301第1讲多元函数的概念

1、高等院校非数学类本科数学课程第一章第一章 多元函数微分学多元函数微分学第一第一节节 多元函数的概念多元函数的概念正确理解集合的连通性的概念。正确理解集合的连通性的概念。正确理解开区域、闭区域、区域边界的概念。正确理解开区域、闭区域、区域边界的概念。正确理解区域的有界性概念。正确理解区域的有界性概念。正确理解正确理解 n 维空间中点的邻域的概念。维空间中点的邻域的概念。正确理解集合的聚点的概念。正确理解集合的聚点的概念。正确理解多元函数及其图形的概念。正确理解多元函数及其图形的概念。本节教学要求：本节教学要求： 集合的连通性集合的连通性 开集、闭集开集、闭集 有界集、无界集有界集、无界集 邻域邻

2、域 多元函数多元函数 聚点聚点第一节多元函数概念第一第一节节 多元函数的概念多元函数的概念2. 聚点、开集、闭集、有界集 . 1中邻域的定义空间nr3.区域4. 多元函数及其图形请点击请点击()0 x0 x0 x. 利用“点”、“距离” 将邻域概念推广到高维空间 ),u( 00：邻域邻域的的点点xx | | 0 xxx ),d( | ),u(00 xxxx.回忆一维空间中点的邻域概念()0 x0 x0 x. 利用“点”、“距离” 将邻域概念推广到高维空间 ),u( 00：邻域邻域的的点点xx | | 0 xxx ),d( | ),u(00 xxxx.0x |x | ),d(00xxxx0x0x

3、回忆一维空间中点的邻域概念1.空间rn中邻域的定义 . 1中邻域的定义中邻域的定义空间空间nr 0 ) , 3 , 2 ( 0为实数，则称集合为实数，则称集合，设设nrxn ),d( | ),u(00xxxx ),u( 00。邻域，记为邻域，记为的的中点中点为为xxrn想想想想: :二维、三维空间中点的邻域是什么样子二维、三维空间中点的邻域是什么样子 ? ?oxy.),(000yxx开圆盘开圆盘 )()( | ),(),u( 202002yyxxyxxr 中：在开球体开球体oxyz. )()()( | ),(),u( 20202003zzyyxxzyxxr 中：在),(0000zyxx去心邻域

4、概念去心邻域的概念也可搬过来。去心邻域的概念也可搬过来。 中去心邻域的定义中去心邻域的定义空间空间nr 0 ) , 3 , 2 ( 0为实数，则称集合为实数，则称集合，设设nrxn ),d(0 | ),u(00xxxx ),(u 00。去心邻域，记为去心邻域，记为的的中点中点为为xxrn )()(0 | ),(),(u 202002yyxxyxxr 中：在 )()()(0 | ),(),(u 20202003zzyyxxzyxxr 中：在2.聚点、开集、有界集2. 聚点、开集、闭集、有界集聚点、开集、闭集、有界集集合的内点、外点、边界点。集合的内点、外点、边界点。集合的聚点集合的聚点集合的孤立

5、点集合的孤立点开集、闭集开集、闭集有界集有界集集合的连通性集合的连通性请点击请点击内点、外点、边界点集合的内点、外点、边界点集合的内点、外点、边界点e 边界点边界点 外点外点内点内点 e)(u0xe)(u0x)u(0x其内既有其内既有 e的点也有不的点也有不属于属于e 的点的点聚点e 集合的聚点集合的聚点 0 e ，若，若设有集合设有集合e) ,(u0x e 0。的一个聚点的一个聚点为集合为集合则称点则称点 x 例的内点、的内点、集合集合 10 | ),(e 22yxyx e )0 , 0( 1 22的聚点。的聚点。都是都是上的点、以及点上的点、以及点圆周圆周 yxoxy.1.聚点可能属于集合

6、 e ,也可能不属于集合 e 。 例集合的孤立点集合的孤立点集合的孤立点 )(u e 00，其内不含集合，其内不含集合，但存在，但存在若点若点xx e , e0。的孤立点的孤立点为集合为集合则称则称的点的点x例的所有点均为 e 孤立点。xyo.(1,1).),(2121. )0 , 0( 为其聚点为其聚点但点但点 例 , 1 | ),(e nnnyxyx集合开集、闭集开集、闭集开集、闭集 e 中中的的开开集集。为为则则称称集集合合nr e 点，点，中的每一点均为它的内中的每一点均为它的内若集合若集合 e ，包含了它的所有聚点包含了它的所有聚点若集合若集合 e 。中中的的闭闭集集为为则则称称集集

7、合合nr喂！是所有聚点哦！ 由内点构成的集合！ 有界集 e ), u(o,e , 0 为为则称则称使使若若rr. , , 称为无界集称为无界集否则否则中的有界集中的有界集nryxoereo中的有界集中的有界集 2r ) u(o,e r 有界集有界集无界性示意图xyoae无界集无界集 ,| ),(e ybxayxb集合的连通性集合的连通性 e e 内的内的全位于全位于中的任意两点均可用完中的任意两点均可用完若若 . e ,中的连通集中的连通集为为则称则称折线连接起来折线连接起来nr . e , 为不连通的为不连通的称称否则否则连通集单连通集复连通集分为连通性示意图集合的连通性示意图 单连通单连通

8、 复连通复连通ee. 不连通不连通e.例是有界是有界判别下列集合的有界性、连通性及开闭判别下列集合的有界性、连通性及开闭: : 是无界是无界 1),(222yxyxe是有界是有界164| ),(2223zyxzyxe连通连通开集开集连通连通闭集闭集连通连通非开非闭集非开非闭集 例例 4 | ),(221yxyxe对空集的规定? , 是开集还是闭集是开集还是闭集与全集与全集空集空集中中空间空间nnrr .:是开集又是闭集是开集又是闭集空间中的空集与全集既空间中的空集与全集既规定规定 区域是连通开集. 区域 的内点及边界点都是它的聚点. , 则称则称为一连通开集为一连通开集若非空集若非空集nr .

9、 中的区域中的区域为为nr注意：集合的聚点注意：集合的聚点 不一定属于集合不一定属于集合. .开的开的3. 区域区域区域的边界 。的边界，记为称为合的所有边界点构成的集区域的边界图示区域的边界区域的边界闭区域区域与其全部边界点的并集, 称为闭区域.记为4. 多元函数及其图形多元函数及其图形多元函数及其图形长方体体积 v 依赖于其长度 x ，宽度 y 及高 z ：这里 x , y , z 各自独立变化，所以 v 是“自变量” x、y、z 的 例zyxv zyxzyxfv ),( 0, 0, 0。其中，zyx函数。它是一个三元函数： 例多元函数图示一元函数x.r二元函数xyor.fd.f.三元函数

10、xyzo.r.fxxi)(xfy ),(yxfz 矩形的面积 s = xy),(zyxfu 长方体体积 v = xyzrnr.xnnrxxxx),(21f.uru),()(1nxxfxfu定义：定义： 。若映射设非空集nrrf: 元函数，记为上的为则称nf ),(21nxxxfu。为称为函数的定义域，记 )( fd ),( , )(21。nxxxxfd ),()(21称为函数nxxxfxfu )( 称为函处的函数值，在点fxf )(。数的值域。记为fr 点函数自变量多元函数定义多元函数的表示方法解析法表格法图形法多元函数表示法 ),( , ),( 的图形为集合二元函数dyxyxfz , ),(

11、 , ),( | ),(dyxyxfzzyx ) ( 3。曲面、曲线等中的几何图形它表示为三维空间r前面学过的一些二次曲面就是 相应的一些二元函数的图形。多元函数的图形多元函数的图形 ),( , ),( 2121的图形为集合元函数nnxxxxxxfun ),( , ),( | ),(212121。nnnxxxxxxfuxxx 不能画出几何图形。三元及三元以上的函数求多元函数定义域举例求多元函数定义域举例求定义域举例二元函数),(yxfz 的图形在平面上的投影即为函数的定义域。xyoxyzd.),(yxfz 定义域图示求下列函数的定义域: 想想，该怎么求？想想，该怎么求？ 与一元函数的情形进行比

12、较与一元函数的情形进行比较 例 322yxyxz例解oxy 平面上该函数的定义域为由分母不能为零可知，xy 以外的所有点：除xy ),( | ),(2yxryxyx且xy 求函数的定义域: 与一元函数的情形进行比较与一元函数的情形进行比较 例例 1 )ln(),(22yxxxyyxf由对数函数知识、得oxy故原函数的定义域为1xy 解0 xy 0122yx 0 x 01 , 0 , 0 | ),(22yxxxyyx负数不能开偶次方，分母不能为零、解 想一想想一想想一想想一想想一想想一想想一想想一想想一想想一想想一想想一想 例 ,112 22224求函数设yxyxxz 222。上各点的值在圆周ayx222222 )(11)( 22222ayxayxyxyxz。 1 124aa例复合函数多元函数也有复合函数与一元函数中的情形类似xyyxyxxyyxfz)(),(22zuvwxy 例例与一元函数中的情形类似多元函数也有隐函数 , 0),( 的函