仅与函数在自变量的极限点函数在自变量的极限点附近的值有关！附近的值有关！(1). 一个极限问题由函数的极限和自变量的极一个极限问题由函数的极限和自变量的极限两个部分构成，函数的极限值依赖于自变量限两个部分构成，函数的极限值依赖于自变量的极限，因此函数的极限与自变量的极限有关！的极限，因此函数的极限与自变量的极限有关！(3). 函数在某点的极限存在的充分必要条件是函数在某点的极限存在的充分必要条件是函数在该点的左、右极限存在且相等，即函数在该点的左、右极限存在且相等，即321.2.2

11、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 limlimlimlimlimlimlim,.f xg xf xg xf xg xcf xcf xc定理2 设限与存在，则(1)线性性，其中 为常数 1212limlimlim.c f xc g xcf xcg x limlimlimf xg xf xg x，33极限法则极限法则（续）（续） (2)limlimlim.f x g xf xg x lim(3)lim,lim0.limf xf xg xg xg x其中 limlim,.f xf xr limlim, lim0lim0.f xf xf xf x且34无穷小量与无穷大量的性质无穷小量与无穷大量的

12、性质性质性质2 2 有限个无穷小量的积仍然是无穷小量有限个无穷小量的积仍然是无穷小量. .性质性质1 1 有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量性质性质3 3 有界量与无穷小量的积仍是无穷小量有界量与无穷小量的积仍是无穷小量. .性质性质4 4 无穷小量无穷小量 ( )( )的倒数是无穷大量的倒数是无穷大量. . 反之，无穷大量的倒数是无穷小量反之，无穷大量的倒数是无穷小量. .035例例3 322lim 322xxx求22lim 322xxx解22223lim2limlim2xxxxx23 22 2214. 00.xxx当时，多项式的极限等于它在点 处的函数

13、值 101101,limlim.nnnnnnnnnxaxapxa xa xapxa xa xap a即，若则36例例4 4342lim22xxx) 3(lim)42(lim222xxxx81837例例5 5942lim23xxx)42(lim)9(lim323xxxx0100解解429lim23xxx942lim23xxx38例例6 62211lim.2xxxx求2211lim2xxxx解111lim12xxxxx11lim2xxx11lim1lim2xxxx1.321lim20 xxx21lim10 xx00型39例例7 7231lim.2xxxx求“”型2lim1xx 3lim2xxx 2

14、31lim2xxxx解23331lim2xxxxxx3211lim112xxxx1tx3020lim0.lim 12ttttt320lim12tttt40例例8 83321lim2xxxx求3321lim2xxxx解333321lim2xxxxxx3212lim112xxx1tx3202lim12ttt3020lim 22.lim 12tttt“”型3lim 21xx 3lim2xxx 41例例932lim.1xxxx求“”型1tx231limxxxx解23331limxxxxxx3211lim11xxxx320lim0.1tttt32lim1xxxx故231lim1xxxx. 2lim1xx

15、 3limxxx 42例例10sin2lim.xxx求,sin21,xrx 解 因为有1lim0.xx且所以sin2limxxx1limsin2xxx0.431.2.3 复合函数的复合函数的极限极限 00000,(1)lim,(2) lim.limlim.xxuuxxuuyf uuxxuf uafxuxf ua定理3 设且则44v两个重要极限两个重要极限0sin1l1im.xxx、1lim.12xxex、0“”型01 型45例例11110sin2lim.xxx求0sin2limxxx解0sin2lim2uuuxu0sin2limuuu2.0sin2limxxx解法202sin coslimxx

16、xx00sin2limlim cosxxxxx2.0“ ”型046例例1212 01sinlim,li0m.xxxxx可以证明：其中0tan2lim.sin3xxx求0tan2limsin3xxx解0sin21limcos2sin3xxxx0sin21limcos2sin3xxxx2x2x330002sin211limlimlimsin332cos23xxxxxxxx2.30“ ”型047例例1313 11lim.xxxx求11limxxxx解11limxxxxxx11limlimxxxxxxx1lim 1xxx. e1 型48例例14141lim.1xxxx求1lim1xxxx解1(1) 1

17、lim1xxxx11lim 11xxx11im(l11)1xxx1.e1 型 01limlim 1.xxxxex若，则49幂指函数的极限幂指函数的极限 000010lim,(2)lim.xxxxu xu xuv xv命题 设（ ）且 0limv xxxu x则 00limlimxxv xxxu x00.vu50例例15152lim.1xxxx求2lim1xxxx解21lim 11xxx2111lim 1(1)xxxxx 512lim111lim 1(1)xxxxxx .e2111lim1(1)xxxxx2521.3 函数的连续性函数的连续性定义定义性质性质53函数连续的定义函数连续的定义设设函

18、函数数)(xf在在0 x的的邻邻域域)(0 xu 内内有有定定义义, ,如如果果 )()(lim00 xfxfxx 那那末末就就称称函函数数)(xf在在点点0 x连连续续. . 0000( )( ,(0)(),( );f xa xf xf xf xx若函数在内有定义且则称在处左连续点0000( ), ),(0)(),( ).f xx bf xf xf xx若函数在内有定义且则称在处右连续点00( )( ).f xxf xx在处连续在处既左连续又右连续54例例1616.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又),0()(lim0fxfx 由定义知由定义知.0)(处连