39弧微分与曲率

1、一、 弧微分)(xfy 设在(a , b)内有连续导数, 其图形为 ab,弧长)(xsamsxsmmmmxmmmmmmxyx22)()(mmmm2)(1xyxsxsx0lim)(2)(1yxab)(xfy abxoyxmxxmy1lim0mmmmx则弧长微分公式为tyxsdd22 )(xs2)(1yxysd)(1d2或22)(d)(ddyxsxxdxdxoyxmydt几何意义几何意义:sdtm;cosddsxsinddsy若曲线由参数方程表示:)()(tyytxx二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。1m3m)2

2、 2m2s 1s mm 1s 2s nn )弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大转角越大越大转角越大转角相同弧段越转角相同弧段越短弯曲程度越大短弯曲程度越大1.曲率的定义曲率的定义1 )点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停).(1),(,的半径的半径为圆弧轨道为圆弧轨道到到率连续地由零过渡率连续地由零过渡使曲使曲如图如图缓冲段缓冲段弯道之间接入一段弯道之间接入一段稳，往往在直道和稳，往往在直道和驶平驶平容易发生事故，为了行容易发生事故，为了行的曲率突然改变的曲率突然改变道时，若接头处道时，若接头处铁轨由直道转入圆弧弯铁轨由直道转入圆弧弯rr例例2 2.1)1(, 06103rarlrlooao

3、aloaxxxrly的曲率近似为的曲率近似为时，在终端时，在终端很小很小并且当并且当为零为零的曲率的曲率在始端在始端的长度，验证缓冲段的长度，验证缓冲段为为，其中，其中缓冲段缓冲段作为作为，通常用三次抛物线通常用三次抛物线 xyor),(00yxa)0 ,(0 xclxyor),(00yxa)0 ,(0 xc证证如图如图的负半轴表示直道，的负半轴表示直道，x.,是圆弧轨道是圆弧轨道是缓冲段是缓冲段 aboa（在缓冲段上在缓冲段上,212xrly .1xrly , 0, 0,0 yyx处处在在. 00 k故缓冲始点的曲率故缓冲始点的曲率实际要求实际要求,0 xl lb20210 xrlyxx 有

4、有221lrl ,2rl 010 xrlyxx lrl1 ,1r 的曲率为的曲率为故在终端故在终端a0232)1(xxayyk 2322)41(1rlr , 1rl.1rka 得得,422rl略去二次项略去二次项xyor),(00yxa)0 ,(0 xcl三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径定义定义d)(xfy mk1 .),(,.1,).0(),()(处的曲率圆处的曲率圆称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点如图如图作圆作圆为半径为半径为圆心为圆心以以使使在凹的一侧取一点在凹的一侧取一点处的曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在点设曲线设曲线mdkdmdmkkyxmxf

5、y ,曲率中心曲率中心 d.曲率半径曲率半径 xyo1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数曲率互为倒数.1,1 kk即即注意注意: :2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点曲线在该点处的曲率越小处的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲曲率越大率越大(曲线越弯曲曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧近曲线弧(称为曲线在该点附近的称为曲线在该点附近的二次近似二次近似).四、小结四、小结运用微分学的理论运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性研究曲线和曲面的性质的数学分支质的数学分支微分几何学微分几何学.基本概念基本概念: 弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圆曲率圆.曲线弯曲程度的描述曲线弯曲程度的描述曲率曲率;曲线弧的近似代替曲率圆曲线弧的近似代替曲率圆(弧弧).思考题思考题 椭圆椭圆 上哪上哪些点处曲率最大？些点处曲率最大？,cos2tx tysin3 思考题解答思考题解答232)(1|