第4节极限的运算法则

1、11/14/2021 5:46 am2.4 极限的运算法则极限的运算法则函数极限的四则运算法则函数极限的四则运算法则11/14/2021 5:46 am【定理定理】在某一变化过程中，lim, limxayb则lim()limlimxyxyab证证0 , 总有那么一个时刻，刻以后，,2xa 也总有那么一个时刻，,2yb 第第2 2章章 极限与连续极限与连续在那个时恒有在那个时刻以后，恒有中较晚的那个时刻以后，在两时刻两式同时成立，即若11/14/2021 5:46 am()()xyab所以lim()xyab证毕。推论推论两个无穷小量的代数和仍为无穷第第2 2章章 极限与连续极限与连续xayb小量

2、。广到有限个广到有限个，说明说明定理和推论中的“两个”都可以推可以推但不能推广到无穷个不能推广到无穷个。22 11/14/2021 5:46 am【定理定理】在某一变化过程中，lim, limxayb则limlimlimxyxyab证证利用变量极限与无穷小量的关系,xayb其中limlim0()()()xyababab其中均为无穷小量，,ab 第第2 2章章 极限与连续极限与连续若小量（为什么？），则和仍为无穷lim xyab 证毕。所以11/14/2021 5:46 am推论推论1两个无穷小量的乘积仍为无穷推论推论2limlimcycy （为常数）clim(lim )nnxx 推论推论3若是

3、正整数，则n说明说明定理和推论中的“两个”都可以推可以推第第2 2章章 极限与连续极限与连续小量。广到有限个广到有限个， 但不能推广到无穷个不能推广到无穷个。11/14/2021 5:46 am【定理定理】在某一变化过程中，lim, lim(0)xayb b则limlimlimxxayyb（证明略）说明说明在应用极限运算法则时，第第2 2章章 极限与连续极限与连续若个变量的极限必须存在个变量的极限必须存在。要求每一要求每一11/14/2021 5:46 am设为多项式，则设为多项式，则( )f x00lim( )()xxf xf x 多项式的极限多项式的极限01011lim()nnnnxxa

4、xa xaxa 1001010nnnna xa xaxa 例例1计算21lim(321)xxx22111lim(321)3lim2lim1xxxxxxx解解2 第第2 2章章 极限与连续极限与连续11/14/2021 5:46 am例例2计算2225lim31xxxx 解解因为22lim(25)5xxx2lim(31)70 ,xx所以22255lim317xxxx 有理分式的极限有理分式的极限设，且，则设，且，则( )( )( )p xf xq x 00lim( )()0 xxq xq x0000()lim( )()()xxp xf xf xq x第第2 2章章 极限与连续极限与连续11/14

5、/2021 5:46 am例例3计算225lim4xxx 解解因为，22lim(4)0 xx利用无穷小量与无穷大量之间的关系先求224lim0 ,5xxx 则225lim4xxx 设，且设，且( )( )( )p xf xq x 00lim( )0 , lim( )0 xxxxp xq x则则0lim( )xxf x 第第2 2章章 极限与连续极限与连续的运算法则。不能直接用极限11/14/2021 5:46 am2222232223limlim1313nnnnnnnn 解解由于分子和分母的极限不存在，将分子和分母同除以未知数的最高次幂23 例例4计算22223lim31nnnn 第第2 2章

6、章 极限与连续极限与连续直接应用极限的运算法则。不能11/14/2021 5:46 am例例5计算324421lim31xxxx 解解方法同例4。322444421421limlim1313xxxxxxxxx 0 例例6计算3221lim87xxxx 解解方法同例4。33221221limlim8787xxxxxxxx 第第2 2章章 极限与连续极限与连续 11/14/2021 5:46 am101101limnnnmmxma xa xab xb xb 00anmb 0nm nm当时，有理分式的极限当时，有理分式的极限x 说明说明以后计算极限时可直接应用。第第2 2章章 极限与连续极限与连续1

7、1/14/2021 5:46 am例例7计算233lim9xxx 解解因为分子和分母的极限都为0，由极限的定义，23333limlim9(3)(3)xxxxxxx 16 约去极限为约去极限为0的公因子的公因子第第2 2章章 极限与连续极限与连续直接应用极限的运算法则。不能3x 消去的因子。3x 3x 时， 分解因式31lim3xx 11/14/2021 5:46 am例例8计算42lim4xxx 解解因为分子和分母的极限都为，将分子有理化4424limlim4(4)(2)xxxxxxx 41lim2xx 将分子或分母有理化，再约去公因子将分子或分母有理化，再约去公因子第第2 2章章 极限与连续

8、极限与连续直接应用极限的运算法则。不能14 11/14/2021 5:46 am例例9计算32112lim()28xxx 解解因为两个分式的极限都不存在，先通分先通分，再约去公因子先通分，再约去公因子第第2 2章章 极限与连续极限与连续不能直接应用极限的运算法则。32112lim()28xxx 2322412lim8xxxx 22(2)(4)lim(2)(24)xxxxxx 224lim24xxxx 12 11/14/2021 5:46 am例例10已知2310( )3101xxf xxxxx 计算0lim( ), lim( ), lim( )xxxf xf xf x解解0lim( )xf x

9、 0lim( )xf x 即0lim( )1xf x lim( )xf xlim( )xf x第第2 2章章 极限与连续极限与连续分段函数分点分段函数分点处的极限利用处的极限利用充要条件充要条件计算计算2331lim1xxxx 0 lim(1)xx 0lim(1)xx1 23031lim1xxxx 1 11/14/2021 5:46 am内容小结内容小结1.极限的运算法则极限的运算法则2.利用运算法则求极限利用运算法则求极限-几种特殊形式函数的极限几种特殊形式函数的极限第第2 2章章 极限与连续极限与连续11/14/2021 5:46 am备用题备用题1.若存在，不存在，lim xlim y是

10、否存在，为什么？解解不存在。 若存在，()yxyx由极限的运算法则知，思考思考本题条件改成和都不存lim xlim y在，第第2 2章章 极限与连续极限与连续lim()xy 问lim y存在，矛盾。结论又如何？11/14/2021 5:46 am2.计算sinlimxxx解解sin1,x 1lim0 xx 所以sin1limlimsin0 xxxxxxsin1limlimsinxxxxxx 思考思考下列做法是否正确，为什么？ oyxxxysin第第2 2章章 极限与连续极限与连续1limlimsinxxxx 0 11/14/2021 5:46 am3.若求的值。21lim5 ,1xxaxbx

11、,a b解解由于分式的极限存在，21lim()xxaxb即1ba 将其代入已知极限中211lim1xxaxax 1lim(1)xxa 得7,6ab 第第2 2章章 极限与连续极限与连续为0，而分母的极限则分子的极限必为0。1(1)(1)lim1xxxax 2a 5 10ab11/14/2021 5:46 am4.计算2222123limnnnnnn解解这是无穷个无穷小量的和，2222123limnnnnnn12 第第2 2章章 极限与连续极限与连续运算法则。不能用2(1)2limnnnn 11/14/2021 5:46 am5.设，1x 242lim(1)(1)(1)(1)nnxxxx（197

12、9）解解242lim(1)(1)(1)(1)nnxxxx2421lim(1)(1)(1)(1)(1)1nnxxxxxx 4421lim(1)(1)(1)1nnxxxx 121lim(1)1nnxx 1(1)1xx 第第2 2章章 极限与连续极限与连续求11/14/2021 5:46 am6.设函数，( )(0,1)xf xaaa21limln (1) (2)( )nfff nn（1999）21limln (1) (2)( )nfff nn21limln2lnln naanan2ln(1)lim2na n nn 1ln2a 解解第第2 2章章 极限与连续极限与连续计算21limln(1)ln(2)ln