高中数学 阶段质量检测二新人教A版选修21

1、阶段质量检测（二）(a卷学业水平达标)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分)1抛物线y4x2的准线方程是()ax1bx1cy dy解析：选d由抛物线方程x2y，可知抛物线的准线方程是y.2(新课标全国卷)已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()a2 b.c. d1解析：选d因为双曲线的方程为1，所以e214，因此a21，a1.3是任意实数，则方程x2y2sin 4的曲线不可能是()a椭圆 b双曲线c抛物线 d圆解析：选c由于r，对sin 的值举例代入判断：sin 可以等于1，这时曲线表示圆；sin 可以小于0，这时曲线表示双曲线；sin 可以大于0

2、且小于1，这时曲线表示椭圆4设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()ay±x by±2xcy±x dy±x解析：选c由已知得到b1，c，a，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为y±x±x.5设圆锥曲线c的两个焦点分别为f1，f2，若曲线c上存在点p满足|pf1|f1f2|pf2|432，则曲线c的离心率等于()a.或 b.或2c.或2 d.或解析：选a设|pf1|4k，|f1f2|3k，|pf2|2k.若曲线c为椭圆，则2a6k,2c3k，e；若曲线c为双曲线，则2a2k,2c3k，e.6若点p到

3、直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点p的轨迹为()a圆 b椭圆c双曲线 d抛物线解析：选d由题意得点p到直线x2的距离与它到点(2,0)的距离相等，因此点p的轨迹是抛物线7(山东高考)已知椭圆c：1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆c有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为()a.1 b.1c.1 d.1解析：选d因为椭圆的离心率为，所以e，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2.双曲线的渐近线方程为y±x，代入椭圆方程得1，即1，所以x2b2，x±b，y2b2，y± b，则在第一象限双曲线的渐近线与

4、椭圆c的交点坐标为，所以四边形的面积为4× b× bb216，所以b25，所以椭圆方程为1.8已知|3，点a，b分别在y轴和x轴上运动，o为原点，则动点p的轨迹方程是()a.y21 bx21c.y21 dx21解析：选a设p(x，y)，a(0，y0)，b(x0,0)，由已知得(x，y)(0，y0)(x0,0)，即xx0，yy0，所以x0x，y03y.因为|3，所以xy9，即2(3y)29，化简整理得动点p的轨迹方程是y21.9探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是()ay2x by2

5、xcx2y dx2y解析：选c如果设抛物线的方程为y22px(p0)，则抛物线过点(40,30)，从而有3022p×40，即2p，所以所求抛物线方程为y2x.虽然选项中没有y2x，但c中的2p，符合题意10已知直线yk(x2)(k0)与抛物线c：y28x相交于a，b两点，f为c的焦点，若|fa|2|fb|，则k()a. b.c. d.解析：选d将yk(x2)代入y28x，得k2x2(4k28)x4k20.设a(x1，y1), b(x2，y2)，则x1x2，x1x24.抛物线y28x的准线方程为x2，由|fa|2|fb|及抛物线定义得x122(x22)，即x122x2，代入x1x24，

6、整理得xx220，解得x21或x22(舍去)所以x14，5，解得k2.又因为k0，所以k.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11以双曲线1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)答案：112设f1，f2为曲线c1：1的焦点，p是曲线c2：y21与c1的一个交点，则pf1f2的面积为_解析：由题意知|f1f2|24，设p点坐标为(x，y)由得则spf1f2|f1f2|·|y|×4×.答案：13已知点a(1,0)，直线l：y2

7、x4.点r是直线l上的一点若，则点p的轨迹方程为_解析：设p(x，y)，r(a,2a4)，则(1a,42a)，(x1，y)，消去a得y2x.答案：y2x14已知二次曲线1，当m2，1时，该曲线的离心率的取值范围是_解析：m2，1，曲线方程化为1，曲线为双曲线，e.m2，1，e.答案：，三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点p，求抛物线的方程和双曲线的方程解：依题意，设抛物线的方程为y22px(p0)，点p

8、在抛物线上，62p×，p2，所求抛物线的方程为y24x.双曲线的左焦点在抛物线的准线x1上，c1，即a2b21.又点p在双曲线上，1，解方程组得或(舍去)所求双曲线的方程为4x2y21.16(本小题满分12分)已知抛物线方程为y22x，在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于m，n两点，o为坐标原点若omon，求直线l的方程解：设直线l的方程为ykx2，由消去x得ky22y40.直线l与抛物线相交于m，n两点，解得k且k0.设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则y1y2，从而x1x2·.omon，x1x2y1y20，即0，解得k1符合题意，直线l的方程为yx2.17(本小题满

9、分12分)已知椭圆c的焦点f1(，0)和f2(，0)，长轴长为4，设直线yx2交椭圆c于a、b两个不同的点(1)求椭圆c的方程；(2)求弦ab的长解：(1)椭圆c的焦点为f1(，0)和f2(，0)，长轴长为4，设所求椭圆的方程为1(a>b>0)，则依题意有a2，c，b2a2c22.椭圆c的方程为：1.(2)联立消去y得3x28x40，设直线与椭圆相交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，则由根与系数的关系有x1x2，x1x2，所以由弦长公式：|ab| .18(本小题满分12分)已知椭圆1及直线l：yxm，(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求直线l被此椭

10、圆截得的弦长的最大值解：(1)由消去y，并整理得9x26mx2m2180.上面方程的判别式36m236(2m218)36(m218)直线l与椭圆有公共点，0，据此可解得3 m3 .故所求实数m的取值范围为3 ，3 (2)设直线l与椭圆的交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得：x1x2，x1x2，故|ab| ，当m0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.19(本小题满分12分)设有一颗彗星绕地球沿一抛物线型轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为d(万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为60°，求这颗彗星与地球的最短距离解：设彗星的轨道方程为y

11、22px(p>0)，焦点为f(，0)，彗星位于点p(x0，y0)处，直线pf的方程为y，解方程组消去y得12x220px3p20.得xp或x，故x0或x0.由抛物线定义得|pf|x02p或|pf|p.由|pf|d，得p或pd，由于抛物线的顶点是抛物线上距离焦点最近的点，而焦点到抛物线顶点的距离为，所以彗星与地球的最短距离为d万千米或d万千米(p点在f点的左边与右边时，所求距离取不同的值)20(本小题满分12分)已知椭圆1(ab0)的离心率e，过点a(0，b)和b(a,0)的直线与原点的距离为.(1)求椭圆的方程(2)已知定点e(1,0)，若直线ykx2(k0)与椭圆交于c，d两点，问：是

12、否存在k的值，使以cd为直径的圆过e点，请说明理由解：(1)直线ab方程为：bxayab0.依题意解得椭圆方程为y21.(2)假若存在这样的k值，由得(13k2)x212kx90.(12k)236(13k2)0.设c(x1，y1)，d(x2，y2)，则而y1·y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.要使以cd为直径的圆过点e(1,0)，当且仅当cede时，则·1，即y1y2(x11)(x21)0.(k21)x1x2(2k1)(x1x2)50.将式代入整理解得k.经验证k使成立综上可知，存在k，使以cd为直径的圆过点e.(b卷能力素养提升)(时间120分钟

13、，满分150分)一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分)1焦点在y轴上的双曲线，实轴长6，焦距长10，则双曲线的标准方程是()a.1 b.1c.1 d.1解析：选d由题意得a3，c5，则b2c2a216，故双曲线的标准方程为1.2已知过抛物线y26x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是()a.或 b.或c.或 d.解析：选b由焦点弦长公式|ab|得12，sin ，或.3平面内点p(x，y)的坐标满足方程 ，则动点p的轨迹是()a椭圆 b双曲线c抛物线 d直线解析：选c方程的几何意义为动点p(x，y)到定点(1,1)的距离与到定直线xy20的距离相等，由抛物线的定义知动点p的轨迹

14、是抛物线4已知点o(0,0)，a(1，2)，动点p满足|pa|3|po|，则点p的轨迹方程是()a8x28y22x4y50b8x28y22x4y50c8x28y22x4y50d8x28y22x4y50解析：选a设点p的坐标为(x，y)，则3，整理得8x28y22x4y50.5已知m是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x21的离心率是()a.或 b.c. d.或解析：选d由题意知m216，m±4，当m4时，x21表示椭圆，其离心率为e；当m4时，x21表示双曲线，其离心率为e.6方程mxny20与mx2ny21(mn0)在同一坐标系中的大致图象可能是()abcd解析：选a把两个方程都

15、化为标准形式得y2x，1，由选项c、d知方程mx2ny21表示椭圆，则m>0，n>0，则y2x是焦点在x轴上，开口向左的抛物线，故排除c和d；由选项a和b知，方程mx2ny21表示焦点在y轴上的双曲线，则n>0，m<0，则y2x是焦点在x轴上，开口向右的抛物线，排除b，选a.7若p是以f1，f2为焦点的椭圆1(ab0)上的一点，且·0，tanpf1f2，则此椭圆的离心率为()a. b.c. d.解析：选a在rtpf1f2中，设|pf2|1，则|pf1|2，|f1f2|，e.8若双曲线1(a0，b0)的实轴长是焦距的，则该双曲线的渐近线方程是()ay±

16、x by±xcy±x dy±2x解析：选c由题可知2a×2cc，则4a2c2a2b2，解得3，所以，故该双曲线的渐近线方程是y±x，选c.9从抛物线y24x上一点p引抛物线准线的垂线，垂足为m，且|pm|5，设抛物线的焦点为f，则mpf的面积为()a5b10c20 d.解析：选b由抛物线方程y24x易得抛物线的准线l的方程为x1.又由|pm|5可得点p的横坐标为4，代入y24x，可求得其纵坐标为±4，故smpf×5×410，选b.10已知p(x，y)为椭圆c：1上一点，f为椭圆c的右焦点，若点m满足|1且·

17、;0，则|的最小值为()a. b3c. d1解析：选a因为| |1且·0，所以点m在以f(3，0)为圆心，1为半径的圆上，pm为圆的切线，所以当pf最小时，切线长pm最小，由图知，当点p为右顶点(5,0)时，|pf|最小，最小值为532，此时|pm|.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11双曲线1(a0，b0)的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为_解析：双曲线两渐近线垂直即为等轴双曲线，e.答案：12过抛物线y22px(p0)的焦点作直线交抛物线于p(x1，y1)、q(x2，y2)两点，若x1x23p，则|pq|_.解析：由抛物线定义知|pq|x1x2p4p.答案：

18、4p13已知椭圆c：1，点m与c的焦点不重合若m关于c的焦点的对称点分别为a，b，线段mn的中点在c上，则|an|bn|_.解析：设mn交椭圆于点p，连接f1p和f2p(其中f1、f2是椭圆c的左、右焦点)，利用中位线定理可得|an|bn|2|f1p|2|f2p|2×2a4a12.答案：1214方程为1(ab0)的椭圆的左顶点为a，左、右焦点分别为f1、f2，d是它短轴上的一个端点，若32，则该椭圆的离心率为_解析：设点d(0，b)，则(c，b)，(a，b)，(c，b)，由32得3ca2c，即a5c，故e.答案：三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算

19、步骤)15(本小题满分10分)已知双曲线与椭圆1共焦点，且以y±x为渐近线(1)求双曲线方程(2)求过双曲线右焦点且倾斜角为的直线方程解：(1)椭圆的焦点坐标为(±5,0)，设双曲线方程为1(a>0，b>0)，则渐近线方程为±0，即y±x，所以解得则双曲线方程为1.(2)直线的倾斜角为，直线的斜率为， 故直线方程为y(x5)，即xy50.16(本小题满分12分)已知椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列且它们有一个公共的焦点(4,0)，其中双曲线的一条渐近线方程为yx，求三条曲线的标准方程解：因为双曲线的焦点在x轴上，故其方程可设为1(

20、a>0，b>0)，又因为它的一条渐近线方程为yx，所以，即 .解得e2，因为c4，所以a2，ba2，所以双曲线方程为1.因为椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列，所以这个等比数列的中间项一定是抛物线的离心率1，由等比数列性质可得椭圆和双曲线的离心率互为倒数，因此，椭圆的离心率为，设椭圆方程为1(a1>b1>0)，则c4，a18，b824248.所以椭圆的方程为1.易知抛物线的方程为y216x.17(本小题满分12分)顶点在原点，焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2.(1)求抛物线的标准方程；(2)若直线l：y2x1与抛物线相交于a，b两点，求ab的长

21、度解：(1)由题意可知p2，抛物线标准方程为x24y.(2)直线l：y2x1过抛物线的焦点f(0,1)，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，|ab|y1y2py1y22，联立得x28x40，x1x28，|ab|y1y222x112x2122(x1x2)420.18(本小题满分12分)已知f1，f2是椭圆1(ab0)的两个焦点，o为坐标原点，点p在椭圆上，且·f1f20，o是以f1f2为直径的圆，直线l：ykxm与o相切，并且与椭圆交于不同的两点a，b.(1)求椭圆的标准方程；(2)当·时，求k的值解：(1)依题意，可知pf1f1f2，c1，1，a2b2c2，解得a22，b21，c21，椭圆的标准方程为y21.(2)直线l：ykxm与o：x2y21相切，则1，即m2k21.由得(12k2)x24kmx2m220.直线l与椭圆交于不同的两点a，b，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，0k20k0，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，·x1x2y1y2，k±1.19(本小题满分12分)设f1，f2分别是椭圆y