人教版高中数学选修11：2.3 抛 物 线 课时提升作业十五 2.3.1 Word版含解析

1、起课时提升作业(十五)抛物线及其标准方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2014·安徽高考)抛物线y=14x2的准线方程是()a.y=-1 b.y=-2c.x=-1d.x=-2【解题指南】将抛物线化为标准形式即可得出.【解析】选a.由y=14x2得x2=4y,所以抛物线的准线方程是y=-1.【补偿训练】(2014·陕西高考)抛物线y2=4x的准线方程为.【解析】根据抛物线的几何性质得抛物线y2=4x的准线方程为x=-1.答案:x=-12.(2015·陕西高考)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则抛物线焦点坐标

2、为()a.(-1,0)b.(1,0)c.(0,-1)d.(0,1)【解题指南】利用抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),求得p2=1,即可求出抛物线焦点坐标.【解析】选b.因为抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),所以p2=1,所以该抛物线焦点坐标为(1,0).3.(2015·长沙高二检测)过点f(0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为()a.y2=12xb.y2=-12xc.x2=12yd.x2=-12y【解析】选c.由题意知动圆圆心到点f(0,3)的距离等于到定直线y=-3的距离,故动圆圆心的轨迹是以点f为焦点,直线y=-

3、3为准线的抛物线.故动圆圆心的轨迹方程为x2=12y.【补偿训练】已知动点p(x,y)满足(x-1)2+(y-2)2=|3x+4y-10|5,则p点的轨迹是()a.直线b.圆c.椭圆d.抛物线【解析】选d.由题意知,动点p到定点(1,2)和定直线3x+4y-10=0的距离相等,又点(1,2)不在直线3x+4y-10=0上,所以点p的轨迹是抛物线.4.抛物线x2=4y上一点a的纵坐标为4,则点a与抛物线焦点的距离为()a.2b.3c.4d.5【解析】选d.抛物线的准线为y=-1,所以点a到准线的距离为5,又因为点a到准线的距离与点a到焦点的距离相等,所以距离为5.【一题多解】选d.因为y=4,所

4、以x2=4·y=16,所以x=±4,所以取a(4,4),焦点坐标为(0,1),所以所求距离为42+(4-1)2=25=5.5.(2015·山师附中高二检测)已知点p是抛物线y2=2x上的一个动点,则点p到点a(0,2)的距离与p到该抛物线准线的距离之和的最小值为()a.172b.2c.5d.92【解析】选a.如图,由抛物线定义知|pa|+|pq|=|pa|+|pf|,则所求距离之和的最小值转化为求|pa|+|pf|的最小值,则当a,p,f三点共线时,|pa|+|pf|取得最小值.又a(0,2),f12,0,所以(|pa|+|pf|)min=|af|=0-122+(

5、2-0)2=172.二、填空题(每小题5分,共15分)6.对于抛物线y2=4x上任意一点q,点p(a,0)都满足|pq|a|,则a的取值范围是.【解析】设qt24,t,由|pq|a|得t24-a2+t2a2,t2(t2+16-8a)0,t2+16-8a0,故t28a-16恒成立,则8a-160,a2,故a的取值范围是(-,2.答案:(-,27.设抛物线y2=8x上一点p到y轴的距离是4,则点p到该抛物线焦点的距离是.【解析】由抛物线的方程得p2=42=2,再根据抛物线的定义,可知所求距离为4+2=6.答案:68.若点p到f(3,0)的距离比它到直线x+4=0的距离小1,则动点p的轨迹方程为.【

6、解题指南】可以考虑运用直接法,设出p点坐标,列等式或考虑抛物线的定义.【解析】由题意知点p到f(3,0)的距离比它到直线x=-4的距离小1,则应有p到(3,0)的距离与它到直线x=-3的距离相等.故p的轨迹为抛物线且以f(3,0)为焦点,所以p2=3,p=6,故抛物线方程为y2=12x.答案:y2=12x三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点m(-3,m)到焦点的距离是5.(1)求抛物线方程和m的值.(2)求抛物线的焦点和准线方程.【解析】(1)设抛物线方程为y2=-2px(p>0),则焦点坐标f-p2,0,准线方程x=p2.由抛物线定义知,点m到

7、焦点的距离等于5,即点m到准线的距离等于5,则3+p2=5,所以p=4,所以抛物线方程为y2=-8x,又点m(-3,m)在抛物线上,所以m2=24,所以m=±26,所以所求抛物线方程为y2=-8x,m=±26.(2)因为p=4,所以抛物线的焦点坐标为(-2,0),准线方程是x=2.【补偿训练】(2013·福建高考)如图,在正方形oabc中,o为坐标原点,点a的坐标为(10,0),点c的坐标为(0,10),分别将线段oa和ab十等分,分点分别记为a1,a2,a9和b1,b2,b9,连接obi,过ai作x轴的垂线与obi交于点pi(in*,1i9).求证:点pi(in

8、*,1i9)都在同一条抛物线上,并求抛物线e的方程.【解析】依题意,过ai(in*,1i9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,因为bi(10,i),所以直线obi的方程为y=i10x,设pi坐标为(x,y),由x=i,y=i10x得:y=110x2,即x2=10y,所以pi(in*,1i9)都在同一条抛物线上,且抛物线e的方程为x2=10y.10.(2015·长春高二检测)如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.(1)以抛物线的顶点为原点o,其对称轴所在的直线为y轴

9、,建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的方程.(2)若行车道总宽度ab为7米,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?【解析】如图所示(1)依题意,设该抛物线的方程为x2=-2py(p>0),因为点c(5,-5)在抛物线上,可解得p=52,所以该抛物线的方程为x2=-5y.(2)设车辆高h米,则|db|=h+0.5,故d(3.5,h-6.5),代入方程x2=-5y,解得h=4.05,所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知f是抛物线y2=x的焦点,a,b是该抛物线上的两点,|af|+|bf|=3,则线段ab的中点

10、到y轴的距离为()a.34b.1c.54d.74【解析】选c.根据抛物线定义与梯形中位线定理,得线段ab的中点到y轴的距离为12(|af|+|bf|)-14=32-14=54.【补偿训练】抛物线y2=-2px(p>0)的焦点恰好与椭圆x29+y25=1的一个焦点重合,则p=()a.1b.2c.4d.8【解析】选c.椭圆中a2=9,b2=5,所以c2=a2-b2=4,所以c=2,所以f1(-2,0),f2(2,0),抛物线y2=-2px(p>0)的焦点f-p2,0与f1重合,所以-p2=-2,所以p=4.2.(2015·浙江高考)如图,设抛物线y2=4x的焦点为f,不经过焦

11、点的直线上有三个不同的点a,b,c,其中点a,b在抛物线上,点c在y轴上,则bcf与acf的面积之比是()a.|bf|-1|af|-1b.|bf|2-1|af|2-1c.|bf|+1|af|+1d.|bf|2+1|af|2+1【解析】选a.sbcfsacf=12bc·h12ac·h=|bc|ac|=|bm|an|=xbxa=bf-1af-1.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·深圳高二检测)设抛物线y2=8x的焦点为f,准线为l,p为抛物线上一点,pal,a为垂足.如果直线af的斜率为-3,那么|pf|=.【解析】如图所示,afe=60°,

12、又f(2,0),所以e(-2,0),所以aeef=tan60°,所以ae=43,所以点p的坐标为(6,43),所以|pf|=|pa|=6+2=8.答案:84.(2014·湖南高考)如图,正方形abcd和正方形defg的边长分别为a,b(a<b),原点o为ad的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过c,f两点,则ba=.【解题指南】由正方形的边长给出点c,f的坐标,代入抛物线方程求解.【解析】由题意可得ca2,-a,fa2+b,b,则a2=pa,b2=2pa2+b,ba=2+1.答案:2+1三、解答题(每小题10分,共20分)5.设点p是曲线y2=4x上的一个动点

13、.(1)求点p到点a(-1,1)的距离与点p到直线x=-1的距离之和的最小值.(2)若b(3,2),点f是抛物线的焦点,求|pb|+|pf|的最小值.【解析】(1)如图,易知抛物线的焦点为f(1,0),准线是x=-1,由抛物线的定义知:点p到直线x=-1的距离等于点p到焦点f的距离,于是,问题转化为在曲线上求一点p,使点p到点a(-1,1)的距离与点p到f(1,0)的距离之和最小.显然,连接af交曲线于p点,故最小值为22+12=5.(2)如图,自b作bq垂直准线于q,交抛物线于p1,此时,|p1q|=|p1f|,那么|pb|+|pf|p1b|+|p1q|=|bq|=4,即|pb|+|pf|的最小值为4.6.(2015·苏州高二检测)如图所示,花坛的水池中央有一喷泉,水管op=1m,水从喷头p喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下.若最高点距水面2m,p距抛物线的对称轴1m,则水