第7章定积分应用

1、第七章第七章 定积分的应用定积分的应用 第一节第一节 定积分的几何应用定积分的几何应用 第二节第二节 定积分的物理应用与经济定积分的物理应用与经济 应用举例应用举例一、一、 定积分应用的微元法定积分应用的微元法二、二、用定积分求平面图形的面积用定积分求平面图形的面积三、三、用定积分求体积用定积分求体积四、四、平面曲线的弧长平面曲线的弧长第一节第一节 定积分的几何应用定积分的几何应用 第一节第一节 定积分的几何应用定积分的几何应用 用定积分计算的量的特点：用定积分计算的量的特点： (1) (1) 所求量（设为所求量（设为 f）与一个给定区间）与一个给定区间 ba,有关，有关，且在该区间上具有可加

2、性且在该区间上具有可加性. . 就是说，就是说，f是确定于是确定于 ba,上上的整体量，当把的整体量，当把 ba,分成许多小区间时，整体量等于分成许多小区间时，整体量等于各部分量之和，即各部分量之和，即niiff1 . . ( (2 2) ) 所所求求量量 f在在区区间间 ba,上上的的分分布布是是不不均均匀匀的的，也也就就是是说说， f的的值值与与区区间间 ba,的的长长不不成成正正比比. .（否否则则的的话话， f使使用用初初等等方方法法即即可可求求得得，而而勿勿需需用用积积分分方方法法了了） . . 一、一、 定积分应用的微元法定积分应用的微元法 用定积分概念解决实际问题的四个步骤：用定

3、积分概念解决实际问题的四个步骤： 第第一一步步：将将所所求求量量 f分分为为部部分分量量之之和和，即即: : niiff1; ; 第二步：求出每个部分量的近似值，第二步：求出每个部分量的近似值， if);, 2 , 1()(nixfii 第三步：写出整体量第三步：写出整体量 f的近似值，的近似值，niiff1iniixf)(1； 第第四四步步：取取0maxix时时的的iniixf)(1极极限限，则则得得 nibaiixxfxff10d)()(lim. . 而而第第三三、 第第四四两两步步可可以以合合并并成成一一步步： 在在区区间间 ba,上上无无限限累累加加，即即在在 ba,上上积积分分. .

4、 至至于于第第一一步步，它它只只是是指指明明所所求求量量具具有有可可加加性性，这这是是 f能能用用定定积积分分计计算算的的前前提提，于于是是，上上述述四四步步简简化化后后形形成成实实用用的的微微元元法法. . 定积分应用的微元法定积分应用的微元法： ( (一一) ) 在区间在区间 ba,上任取一个微小区间上任取一个微小区间 xxxd, ，然后写出，然后写出在这个小区间上的部分量在这个小区间上的部分量f的近似值，记为的近似值，记为xxffd)(d( (称为称为 f的微元的微元) ); ; （二二） 将将微微元元fd在在ba,上上积积分分（无无限限累累加加） ，即即得得 .d)(baxxff观观察

5、察上上述述四四步步我我们们发发现现，第第二二步步最最关关键键，因因为为最最后后的的被被积积表表达达式式的的形形式式就就是是在在这这一一步步被被确确定定的的， 这这只只要要把把近近似似式式iixf)(中中的的变变量量记记号号改改变变一一下下即即可可（ i换换为为 x；ix换换为为 xd）. . 微元法中微元的两点说明：微元法中微元的两点说明： ( (1 1) ) xxfd)(作为作为f的近似值表达式，应该足够准确，确切的近似值表达式，应该足够准确，确切的 说 ， 就 是 要 求 其 差 是 关 于的 说 ， 就 是 要 求 其 差 是 关 于x的 高 阶 无 穷 小的 高 阶 无 穷 小 . .

6、 即即 )(d)(xoxxff. . 这样我们 就知道了，称作 微元的量这样我们 就知道了，称作 微元的量 xxfd)(，实际上是所求量的微分，实际上是所求量的微分 fd; ; ( (2 2) ) 具体怎样求微元呢具体怎样求微元呢? ? 这是问题的关键，这这是问题的关键，这要要分析问分析问题的题的实际实际意义意义及数量关系，一般按及数量关系，一般按着着在局部在局部 xxxd, 上，上，以以“常代变常代变”、“匀代不匀匀代不匀”、“直代曲直代曲”的思路（局部线的思路（局部线性 化 ） ， 写 出 局 部 上 所 求 量 的 近 似 值 ， 即 为 微 元性 化 ） ， 写 出 局 部 上 所 求

7、 量 的 近 似 值 ， 即 为 微 元 xxffd)(d . . 1. 1. 直角坐标系下的面积计算直角坐标系下的面积计算 用用微微元元法法不不难难将将下下列列图图形形面面积积表表示示为为定定积积分分. . （2 2） 由上、 下两条曲线由上、 下两条曲线)()()(),(xgxfxgyxfy及及bxax ,所围成的图形所围成的图形，如下页右图，如下页右图，面积微元面积微元,d)()(dxxgxfa，面积，面积baxxgxfad)()(. . （1 1） 曲曲线线),0)()(xfxfybxax,及及 ox轴轴所所围围图图形形，如如下下页页左左图图，面面积积微微元元xxfad)(d，面面积积

8、baxxfad)(. . 二、用定积分求平面图形的面积二、用定积分求平面图形的面积（3 3）由左右两条曲线由左右两条曲线)(),(yxyx及及dycy ,所所围成图形（图围成图形（图见下页见下页）面积微）面积微元（元（注意，这时就应取横条矩注意，这时就应取横条矩形形 ad，即取，即取 y为为积分变量积分变量）yyyad)()(d，面积面积dcyyyad)()(. . o y x x x d x a b ) ( x f y x o y x x d x a ) ( x f y ) ( x g y b 例例 1 1 求求两两条条抛抛物物线线22,xyxy所所围围成成的的图图形形的的面面积积 . .

9、解解（1 1）画出图形简图（）画出图形简图（如右上图如右上图）并求出曲线交）并求出曲线交点以确定积分区间：点以确定积分区间： o y x x x d x 1 (1,1) o y x y c d ( )xy ( )xy dyy 解方程组解方程组,22xyxy得交点得交点（0 0，0 0）及及（1 1，1 1）. . ( (2 2) ) 选选择择积积分分变变量量，写写出出面面积积微微元元，本本题题取取竖竖条条或或横横条条作作 ad均均可可，习习惯惯上上取取竖竖条条，即即取取 x为为积积分分变变量量，x变变化化范范围围为为 0 0，1 1 ，于于是是 ,d)(d2xxxa(3)(3)将将a表示成定积

10、分，并计算表示成定积分，并计算 10103232. 313132d)(xxxxxa例例 2 2 求求xy22及及4 xy所围成所围成图形图形面积面积. . 解解 作图（作图（如下图如下图） 求出交点坐标为求出交点坐标为)4 , 8(),2, 2(ba. . 观察图得知，宜取观察图得知，宜取 y为积分变量，为积分变量， y 变化范围为变化范围为 2 2，44（考虑一下，若（考虑一下，若取取 x为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处） ，为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处） ，于是得于是得 ,d21)4(d2yyya.1861421d21)4(4242322yyyyyyao y b a 4

11、 -2 y x y+dy 2. 2. 极坐标下的面积计算极坐标下的面积计算 曲曲边边扇扇形形：是是指指由由曲曲线线)(rr 及及两两条条射射线线,所所围围成成的的图图形形（如如右右下下图图）. . 取取 为积分变量， 其变化范围为为积分变量， 其变化范围为,， 在微小区间， 在微小区间 d,上上“以常代变以常代变”，即以小扇形面积，即以小扇形面积 ad作为小曲边扇形面积的近似作为小曲边扇形面积的近似值，于是得面积微元为值，于是得面积微元为 ,d)(21d2ra 将将ad在在,上上积积分分, ,便便得得曲曲边边 扇扇形形面面积积为为 .d)(212rao x ()rr d 例例 4 4 计计算算

12、双双纽纽线线)0(2cos22aar所所围围成成的的图图形形的的面面积积（如如下下图图所所示示）. 解解 由由于于图图形形的的对对称称性性，只只需需求求其其在在第第一一象象限限中中的的面面积积，再再 4 4 倍倍即即可可，在在第第一一象象限限 的的变变化化范范围围为为 4, 0，于于是是 222440014cos2 dsin2.2aaaao a y x 4 解解 先求两线交点，以确定先求两线交点，以确定 的变化范围，解方程组的变化范围，解方程组 1 cos ,3cos .rr 由由cos1cos3得得 21cos ，故故 3 ，考考虑虑到到图图形形的的对对称称性性，得得所所求求的的 面面积积为

13、为 o x 2 3 3cosr 1 cosr 302322d)cos3(21d)cos1 (212a例例 5 5 求心形线求心形线 1 cosr 及圆及圆cos3r所围成的阴影所围成的阴影部分面积（部分面积（如如右右下图下图）. . 3023d)2cos1 (29d)22cos1cos21 (23302sin21292sin41sin223.451. 1. 平行截面面积为已知的立体体积平行截面面积为已知的立体体积设设一一物物体体被被垂垂直直于于某某直直线线的的平平面面所所截截的的面面积积可可求求，则则该该物物体体可可用用定定积积分分求求其其体体积积. . 三、用定积分求体积三、用定积分求体积为

14、求体积微为求体积微元元，在微小区间，在微小区间 d,xxx上视上视 )(xa不不变，即把变，即把d,xxx上的立体薄片近似看作上的立体薄片近似看作 )(xa为底，为底， xd为高的柱片，于是得为高的柱片，于是得 ,d)(dxxav 再再在在x的的变变化化区区间间,ba上上积积分分， 则则得得公公式式 .d)(baxxav不不妨妨设设上上述述直直线线为为 x轴轴，则则在在 x处处的的截截面面面面积积 )(xa是是x的的已已知知连连续续函函数数，求求该该物物体体介介于于 ax 和和 )(babx之之间间的的体体积积（如如右右下下图图）. . o x y b x a ( )a xdxx 例例 6 6

15、 设有底圆半径为设有底圆半径为 r的圆柱， 被一与圆柱面交成的圆柱， 被一与圆柱面交成 角且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积（如角且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积（如右右下下图）图）. . o y x r r a 222xyr a 解解 取坐标系如图，则底圆方程为取坐标系如图，则底圆方程为 222,xyr在在 x处处垂垂直直于于 x轴轴作作立立体体的的截截面面，得得一一直直角角三三角角形形，两两条条直直角角边边分分别别为为 y及及 tany，即即22xr 及及tan22xr ，其其面面积积为为tan)(21)(22xrxa，从从而而得得楔楔形形体体积积为为 rrrxxrxxrv0

16、2222d)(tandtan)(21tan32)3(tan3022rxxrr.2、 旋转体体积旋转体体积 设设 旋旋 转转 体体 是是 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy 和和 直直 线线)(,babxax，及及 x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕 x轴轴旋旋转转而而成成（如如下下图图） ，我我们们来来求求它它的的体体积积 v. . 在在区区间间 ,ba上上点点 x处处垂垂直直 x轴轴的的截截面面面面积积为为 在在x的的变变化化区区间间,ba内内积积分分，得得旋旋转转体体体体积积为为 o y x b a a(x) ).()(2xfxa.d)(2baxxfv类类似似地地，由由曲曲线线

17、)(yx，直直线线dycy ,及及 y轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕 y轴轴旋旋转转，所所得得旋旋转转体体体体积积（如如下下页页左左图图）为为 .d)(2dcyyv例例 7 7 求求由由星星形形线线 222333(0)xyaa 绕绕 x 轴轴旋旋转转所所成成旋旋转转体体体体积积（如如上上右右图图）. . 解解 由方程由方程 323232ayx o y x c d ( )xy y o x a -a 解出解出 2y33232)(xa ，于是所求体积为，于是所求体积为 aaaxxaxyv0332322d)(2d.10532d)33(2320343232342axxxaxaaa设设有有曲曲线

18、线)(xfy （假假定定其其导导数数)(xf 连连续续） ，我我们们来来计计算算从从 ax 到到 bx 的的一一段段弧弧长长的的长长度度 s（如如下下页页左左图图） . 我们仍用微元法，取我们仍用微元法，取 x为积分变量，为积分变量，,bax，在微小，在微小区间区间,dxxx内，用切线段内，用切线段 mt来近似代替小弧段来近似代替小弧段 mn（ “常代变” ）得弧长微元为（ “常代变” ）得弧长微元为 .d1)d()d(d222xyyxqtmqmts22这这里里xysd1d2也也称称为为弧弧微微分分公公式式. . 在在x的的变变化化区区间间,ba内内积积分分，就就得得所所求求弧弧长长 .d)(

19、 1d122babaxxfxys四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长若曲线由参数方程若曲线由参数方程 ( ),( )xtyt )( t给出， 这时弧长微元为给出， 这时弧长微元为 2222d(d )(d )( )( ) d .sxyxxt于于是是所所求求弧弧长长为为 .d)( )( 22ttts注注意意：计计算算弧弧长长时时，由由于于被被积积函函数数都都是是正正的的. . 因因此此，为为使使弧弧长长为为正正，定定积积分分定定限限时时要要求求下下限限小小于于上上限限. . o x a y x b a m n b x d s d q y d ydxy t o x a y -a 例例 9 9 两两根

20、根电电线线杆杆之之间间的的电电线线， 由由于于自自身身重重量量而而下下垂垂成成曲曲线线，这这一一曲曲线线称称为为悬悬链链线线，已已知知悬悬链链线线方方程程为为 )ee(2axaxay )0( a 求求从从ax到到ax 这这一一段段的的弧弧长长（如如上上页页右右图图） 解解 由由于于弧弧长长公公式式中中被被积积函函数数比比较较复复杂杂，所所以以代代公公式式前前，要要将将 sd部部分分充充分分化化简简，然然后后再再求求积积分分. . 这这里里，)ee (21axaxy，于于是是 221d1 d1(ee) d .4xxaasyxx故悬链线这段长为故悬链线这段长为 aaxysd12 aaxaxx0d)

21、ee ( )ee ()ee (10aaaaxax 1()dee2xxaax例例 10 10 求摆线求摆线(sin ),(1 cos )xa ttyat 在在 20 t的一段长的一段长)0( a. . 解解 )cos1 ()(tatx, tatysin)(, 于是于是 ttattytxsd)cos1 (2d)( )( d22 ttad2sin2, , 由于在由于在2 , 0上，上，02sint，故，故这一拱摆线长为这一拱摆线长为 .82cos4d2sin22020atattas 思考题思考题 1.1. 什么叫微元法什么叫微元法? ?用微元法解决实际问题的思路及用微元法解决实际问题的思路及步骤如何

22、步骤如何? ? 2 2 求平面图形的面积一般分为几步求平面图形的面积一般分为几步? ? 一、一、定积分的物理应用定积分的物理应用二、二、经济应用问题举例经济应用问题举例第二节第二节 定积分的物理应用与经济应用举例定积分的物理应用与经济应用举例第二节第二节 定积分的物理应用与经济应用举例定积分的物理应用与经济应用举例 1. 1. 功功 (1) (1) 变力做功变力做功 设设物物体体在在变变力力)(xf作作用用下下沿沿 x轴轴由由 a处处移移动动到到 b处处，求求变变力力)(xf所所做做的的功功. . 由于力由于力)(xf是变力是变力，所求功是区间，所求功是区间 ,ba上非均匀分布的整上非均匀分布

23、的整体量，故可以用定积分来解决体量，故可以用定积分来解决. . 利利用用微微元元法法，由由于于变变力力)(xf是是连连续续变变化化的的，故故可可以以设设想想在在微微小小区区间间 d,xxx上上作作用用力力)(xf保保持持不不变变（ “常常代代变变”求求微微元元的的思思想想） ，按按常常力力做做功功公公式式得得这这一一段段上上变变力力做做功功近近似似值值. . 一、定积分的物理应用一、定积分的物理应用 ,d)(dxxfw 将将微微元元wd从从 a到到 b求求定定积积分分，得得)(xf在在整整个个区区间间上上所所做做的的功功为为 .d)(baxxfwo x x x d x a b ( )f x如如

24、图图所所示示建建立立坐坐标标系系，变变力力)(xf使使物物体体从从微微小小区区间间 d,xxx的的左左端端点点x处处移移动动到到右右端端点点xxd处处，所所做做功功的的近近似似值值，即即功功微微元元为为 例例 1 1 在原点在原点o有一个带电量为有一个带电量为+ +q 的点电荷，它所产生的点电荷，它所产生的电场对周围电荷有作用力的电场对周围电荷有作用力. . 现有一单位正电荷从距原点现有一单位正电荷从距原点 a处沿射线方向移至距处沿射线方向移至距 o点为点为 )(bab的地方， 求电场力做功的地方， 求电场力做功. . 又如果把该单位电荷移至无穷远处，电场力做了多少功？又如果把该单位电荷移至无

25、穷远处，电场力做了多少功？ 解解 取取电电荷荷移移动动的的射射线线方方向向为为 x轴轴正正方方向向，那那么么电电场场力力为为2xqkf （ k为为常常数数） ，这这是是一一个个变变力力. . 在在d,xxx上，以“常代变”得功的微元为上，以“常代变”得功的微元为 xxkqwdd2 于是功为于是功为 . )11(1d2bababakqxkqxxkqw若移至无穷远处，则做功为若移至无穷远处，则做功为 .1d2akqxkqxxkqaa物物理理学学中中，把把上上述述移移至至无无穷穷远远处处所所做做的的功功叫叫做做电电场场在在 a处处的的电电位位，于于是是知知电电场场在在 a处处的的电电位位为为 akq

26、v . . 例例 2 2 设设汽汽缸缸内内活活塞塞一一侧侧存存有有定定量量气气体体，气气体体做做等等温温膨膨胀胀时时推推动动活活塞塞向向右右移移动动一一段段距距离离，若若气气体体体体积积由由 1v变变至至 2v，求求气气体体压压力力所所做做的的功功（如如下下图图）. . 解解 气气体体膨膨胀胀为为等等温温过过程程，所所以以气气体体压压强强为为 vcp ( ( v气气体体体体积积，c常常数数） ，而而活活塞塞上上的的总总压压力力为为 ,scvcpfqq o s 1 s 2 s （q活活塞塞的的截截面面积积，s为为活活塞塞移移动动的的距距离离，qsv ） 以以 1s与与 2s表表示示活活塞塞的的初

27、初始始与与终终止止位位置置，于于是是得得功功为为 2121d1dsssssscsfw21d1vvvvc.lnln1212vvcvcvv(2) (2) 抽水做功抽水做功 例例 3 3 一个底半径为一个底半径为 4 4 m m，高为，高为 8 8 m m 的倒立圆锥形容器，内的倒立圆锥形容器，内装装 6 6 m m 深的水，现要把容器内的水全部抽完，需做功多少？深的水，现要把容器内的水全部抽完，需做功多少？ 解解 我我们们设设想想水水是是一一层层一一层层被被抽抽出出来来的的，由由于于水水位位不不断断下下降降，使使得得水水层层的的提提升升高高度度连连续续增增加加，这这是是一一个个“变变距距离离”做做

28、功功问问题题，亦亦可可用用定定积积分分来来解解决决. . 选选 择择 坐坐标标 系系（ 见见 下下页页 图图 ） ，于于 是是直直 线线 ab方方 程程 为为421xy. . 在在 x的的变变化化区区间间 8 , 2内内取取微微小小区区间间 d,xxx，则则抽抽出出这这厚厚为为 xd的的一一薄薄层层水水所所需需做做功功的的近近似似值值为为 vxwdd（ 水水的的比比重重） 2d .x yx 于是功为于是功为 822dxxyw822d)24(xxx8232d)4416(xxxx28432)16348(xxx)(10638 . 93j ( (339.8 10 n/m) ). . o x y x x

29、 d x 2 ) 4 , 0 ( b ) 0 , 8 ( a 2. 2. 液体对平面薄板的压力液体对平面薄板的压力 设设有有一一薄薄板板，垂垂直直放放在在比比重重为为 的的液液体体中中，求求液液体体对对薄薄板板的的压压力力. . 由物理学知道，在液体下面深度为由物理学知道，在液体下面深度为 h处，由液体重量所产处，由液体重量所产生的压强为生的压强为h，若有面积为，若有面积为 a的薄板水平放置在液深为的薄板水平放置在液深为 h处，这时薄板各处受力均匀，所受压力为处，这时薄板各处受力均匀，所受压力为pah a，如今，如今薄板是垂直于液体中，薄板上在不同的深度处压强是不同的，薄板是垂直于液体中，薄板

30、上在不同的深度处压强是不同的，因此整个薄板所受的压力是非均匀分布的整体量因此整个薄板所受的压力是非均匀分布的整体量. . 下面结合具下面结合具体例子来说明如何用定积分来计算体例子来说明如何用定积分来计算. . 例例 4 4 一个横放的半径为一个横放的半径为 r的圆柱形水桶，里面盛的圆柱形水桶，里面盛有半桶油，计算桶的一个端面所受的压力（设油有半桶油，计算桶的一个端面所受的压力（设油的的比重比重为为 ）. . 解解 桶的一端面是圆板，现在要计算当油面过圆心桶的一端面是圆板，现在要计算当油面过圆心时，垂直放置的一个半圆板的一侧所受的压力时，垂直放置的一个半圆板的一侧所受的压力. . 选选取取坐坐标

31、标系系（如如下下页页图图）. . 圆圆方方程程为为 222ryx. . 取取 x为为积积分分变变量量，在在 x的的变变化化区区间间 , 0r内内取取微微小小区区间间 d,xxx，视视这这细细条条上上压压强强不不变变，所所受受的的压压力力的的近近似似值值，即即压压力力微微元元为为 22dd2d ,px sx rxx于是，端面所受的压力为于是，端面所受的压力为 2202drpx rxx1222220()d()rrxrx 32232022().33rrxr o y x x d x x r 3. 3. 转动惯量转动惯量 在在刚刚体体力力学学中中转转动动惯惯量量是是一一个个重重要要的的物物理理量量，若若

32、质质点点质质量量为为 m，到到一一轴轴距距离离为为 r，则则该该质质点点绕绕轴轴的的转转动动惯惯量量为为 2.imr现现在在考考虑虑质质量量连连续续分分布布的的物物体体绕绕轴轴的的转转动动惯惯量量问问题题，一一般般地地，如如果果物物体体形形状状对对称称，并并且且质质量量为为均均匀匀分分布布时时，则则可可以以用用定定积积分分来来解解决决. . 解解 选择坐标系（如下页图）选择坐标系（如下页图）. . 先先求求转转动动惯惯量量微微元元 id，为为此此考考虑虑细细杆杆上上 d,xxx一一段段，它它的的质质量量为为 xlmd，把把这这一一小小段段杆杆设设想想为为位位于于 x处处的的一一个个质质点点，它

33、它到到转转动动轴轴距距离离为为 x，于于是是得得微微元元为为 例例 5 5 一一均均匀匀细细杆杆长长为为 l，质质量量为为 m，试试计计算算细细杆杆绕绕过过它它的的中中点点且且垂垂直直于于杆杆的的轴轴的的转转动动惯惯量量. . .dd2xxlmi 沿沿细细杆杆从从2l到到 2l积积分分，得得整整个个细细杆杆转转动动惯惯量量为为 o y x x d x x 2l 2l32222221d.312llllmm xixxmlll例例 6 6 计计算算质质量量为为 m，半半径径为为 r的的均均匀匀薄薄板板，绕绕过过圆圆心心与与圆圆板板垂垂直直的的轴轴的的转转动动惯惯量量. . 解解 选择坐标系（如下页图

34、）选择坐标系（如下页图）. . 在在区区间间, 0r上上的的 x处处取取一一宽宽为为xd的的小小窄窄圆圆环环，因因圆圆板板的的密密度度为为2rm，圆圆环环面面积积近近似似于于xxd2，故故其其质质量量近近似似于于 ,d2d222xxrmxxrm圆环圆环对轴转动惯量近似值，即转动惯量微元为对轴转动惯量近似值，即转动惯量微元为 ,d2)d2(d3222xxrmxxxrmi.242d20204232rrrmxrmxxrmiy x r x o dxx 沿沿x方方向向，从从 0积积到到 r，就就得得到到圆圆板板的的转转动动惯惯量量 1 1已知总产量的变化率求总产量已知总产量的变化率求总产量 .例例 7 7 设设某某产产品品在在时时刻刻 t总总产产量量的的变变化化率率为为 26 . 012100)(tttf （单位（单位h） 求求从从 2t到到 4t的的总总产产量量（ t的的单单位位为为 h）. . 解解 设设总总产产量量为为)(tq，由由已已知知条条件件)()( tft q，则则知知总总产产量量)(tq是是)(tf的的一一个个原原函函数数，所所以以有有 42422d)6 .012100(d)(tttttf8 .260)2 . 06100(4232ttt即即所所求求的的总总产产