工程数学凌智2 xtk1

1、第二章 习题课扬州大学数学科学学院.,)1( ), 2 , 1;, 2 , 1(212222111211矩阵矩阵简称简称列矩阵列矩阵行行叫做叫做列的数表列的数表行行排成排成个数个数由由nmnmaaaaaaaaaanmnjmianmmnmmnnij 矩阵的定义.,复复矩矩阵阵元元素素是是复复数数的的矩矩阵阵叫叫做做实实矩矩阵阵元元素素是是实实数数的的矩矩阵阵叫叫做做列列元元素素行行第第的的第第阵阵叫叫做做矩矩的的元元素素个个数数叫叫做做矩矩阵阵其其中中jiaaanmij .),()( )1(aanmaaaanmijijnm 也记作也记作矩阵矩阵或或式可简记为式可简记为.)(;2121行行矩矩阵阵

2、叫叫做做只只有有一一行行的的矩矩阵阵叫叫做做列列矩矩阵阵只只有有一一列列的的矩矩阵阵aaaaaaaanm 方阵列矩阵行矩阵.,)1(阶方阵阶方阵称为称为时时当当式式对对nanm 两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵它们是同型矩阵.,)., 2 , 1;, 2 , 1(,)()(babanjmibabbaaijijijij 记记作作相相等等与与矩矩阵阵那那么么就就称称矩矩阵阵即即们们的的对对应应元元素素相相等等并并且且它它是是同同型型矩矩阵阵与与如如果果同型矩阵和相等矩阵零矩阵单位矩阵.,o记作记作零矩阵零矩阵元素都是零的矩阵称为元素都是零的

3、矩阵称为., 1 enn简记作简记作阶单位阵阶单位阵叫做叫做阶方阵阶方阵其余元素都是零的其余元素都是零的主对角线上的元素都是主对角线上的元素都是.,)( ,)(,)(的的和和与与称称为为矩矩阵阵加加法法定定义义为为为为两两个个同同型型矩矩阵阵设设bababababbaaijijnmijnmijnm 交换律交换律结合律结合律矩阵相加).( ,)(,),(),(babaoaaaaaaaaijij 并并规规定定从从而而有有负负矩矩阵阵的的称称为为矩矩阵阵记记设设abba )()(cbacba ).(,aaaaaaij 规定为规定为或或的乘积记作的乘积记作与矩阵与矩阵数数运算规律运算规律);()(aa

4、 ;)(aaa .)(baba 数乘矩阵.), 2 , 1;, 2 , 1(,)(,)(,)(12211abcnjmibabababacccnmbabbaaskkjiksjisjijiijijnmijnsijsm 记记作作其其中中矩矩阵阵是是一一个个的的乘乘积积与与规规定定设设矩阵相乘运算规律运算规律);()(bcacab );(),()()(为数为数其中其中 babaab ;)(,)(cabaacbacabcba .eaaaennmnmnmm n阶方阵的幂阶方阵的幂.,111121是正整数是正整数其中其中定义定义阶方阵阶方阵是是设设kaaaaaaaanakk .,)(, 为正整数为正整数其中

5、其中lkaaaaaklkllklk .)(baabkkk 一般地一般地方阵的运算方阵的行列式方阵的行列式.det,aaaan或或记记作作的的行行列列式式阵阵叫叫做做方方的的元元素素所所构构成成的的行行列列式式阶阶方方阵阵由由运算规律运算规律.;,baabaanban 则则阶方阵阶方阵为为为数为数设设转置矩阵转置矩阵.,aaat记记作作的的转转置置矩矩阵阵叫叫做做阵阵到到一一个个新新矩矩的的行行换换成成同同序序数数的的列列得得把把矩矩阵阵.)(;)(;)(;)(ababaababaaatttttttttt 一些特殊的矩阵对称矩阵对称矩阵.,为对称矩阵为对称矩阵则称则称如果如果阶方阵阶方阵为为设设

6、aaanat 反对称矩阵反对称矩阵.,矩阵矩阵为反对称为反对称则称则称如果如果阶方阵阶方阵为为设设aaanat 幂等矩阵幂等矩阵.,2为幂等矩阵为幂等矩阵则称则称如果如果阶方阵阶方阵为为设设aaana 正交矩阵正交矩阵.,正交矩阵正交矩阵为为则称则称如果如果阶方阵阶方阵为为设设aeaaaanatt 对角矩阵对角矩阵.,为对角矩阵为对角矩阵则称则称素全为零素全为零其余元其余元如果除了主对角线以外如果除了主对角线以外阶方阵阶方阵为为设设ana对合矩阵对合矩阵.,2为对合矩阵为对合矩阵则称则称如果如果阶方阵阶方阵为为设设aeana 上三角矩阵上三角矩阵主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三主对角线以

7、下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵角矩阵下三角矩阵下三角矩阵主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵角矩阵伴随矩阵伴随矩阵. 212221212111的伴随矩阵的伴随矩阵叫做方阵叫做方阵方阵方阵所构成的所构成的的各元素的代数余子式的各元素的代数余子式行列式行列式aaaaaaaaaaaaannnnnnij .:eaaaaa 伴随矩阵具有重要性质伴随矩阵具有重要性质定义定义., 1aaaa 矩矩阵阵记记作作的的逆逆的的逆逆矩矩阵阵是是唯唯一一的的则则有有逆逆矩矩阵阵若若逆矩阵.),( , 的逆矩阵的逆矩阵称为称为且矩阵且矩阵秩的秩的、满、满或非奇异的、非退

8、化的或非奇异的、非退化的是可逆的是可逆的则称矩阵则称矩阵使使如果存在矩阵如果存在矩阵阶方阵阶方阵为为设设abaebaabbna 相关定理及性质相关定理及性质. 0 aa可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是方阵方阵.,1aaaa 则则可逆可逆若矩阵若矩阵.)()();0(1)( ;)(111111aaaaaatt .)( ,111abababba 且且也可逆也可逆那么那么都可逆都可逆与与若同阶方阵若同阶方阵矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证论证分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似相类似分块矩阵一、矩阵

9、的运算一、矩阵的运算二、逆矩阵的运算及证明二、逆矩阵的运算及证明三、矩阵的分块运算三、矩阵的分块运算典型例题例例计算计算 nnnnnnnnnnnnnnn11111111112一、矩阵的运算解解 11111111112nnnn nnnnnnnnnnnnnnn11111111112 111111111122nnnn )1()1()1(12nnnnnnnnnnnnn.,2是幂等矩阵是幂等矩阵所以所以在此例中在此例中aaa nnnnnnnnnnnn111111111例例3 3 123a 设设12131b ，cba 设设，.nc求求cba 12131123 3122123312311 ，3ab ，解：解

10、：3233 (3 )3cc c cc ccc 2()()cc cbaba ()3()3b ab abac 1133nnncc 312212331231.1. 0)(,)(, afaefdcbaa并并验验证证多多项项式式的的写写成成试试将将设设 解解,)()(2bcaddadcbaaef 由此得由此得ebcadadaaaf)()()(2 例例3 1001)()(22bcaddcbadadbccdacbdabbca,0000 . 0)( af即即例例4.)0(的逆矩阵的逆矩阵求求 bcaddcba解解方法一用定义求逆阵方法一用定义求逆阵,43211 xxxxa设设得得由由,1eaa 二、逆矩阵的运

11、算及证明,10014321 xxxxdcba . 1, 0, 0, 142423131xdxcxbxaxdxcxbxa则有则有 .,4321bcadaxbcadcxbcadbxbcaddx解得解得.11 acbdbcada注注., 元方程组元方程组矩阵的各列的矩阵的各列的同而常数项分别为单位同而常数项分别为单位个系数相个系数相实质上是求解实质上是求解的逆的逆依定义求依定义求nna.,:,的的逆逆矩矩阵阵即即可可得得的的每每一一个个元元素素去去除除最最后后用用符符号号再再将将次次对对角角元元素素调调换换其其置置位位中中的的主主对对角角元元素素调调换换其其先先将将矩矩阵阵其其做做法法是是的的方方法

12、法两两调调一一除除求求二二阶阶矩矩阵阵逆逆矩矩阵阵可可用用aaaa, .abaaadbccd方法二方法二a调换主对角元调换主对角元次对角元调符号次对角元调符号 acbd去除去除用用 a,1 acbda.11 acbdbcada注注此法仅适用于二阶矩阵，对二阶以上的此法仅适用于二阶矩阵，对二阶以上的矩阵不适用矩阵不适用 acbd分析分析.,),(,.,11111交交换换律律因因为为矩矩阵阵的的乘乘法法不不满满足足而而不不能能右右乘乘即即得得乘乘这这时时将将方方程程两两边边同同时时左左程程方方可可逆逆时时才才可可解解这这个个矩矩阵阵只只有有程程可可以以不不写写出出这这个个过过是是否否可可逆逆要要先

13、先考考察察例例如如解解关关系系的的位位置置应应注注意意已已知知矩矩阵阵与与解解矩矩阵阵方方程程时时abaxbaaxaaaabaxx ,.axb xab axbcab解解矩矩阵阵方方程程其其中中、 均均为为可可逆逆矩矩阵阵例例5 5矩阵方程矩阵方程解解1xba 1xba 11xcab bax bxa caxb .,0,的逆矩阵的逆矩阵并求并求必为可逆矩阵必为可逆矩阵证明证明阶可逆矩阵阶可逆矩阵都是都是设设dbcadnba 证证.),0det, 0det,(0detdetdet为可逆矩阵为可逆矩阵所以所以均可逆均可逆因为因为dbababad ),2 , 1,(,222112111 jinxxxxxdij阶矩阵阶矩阵均为均为其中其中设设例例6 6三、矩阵的分块运算)(000221221111211222112111阶单位阵阶单位阵是是neeexbxcxbxcxaxaxxxxbcadd ,221221111211exbxcoxbxcoxaexa依依矩矩阵阵相相等等的的定定义义有有,122112112111bxacbxoxax 从而得从而得.11111 bacboad故故同理可得：同理可得：;,)1(11111 bobcaadbocad则则设设.,)2(11111 bcaabodobacd则则设设: , dba对分块矩阵对分块矩阵均可逆均可逆、设设.:)2(;)1(.,111b