第八章 重积分

1、1第八章 重积分主要内容典型例题堂上练习题小结2一、问题的提出一、问题的提出定积分中会求平行截面面积为已知的定积分中会求平行截面面积为已知的 一般立体的体积如何求一般立体的体积如何求先从先从曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积开始开始.而而曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积的计算问题的计算问题,一般立体的体积可分成一些比较简单的一般立体的体积可分成一些比较简单的 回想回想立体的体积、立体的体积、 旋转体的体积旋转体的体积.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积.二重积分的一个模型二重积分的一个模型.可作为可作为一、主要内容一、主要内容第第1 1节节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质3),(yxfz 曲顶柱体体

2、积曲顶柱体体积=特点特点1曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积d困难困难曲顶柱体曲顶柱体0),( yxf),(yxfz 以以xoy面上的闭区域面上的闭区域d为底为底,d的边界曲线为准线而母线平行于的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面轴的柱面,侧面以侧面以顶是曲面顶是曲面且在且在d上连续上连续).oyxz曲顶曲顶顶是曲的顶是曲的4柱体体积柱体体积 = 特点特点 分析分析曲边梯形面积是如何求曲边梯形面积是如何求以直代曲、以直代曲、如何创造条件使如何创造条件使 解决问题的思路、步骤与解决问题的思路、步骤与回忆回忆思想是思想是分割、分割、平顶平顶平平曲曲这对矛盾互相转化这对矛盾互相转化与与以不变代变以不变代

3、变.曲边梯形面积曲边梯形面积的求法类似的求法类似取近似、取近似、 求和、求和、 取极限取极限. . 底面积底面积高高5步骤如下步骤如下用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和和d),(yxfz 先任意分割曲顶柱体的底，先任意分割曲顶柱体的底， v曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积并任取小区域并任取小区域，近似表示近似表示曲顶柱体的体积，曲顶柱体的体积，iiniif ),(10lim xzyo),(ii ),(iif i 6(1) 分割分割相应地此曲顶相应地此曲顶柱体分为柱体分为n个小曲顶柱体个小曲顶柱体.(2) 取近似取近似iii ),(第第i个小曲顶柱体的体积的近似式个小曲顶柱体的体积的

4、近似式 ivn ,21(用用 表示第表示第i个子域的面积个子域的面积) .i 将域将域d任意分为任意分为n个子域个子域在每个子域内任取一点在每个子域内任取一点ni, 3 , 2 , 1 iiif ),(7(3) 求和求和 即得曲顶柱体体积的近似值即得曲顶柱体体积的近似值: (4) 取极限取极限)趋于零趋于零,iiniifv ),(lim10iiinif ),(1iiinifv ),(1求求n个小平顶柱体体积之和个小平顶柱体体积之和令令n个子域的直径中的最大值个子域的直径中的最大值(记作记作上述和式的极限即为上述和式的极限即为曲顶柱体体积曲顶柱体体积82. 非均匀平面薄片的质量非均匀平面薄片的质

5、量(1) 将薄片将薄片分割分割成成n个个小块，小块，看作看作均匀薄片均匀薄片. im(2) m(3) m(4)近似近似 任取小块任取小块 i 设有一平面薄片设有一平面薄片,dxoy面上的闭区域面上的闭区域占有占有),(),(yxyx 处的面密度为处的面密度为在点在点dyx在在假定假定),( ,上连续上连续求平面薄片的质量求平面薄片的质量m.iii ),(iinii ),(1 iinii ),(1 0lim xyo),(ii i 9也表示它的面积也表示它的面积,),(上的有界函数上的有界函数是有界闭区域是有界闭区域设设dyxf,个小区域个小区域表示第表示第其中其中ii ),(iii 上任取一点上

6、任取一点在每个在每个 二、二重积分的概念二、二重积分的概念1. 二重积分的定义二重积分的定义定义定义个小闭区域个小闭区域任意分成任意分成将闭区域将闭区域nd,21n 作乘积作乘积 iiif ),(), 2 , 1(ni 并作和并作和 .),(1iiniif 10,d),( dyxf 这和式这和式则称此则称此零时零时,如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于趋近于 的极限存在的极限存在,iiniif ),(1极限为函数极限为函数二重积分二重积分, ,上的上的在闭区域在闭区域dyxf),(记为记为即即iiniidfyxf ),(limd),(1011曲顶柱体体积曲顶

7、柱体体积,d),( dyxfv 它的面密度它的面密度.d),( dyxm 曲顶曲顶 即即在底在底d上的上的二二重积分重积分,),(yxfz 平面薄片平面薄片d的质量的质量即即0 ),(yx 在薄片在薄片d上的二重积分上的二重积分, 12 2. 在直角坐标系下用在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来平行于坐标轴的直线网来划分区域划分区域d, dyxf d),(二重积分可写为二重积分可写为注注定积分中定积分中1.重积分重积分与与定积分的区别定积分的区别:重积分中重积分中, 0d xd可正可负可正可负.yxdd dyxf),(则面积元素为则面积元素为oxydd dxy13中中iiniidfyxyxf

8、 ),(limdd),(10(a) 最大小区间长最大小区间长;(b) 小区域最大面积小区域最大面积;(c) 小区域直径小区域直径;(d)最大小区域直径最大小区域直径.d选择题选择题).(是是 142. 二重积分的存在定理二重积分的存在定理 设设f(x,y)是有界闭区域是有界闭区域d上的连续函数上的连续函数 dyxf d),(存在存在.连续函数一定可积连续函数一定可积注注 今后的讨论中今后的讨论中,积积分区域内总是连续的分区域内总是连续的.或是分片连续函数时或是分片连续函数时,则则都假定被积函数在相应的都假定被积函数在相应的15(2)3. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义(3) (1)在在d

9、上的上的二重积分就等于二重积分就等于二重积分是二重积分是二重积分是二重积分是而在其它的部分区域上是负的而在其它的部分区域上是负的. 这些这些部分区域上的部分区域上的柱体体积的代数和柱体体积的代数和.那末那末,),(yxf,0),(时时当当 yxf,0),(时时当当 yxf柱体体积的负值柱体体积的负值;柱体体积柱体体积;在在d上的若干部分区域上是正的上的若干部分区域上是正的,),(yxf当当16性质性质为常数为常数, 则则(二重积分与定积分有类似的性质二重积分与定积分有类似的性质)三、二重积分的性质三、二重积分的性质 dyxgyxf d),(),( 、设设 ddyxgyxf d),(d),(17

10、以以1为高的为高的 性质性质2 将区域将区域d分为两个子域分为两个子域 dyxf d),(性质性质3 若若 为为d的面积的面积)(21ddd oxyd1d2 注注 d d既可看成是以既可看成是以d为底为底,柱体体积柱体体积. 对积分区域的可加性质对积分区域的可加性质.d1与与d2除分界线除分界线外无公共点外无公共点.d 1d),(dyxf 2d),(dyxf 21,dd d d1 d d又可看成是又可看成是d的面积的面积.18),(yxf若若在有界闭区域在有界闭区域d1上可积上可积,且且,21dd 则是否必有则是否必有12( , )d d( , )d d ?ddf x yx yf x yx y

11、19 dyxf d),(特殊地特殊地性质性质4(4(比较性质比较性质) ),(),(yxgyxf 设设 ,),(dyx 则则 dyxg d),( dyxf d),( dyxf d),( 例例 41222222ddsinyxyxyxyx 的值的值= ( ).(a) 为正为正(b) 为负为负(c) 等于等于0(d) 不能确定不能确定为负为负b20 dmyxfm d),(几何意义几何意义以以m为高和以为高和以m为高的两个为高的两个证证 d d再用再用性质性质1和和性质性质3, 性质性质5(5(估值性质估值性质) )则则,),(myxfm 设设为为d的面积的面积,myxfm ),(,),( , 0),

12、(dyxyxf 设设则曲顶柱体则曲顶柱体的体积介于以的体积介于以d为底为底,平顶柱体体积之间平顶柱体体积之间.证毕证毕. d d d d dyxf d),(,),(dyx 则则 dyxg d),( ),(),(yxgyxf设21性质性质6(6(二重积分中值定理二重积分中值定理) ),( dyxf d),(体积等于体积等于),( f以以 显然显然 dmyxfm d),(几何意义几何意义证证在闭区域在闭区域设设),(yxfd上连续上连续,为为d的面积的面积, 则在则在d上至少存在一点上至少存在一点使得使得 ),(f,),( , 0),(dyxyxf 设设则曲顶柱体则曲顶柱体以以d为底为底 为高的平

13、顶柱体体积为高的平顶柱体体积.将将性质性质5中不等式各除以中不等式各除以 dmyxfm d),(1二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质. 0 , 有有22 dmyxfm d),(1的最大值的最大值m与最小值与最小值m之间的之间的. dyxf d),(1由闭区域上连续函数的介值定理由闭区域上连续函数的介值定理. dyxf d),(1两端各乘以两端各乘以 ),( 点的值点的值证毕证毕.即是说即是说,确定的数值确定的数值是介于函数是介于函数),(yxf在在d上至少存在一点上至少存在一点使得函数在该使得函数在该),( f 与这个确定的数值相等与这个确定的数值相等,即即二重积分的概念与性质二重积分的

14、概念与性质, 23例例1 设设d为圆域为圆域222ryx 二重积分二重积分222ddrxy=解解 222yxrz 上述积分等于上述积分等于 dyxr d222332r 由由二重积分的几何意义二重积分的几何意义可知，可知，是上半球面是上半球面上半球体的体积：上半球体的体积：ryxzod二、典型例题二、典型例题24 比较比较与与 d)(21 dyxi, 1)1()2( :22 yxd其中其中(d) 无法比较无法比较.oxy 1 12c(2,1)性质性质4(4(比较性质比较性质) ).)()(32yxyx d)(32 dyxi的大小的大小,则则( ).)(21iia .)(21iib .)(21ii

15、c 1 yx,),(dyx , 1 yx例22522yxe d)(22 dyxe222d)(adyxeabeab 解解估值性质估值性质 dmyxfm d),(区域区域d的面积的面积 ab 在在d上上220yx 例例3 不作计算不作计算,d)(22的值的值估计估计 dyxei).0( , 1:2222abbyaxd 是椭圆闭区域是椭圆闭区域其中其中2a 2ae 0e 12ae mm26222 yx).(d),(1lim22220是是极限极限 yxyxf(a)(b)(c) (d)提示提示: :b是有界闭区域是有界闭区域d:),(yxf设设上的上的连续函数连续函数,不存在不存在.).0 , 0(f)

16、.1 , 1(f).0 , 1(f利用积分中值定理利用积分中值定理.例427利用利用积分中值定理积分中值定理,),(lim0 f 解解即得即得: 222d),(1lim20 yxyxf求求 222222d),(d),( yxyxfyxf222 yx),( 222d),(1lim20 yxyxf).0 , 0(f ,0时时当当 ),( 点点由函数的连续性知由函数的连续性知,),(2 f显然显然,).0 , 0(其中点其中点是圆域是圆域内的一点内的一点. ),(d),(fyxfd 28例5 设d是平面有界闭区域,函数( , )( , )f x yg x y和在区域d上连续,( , )g x y在d

17、上不变号.求证: 存在,d 使得( , ) ( , )d( , )( , )dddf x y g x yfg x y 29本节介绍计算二重积分的方法本节介绍计算二重积分的方法:二重积分化为二重积分化为累次积分累次积分( (即两次定积分即两次定积分).).第第2 2节节 二重积分的计算二重积分的计算30(1) 积分区域积分区域为：为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、)(1x )(2x b)(2xy )(1xy adx型型,ba在区间在区间 上连续上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分xoyxoy)(1xy )(2xy dbax-型区域的特点型区

18、域的特点:平行于平行于y轴的直线与区域轴的直线与区域d的边界的边界至多交于两个点至多交于两个点.31的值等于的值等于)0),(d),( yxfyxfd 计算截面面积计算截面面积),(yxfz ( 红色部分即红色部分即a(x0) )以以d为底为底,以曲面以曲面为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积.应用计算应用计算“平平行截面面积为行截面面积为已知的立体求已知的立体求体积体积”的方法的方法.用二重积分的几何意义说明其计算法用二重积分的几何意义说明其计算法是区间是区间)(),(0201xx 为曲边的曲边梯形为曲边的曲边梯形.),(0yxfz 为底为底,曲线曲线 xyzo),(yxfz d)(2x

19、y )(0 xa1( )yxa0 xb32是区间是区间 为底为底,)(),(0201xx 曲线曲线 为曲边为曲边 的曲边梯形的曲边梯形.),(0yxfz )(01x ,bax yyxfxaxxd),()()()(21 有有: dyxfv d),( baxxad)(xbad )d),()()(21 xxyyxf )(02x yyxfxad),()(00 先对先对y后对后对x的二次积分的二次积分称为称为累次积分累次积分. . dyxf d),( baxxyyxfx)()(21d),(d xyzo),(yxfz d)(1xy )(2xy ab0 x)(0 xa33(2) 积分区域积分区域为：为：,d

20、yc )()(21yxy d)(2yx cd)(1yx y型型 dyxf d),(先对先对x后对后对y的二次积分的二次积分也即也即 dcyyxyxfy)()(21d),(d dyxf d),(其中函数其中函数 、)(1y )(2y ,dc在区间在区间 上连续上连续.xoyxoyd)(2yx cd)(1yx dcyd)d),( xyxf)(1y )(2y y-型区域的特点型区域的特点:平行于平行于x轴的直线与区域轴的直线与区域d的边界的边界至多交于两个点至多交于两个点.34穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线轴的直线穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直线轴的直线abdc 计算结果一样计

21、算结果一样.又是又是y型型:(3)积分区域积分区域d既是既是x型型:, bxa )()(21xyx , dyc )()(21yxy x型区域的特点型区域的特点:y型区域的特点型区域的特点:与区域边界相交不多于两个交点与区域边界相交不多于两个交点.与区域边界相交不多于两个交点与区域边界相交不多于两个交点.但可作出但可作出适当选择适当选择.xyo35(4) 若区域如图若区域如图,在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式. d(用积分区域的可加性质用积分区域的可加性质)d1、d2、d3都是都是x型区域型区域则则必须分割必须分割. 321dddxyo3d2d1d36i

22、ii i iiii )2(21iiiii 2)(iii 两相邻弧半径平均值两相邻弧半径平均值. i 内取圆周内取圆周上一点上一点其直角坐标其直角坐标, ii),(ii iii 2)(21ii 221则则设为设为二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分oadi ii i ),(ii :ii37得得 iiinif ),(lim10即即 dyxf d),( dyxyxfdd),(也即也即 dd极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素,cosiii iiii df dd)sin,cos( df dd)sin,cos( nif1(,cosii iii )sinii 0lim siniii

23、38 )(1 )(2 df dd)sin,cos(1) 积分区域积分区域d:, )()(21 ao)(1 )(2 d d)(1 d)sin,cos(f)(2 oad即即, 极点极点o在区域在区域d之外之外39若若12:( )( ),dab 则则 df dd)sin,cos(21( )( )( cos ,sin )dbadf 40d )(0d)sin,cos(d f(2)积分区域积分区域d(曲边扇形曲边扇形):, )(0 df dd)sin,cos(aoao d ( ) ( ) 即即, 极点极点o在区域在区域d的边界上的边界上41 df dd)sin,cos( )(020d)sin,cos(d

24、f极坐标系极坐标系下区域的下区域的面积面积 d dd(3) 积分区域积分区域d:,20 )(0 doa)( 注注一般一般,在极坐标系下计算在极坐标系下计算:积分积分再对再对先对先对 即即, 极点极点o在区域在区域d的内部的内部42三、三、二重积分的换元法二重积分的换元法设被积函数设被积函数),(yxf在区域在区域d上连续上连续,若变换若变换),(),(vuyyvuxx 满足如下条件满足如下条件:(1)的点的点平面上的区域平面上的区域将将 duov一对一地变为一对一地变为d上的点上的点;(2),(),(vuyvux上上在在 d有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数,且雅可比行列式且雅可比行列式 )

25、,(),(vuyxjvyuyvxux dyxf d),(0 f d),(vux),(vuy| jvudd43 注意注意1.若若j在在d内若干点或线上等于内若干点或线上等于0,则以上结论仍成立则以上结论仍成立. 2. 特别有极坐标变换特别有极坐标变换*( , )d(cos ,sin )ddf x yfd d 则则3. j的性质的性质4. 选择变换公式的目的选择变换公式的目的:(1)使变换后的函数易积使变换后的函数易积；cos( , ),sin( , )xx yjy ( , )( , )x yju v1( , )( , )u vx y(2) 使积分限易确定使积分限易确定.5. 边界映射到边界。44

26、 二重积分的计算规律二重积分的计算规律再确定再确定交换积分次交换积分次1. 交换积分次序交换积分次序:先依给定的积分次序写出积分域先依给定的积分次序写出积分域d的的不等式不等式, 并画并画d的草图的草图;序后的积分限序后的积分限;2. 如被积函数为如被积函数为圆环域时圆环域时,或积分域为或积分域为),(22yxf ),(22yxf ),(xyf)(arctanxyf圆域、扇形域、圆域、扇形域、则用极坐标计算则用极坐标计算;45 3. 注意利用对称性质注意利用对称性质,数中的绝对值符号数中的绝对值符号.以便简化计算以便简化计算;4. 被积函数中含有绝对值符号时被积函数中含有绝对值符号时, 应应将

27、积分域分割成几个子域将积分域分割成几个子域, 使被积函数在使被积函数在每个子域中保持同一符号每个子域中保持同一符号, 以消除被积函以消除被积函46利用积分区域的对称性及被积函数的奇,偶性,可以简化二重积分的计算.(1) 如果积分区域d关于y=0对称,则10,( , )( , )2( , ),( , )ddf x yyf x y dxdyf x y dxdyf x yy如果关于 是奇函数如果关于 是偶函数1.dd为 在上半平面部分(2) 如果积分区域d关于x=0对称,则20,( , )( , )2( , ),( , )ddf x yxf x y dxdyf x y dxdyf x yx如果关于

28、是奇函数如果关于 是偶函数2.dd为 在右半平面部分47(3) 如果积分区域d关于原点对称,3434,ddd dd与关于原点对称则30,( , ),( , )2( , ),( , ),ddf x yx yf x y dxdyf x y dxdyf x yx y如果同时关于是奇函数如果同时关于是偶函数 今后在计算重积分利用今后在计算重积分利用对称性简化计算对称性简化计算时时,被积函数的奇偶性被积函数的奇偶性. . 积分区域积分区域的对称性的对称性, ,要特别注意考虑两方面要特别注意考虑两方面:48例例1 计算二重积分计算二重积分22dxdxdyy其中其中d是由直线是由直线及双曲线及双曲线所围成的

29、闭区域所围成的闭区域.选择适当的积分次序有利于计算选择适当的积分次序有利于计算.通常选择使区域通常选择使区域d不用分成几部分的好不用分成几部分的好.2,xyx1xy 注注二、典型例题二、典型例题49例2 计算二重积分xyde dxdy其中其中d是由直线是由直线及抛物线及抛物线所围成的闭区域所围成的闭区域.0,1xy2yx此例说明选择积分次序的重要性此例说明选择积分次序的重要性.注注50例例 3 求两个底圆半径为求两个底圆半径为r,且这两个圆柱面的方程且这两个圆柱面的方程分别为分别为 及及222ryx .222rzx 解解 d dyxrd22 332r 313168rvv d),(1 dyxfv

30、22xry 222rzx 立立体体顶顶部部222ryx 立体底部立体底部求所围成的求所围成的立体的体积立体的体积.xoyzoxydr22xr 22xr 0 xd0r22xrz 曲曲顶顶还有别的做法吗还有别的做法吗51注注若先对若先对x后对后对y积积,则则222210088?rryvvdyrx dx很难很难!此例说明此例说明: 利用二重积分的几何意义求体积利用二重积分的几何意义求体积,及选择积分次序的重要性及选择积分次序的重要性.52例例4 求求2,diyx dxdy其中其中:11,01.dxy 思考: 求22max,xydiedxdy其中其中:11,01.dxy 53例例5yyxxdsind1

31、012 siny2 对对y的积分的积分而它对而它对x的积分的积分交换积分次序交换积分次序的方法是的方法是:改写改写d为为:oxy 分析分析所以将所以将二次积分二次积分先先将所给的积分域将所给的积分域(1)(2) 画出积分域的草图画出积分域的草图(3)计算二次积分计算二次积分不能用基本积分法算出不能用基本积分法算出,xy )1 , 1(可用基本积分法算出可用基本积分法算出.交换积分次序交换积分次序. .用联立不等式表示用联立不等式表示 d:, 10 x1 yx, 10 yyx 05411202dsindsinxdxyyy dxdy yxyyd)(sin0102 yyydsin102 2102ds

32、in21yy )1cos1(21 oxyxy )1 , 1(, 10: ydyx 0此例说明交此例说明交换积分次序换积分次序的重要性的重要性 10dyxyydsin02 55交换积分次序的步骤交换积分次序的步骤 (1) 将已给的二次积分的积分限得出相将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域应的二重积分的积分区域,(2) 按相反顺序写出相应的二次积分按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图并画出草图;56例例6 6交换积分次序：交换积分次序：解解 积分区域积分区域: xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2原式原式= 10dyy 2 xyxfd),(211y

33、22xxy xy 2xyo1257又是能否进行计算的问题又是能否进行计算的问题. .计算二重积分时计算二重积分时, , 恰当的选取积分次序恰当的选取积分次序十分重要十分重要, , 它不仅涉及到计算繁简问题它不仅涉及到计算繁简问题, , 而且而且凡遇如下形式积分凡遇如下形式积分: :,dsinxxx ,d2xex ,lnd xx等等等等, ,一定要放在一定要放在后面积分后面积分. .,dsin2xx ,dcos2xx ,d2xex ,dxexy 58例例7 求证求证 axaxxfxayyfx000d)()(d)(d 左边的累次积分中左边的累次积分中,积分域积分域可表为可表为提示提示00d( )d

34、( )axdxf yyf y dxdy ayaxyfyd)(d0 ayyfya0d)()( axxfxa0d)()(定积分与积分变量的记法无关定积分与积分变量的记法无关不能具体计算不能具体计算.所以所以,)(yf是是y的抽象函数的抽象函数,)0( a,0ax xy 0,0ay axy aayyxyf0d)(证毕证毕.先交换积分次序先交换积分次序. .axyoa),(aa 59例8 计算22121xydiyxed其中d是由直线,11yx yx 及所围成的平面区域.60 ).(ddsincos等于等于则则yxyxxyd 为顶点的三角形区域为顶点的三角形区域,(a).ddsincos21yxyxd

35、(b).dd21yxxyd (c) .ddsincos41yxyxxyd (d) 0.a)1, 1()1 , 1(),1 , 1( 和和平面上以平面上以是是设设xoydd1是是d在第一象限的部分在第一象限的部分,61解解yxedyxdd22 ae020dd2 )1(2ae a例例9计算计算,dd22yxedyx 其中其中d是由中心在原点是由中心在原点,半径为半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.在极坐标系下在极坐标系下:d,20 a 0 xoy62r2解解0, 0,| ),(2221 yxryxyxd0, 0,2| ),(2222 yxryxyxd0 ,0| ),(ryrxyxs

36、022 yxe syxyxedd22 222dddyxyxe求反常积分求反常积分.d02xex 例例10显然有显然有21dsd 122dddyxyxer1ds2dyxo63 rxxe0d220)d(2 rxxe)1(2re yxedyxdd22 )1(2ae 222:ayxd 又又yxeisyxdd22 yxeidyxdd1221 yxeidyxdd2222 )1(422re 4 ryye0d2 0, 0,| ),(2221 yxryxyxd0, 0,2| ),(2222 yxryxyxd对称性对称性质质0 ,0| ),(ryrxyxs 64,41 i42 i,4 i21iii )1(4)d(

37、)1(4222220rrxrexee 概率积分概率积分夹逼定理夹逼定理,时时当当 r,时时故当故当 r即即4)d(202 rxxe所求反常积分所求反常积分2d02 xex),1(421rei )1(4222rei ,)d(202 rxxei65例11 计算位于平面曲线1 cos,cosrara之内之外部分的面积.例例12 求球体求球体22224xyza被圆柱面被圆柱面222(0)xyaxa所截得的所截得的(含在圆柱面内的部分含在圆柱面内的部分)立体的体积立体的体积.66例例1313解解,dd12222yxbyaxd 计计算算 20, 0, 0, 0 ba其中其中 sincosbyax在这变换下

38、在这变换下所围成的闭区域所围成的闭区域.12222 byaxd20,10),( rd dxyo其中其中d为椭圆为椭圆作作广义极坐标广义极坐标变换变换67 ),(),( yxj,0处处为为零零内内仅仅当当在在 rdj yxbyaxddd12222ab 32 ab sincosbyax yyxx故换元公式仍成立故换元公式仍成立, ddvujvuyvuxfyxyxfdd),(),(dd),(21 ab dd d 10220d1d ab极坐标极坐标 dxyo68例例1414解解轴和轴和轴、轴、由由其中其中计算计算yxdyxedxyxy,dd ,2uvx :02,dvvuvxyo2 yx duvo0 y

39、2 yx.2所围成的闭区域所围成的闭区域直线直线 yx,xyu 令令xyv 则则2uvy 即即0 xvu vu vu 2 vvu 2 vdd69),(),(vuyxj ,21 dxyxyyxedd vvvuuevdd2120 201d)(21vvee1 ee2,2uvyuvx 21212121 vyuyvxux uvovu vu 2 v d dvue故故vudd21 70是空间有界闭区域是空间有界闭区域上的上的如当各小闭区域直径中的最大值如当各小闭区域直径中的最大值在每个在每个iv ),(iii ),2 , 1(),(nivfiiii .),(1iniiiivf 1. 三重积分的定义三重积分的

40、定义nvvv ,21将闭区域将闭区域任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域 其中其中iv 并作和并作和作乘积作乘积),(zyxf设设有界函数有界函数. .也表示它的体积也表示它的体积.表示第表示第i个小闭区域个小闭区域,上任取一点上任取一点一、三重积分的概念一、三重积分的概念(define)第第3 3节节 三重积分的概念与计算三重积分的概念与计算71记为记为函数函数),(zyxf趋于零时这和的极限总存在趋于零时这和的极限总存在,iiiniivf ),(lim10 则称此极限为则称此极限为 在闭区域在闭区域上的三重积分上的三重积分. vzyxfd),(即即 vzyxfd),(体积元素体积元素72

41、3. 三重积分的几何意义三重积分的几何意义(2)设被积函数设被积函数, 1),( zyxf vvvd1连续函数一定可积连续函数一定可积2. 三重积分存在性三重积分存在性则区域则区域 的体积为的体积为在在上是可积的上是可积的.),(zyxf当当的三重积分存在性时的三重积分存在性时,),(zyxf称称(existence)(1)占有空间区域占有空间区域,体密度函数为体密度函数为( , , )f x y z的立体的质量为的立体的质量为:( , , )dmf x y zv73.lkjizyxv 则则zyxvdddd 二、三重积分的计算1. 在直角坐标系下计算三重积分在直角坐标系下计算三重积分故故直角坐

42、标系下直角坐标系下的体积元素为的体积元素为在直角坐标系下在直角坐标系下三重积分可表为三重积分可表为 vzyxfd),().(是是小小长长方方体体iv 在直角坐标系中在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的如果用平行于坐标面的平面的来划分平面的来划分, zyxzyxfddd),(74设平行于设平行于z轴的直线与轴的直线与的边界面至多相交的边界面至多相交于两个点于两个点.(1) 设设在在xoy平面上的投影区域为平面上的投影区域为12:,( )( )xydaxb y xyyx以以xyd的边界曲线为准线的边界曲线为准线,作母线平行于作母线平行于z轴轴的柱面的柱面,把把的边界曲面分为上的边界曲面分为上,下

43、两部分下两部分:直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分思想是思想是1.投影法投影法 (先单后重法先单后重法)75xyzo dab)(1xyy )(2xyy 1s),(1yxzz 2s),(2yxzz ),(yx1z2z121212( , , ): ( , )( , ),( , )( , , ):, ( )( ), ( , )( , )xyx y zz x yzz x yx ydx y z ax b y xyy x z x yzz x y 即即设设xyd12( , ),( , )z x y zx y在在上连续上连续,在在上连续上连续,12( ),( )y xyx在在

44、 , a b上连续上连续.1122:( , ),:( , ),szz x yszzx y( , , )f x y z76,x y(3)先将看作定值zzyxf只看作只看作将将),(的一元函数的一元函数,是分布在线段是分布在线段(2) 对对( , ),xyx yd过过( , )x y作平行于作平行于z轴的轴的直线穿过区域直线穿过区域,则由曲面则由曲面11:( , )szz x y穿入穿入,穿入点穿入点由曲面由曲面22:( , )szzx y穿出穿出,穿出点穿出点11( , ,( , )mx y z x y22( , ,( , )mx y zx y12m m上的质量在上的质量在竖坐标竖坐标z处的线密

45、度处的线密度,从而线段从而线段12m m上的质量为上的质量为:21( , )( , )( , )( , , )dzx yzx yf x yf x y zz77(4) 把物体质量看成分布在占有平面闭区域把物体质量看成分布在占有平面闭区域xyd的平面薄片上的平面薄片上,点点( , )x y处的面密度为处的面密度为则物体的质量为则物体的质量为:21( , )( , )( , )( , , )xyxyzx yzx yddmf x y df x y z dz d 由于由于( , , )df x y zv先单后重先单后重先对先对z,次对次对y,最后对最后对x的三次积分的三次积分( , ).f x y12:

46、,( )( )xydaxb y xyyx则则21( , )( , )( , , )dzx yzx yf x y zz21( )( )dbyxayxdxy78 轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域这是平行于这是平行于 z注注s的边界曲面的边界曲面内部的直线与闭区域内部的直线与闭区域 相交不多于两点情形相交不多于两点情形.则考虑化为先对则考虑化为先对z,后对后对xy的累次积分的累次积分.过程如下过程如下:(1) 将将投影到投影到xy平面平面,得区域得区域.xyd(2) 对对( , ),xyx yd作平行于作平行于z轴的轴的过过( , )x y直线穿过区域直线穿过区域,看看由哪个曲面穿入看看由哪个曲面穿入,

47、哪个哪个曲面穿出曲面穿出,从而定出从而定出z的上下限的上下限.(3) 最后再由二重积分的方法将最后再由二重积分的方法将21( , )( , )( , )( , , )xyxyzx yzx yddf x y df x y z dz d 化为二次积分即可化为二次积分即可.79所以所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积三重积分可以化为六种不同次序的三次积分分(累次积分累次积分).和积分域和积分域选取适当的三次积分进行计算选取适当的三次积分进行计算.解题时解题时, 要依据具体的被积函数要依据具体的被积函数),(zyxf同样同样,也可以把积分域也可以把积分域向向yoz、zox面投影面投影.802 截

48、面法截面法(红色部分红色部分)( (先重后单法先重后单法) )截面法的一般步骤截面法的一般步骤(1)向某轴向某轴把积分区域把积分区域 )(轴轴如如z投影投影, ,得投影区间得投影区间;,21cc(2),21ccz 对对, 的平面去截的平面去截轴且平行轴且平行用过用过xoyz;zd得截面得截面(3)计算二重积分计算二重积分 zdyxzyxfdd),();(zfz的函数的函数其结果为其结果为(4).d)(21 cczzf最后计算单积分最后计算单积分xzoy 1c2czzd12( , , ):,( , )zx y zczcx yd 即即81 即即 zdyxzyxfcczvzyxfdd),(dd),(

49、21 cczzf21d)(当被积函数仅与变量当被积函数仅与变量z有关有关,截面法的公式还有两个截面法的公式还有两个.用上公式简便用上公式简便. 希望自己推导希望自己推导注注且截面且截面dz易知时易知时,82(1) 如果如果被积函数是单变量被积函数是单变量z(或或x,y)的函数的函数,并且并且总结总结:用用z=常数常数(或或x=常数常数,y=常数常数)截空间区域截空间区域,得到的截面得到的截面(,)zxyd d d的的面积易求面积易求,则考虑把三重积分则考虑把三重积分化为先重化为先重(对对xy)后单后单(对对z)的累次积分来计算的累次积分来计算;(2) 将三重积分化为三次积分时将三重积分化为三次

50、积分时,一定要先单后重一定要先单后重或先重后单或先重后单,不要直接化为三次积分不要直接化为三次积分;(3) 充分利用对称性充分利用对称性.83小结:直角坐标系下计算重积分的一般步骤:1. 画出积分区域的示意图;2. 选定积分次序,三重积分只能先化为”先单后重”或”先重后单”的累次积分,不要直接化为三次积分.3. 确定积分限,计算累次积分.84,0 ,20 z规定规定xyzo ),(zyxm),( pz , , 直角坐标直角坐标与与柱面坐标柱面坐标的关系为的关系为,cos xzz 就叫点就叫点m的的柱面坐标柱面坐标.2. .利用柱面坐标利用柱面坐标计算三重积分计算三重积分cylindrical

51、coordinates设设m(x, y, z)为空间内一点为空间内一点,并设点并设点m在在xoy面上的投影面上的投影p的极坐标为的极坐标为则这样的三个数则这样的三个数sin ,y85为常数为常数 为常数为常数z为常数为常数 柱面坐标柱面坐标系中系中, 以以z轴为中心轴的轴为中心轴的圆柱面圆柱面；过过z轴的轴的半平面半平面.与与xoy平面平行的平面平行的平面平面;三坐标面分别为三坐标面分别为z , 称点称点m的柱面坐标的柱面坐标),(zyxm),( pxyzo 86 xyzo 柱面坐标系柱面坐标系中的中的体积元素体积元素为为zvdddd v 在在柱面坐标系柱面坐标系中中, 如图如图,v 得小柱体

52、得小柱体即即直角坐标系直角坐标系下三重积分与下三重积分与(红色部分红色部分).若以三坐标面分割空间区域若以三坐标面分割空间区域柱柱(面面)坐标系坐标系下三重下三重积分的关系是积分的关系是 z z 87 如何计算如何计算柱坐标系柱坐标系下三重积分下三重积分 zyxzyxfddd),( (f,cos ,sin ) zzddd 回想回想直角坐标系直角坐标系下计算三重积分方法下计算三重积分方法.将三重积分化为将三重积分化为,cos x,sin yzz 三次积分三次积分( (累次积分累次积分) )zvdddd 88 zyxzyxfddd),(柱坐标系柱坐标系下三重积分的计算下三重积分的计算, 可得可得柱

53、坐标系柱坐标系下三重积分化为下三重积分化为三次积分三次积分 baxyxyyxzyxzzzyxfyx)()(),(),(2121d),(ddz , 与与x, y, z等同的看为三个变量等同的看为三个变量. 如如,极坐标极坐标不等式表示不等式表示:,d).()(21 只要把被积只要把被积函数中的函数中的的计算公式的计算公式. 类比公式类比公式先先将将在在xoy面上的投影域用面上的投影域用89从而从而 zzfddd),sin,cos(故故 ),(),(21d),sin,cos( zzzzf )()(21d d再再确定确定的下的下, 上边界面上边界面),(1 zz ),(2 zz , ),()(21

54、: 12( , )( , )zzz 21( , )( , )(cos ,sin , )zzdd dfz dz 90 当化三重积分为先单后重或先重后单当化三重积分为先单后重或先重后单,而算而算, ()xyzdd上的重积分需用极坐标计算时上的重积分需用极坐标计算时,则考虑用柱面坐标变换则考虑用柱面坐标变换.注注91如积分域如积分域为圆柱域为圆柱域(如图如图). 20 ,0r ,0hz vzyxfd),(则则: hrzzf0020d),sin,cos(dd xyzo92 当被积函数是当被积函数是),(),(),(22xyzfxyzfyxzf 积分域积分域由圆柱面由圆柱面 (或一部分或一部分)、锥面、

55、抛物面、锥面、抛物面用用所围成的所围成的.柱面坐标柱面坐标计算三重积分较方便计算三重积分较方便.93 r p zyxa,0 记投影记投影向量与向量与x轴正方向的轴正方向的.20 ),( r规定规定, ,0 r),(zyxm om再再将将正方向间的夹角为正方向间的夹角为轴轴与与zom, r夹角为夹角为球面坐标球面坐标.称称为点为点m的的之之长长为为记记向向量量om3. .利用球面坐标利用球面坐标计算三重积分计算三重积分xyzo设设m(x, y, z)为空间内一点为空间内一点,向向xoy平面投影平面投影,94为常数为常数r为常数为常数 球面坐标系球面坐标系中的三坐标面分别为中的三坐标面分别为原点为

56、心的原点为心的球面球面；过过z轴的轴的半平面半平面球面坐标与直角坐标的关系球面坐标与直角坐标的关系为为,sinsin ry ,cossin rx cosrz 为常数为常数 原点为顶点、原点为顶点、z轴为轴为轴的轴的圆锥面圆锥面； r zyxa),(zyxm xyzoyzxxyzoxyzoxyzoxyzo2sinjr95球面坐标系球面坐标系中的中的体积元素体积元素为为rxyzo r dddsind2rrv v 若以三坐标面分割空若以三坐标面分割空, v 得小六得小六面体面体(红色部分红色部分).于是于是,在在球面坐标系球面坐标系中，中， r sinr r 间区域间区域 sinr r sinr96

57、 zyxzyxfddd),(通常是通常是注注、先先积积r、再再积积 . 后积后积)cos r (f,sinsin r,sinsin ry ,cossin rx cosrz dddsind2rrv ,cossin r2sind d drr 记记( sincos , sinsin , cos )( , , )f rrrf r 97注注: 化球面坐标系钟的三重积分为三次积分时化球面坐标系钟的三重积分为三次积分时要根据积分区域的特点来决定积分限要根据积分区域的特点来决定积分限.1. 若积分区域若积分区域的边界曲面是一个包含原点的边界曲面是一个包含原点在内的闭曲面在内的闭曲面,其球面坐标方程为其球面坐标

58、方程为:则则( , )rr 22( , )2000( , , )sinsinrf rrdrd dddfrdr 98特别若积分区域由特别若积分区域由所围成所围成,则则再特别再特别时时,由上式得到求的体积由上式得到求的体积xyzora222000( , , )sinsinaf rrdrd dddfrdr 1f 2230004sin3avddfrdra992. 若原点不在积分区域的内部若原点不在积分区域的内部,则按以下方法确定积分限则按以下方法确定积分限.通常是通常是注注、先先积积r、再再积积 . 后积后积(1) 作两个过作两个过z轴的半平面夹紧积分区域轴的半平面夹紧积分区域,这两个半平面这两个半平

59、面对应着对应着则对则对积分的上下限分别为积分的上下限分别为:, (2) 用用的半平面的半平面l截积分区域截积分区域,得到截面得到截面s在在l内过原点作两射线夹紧内过原点作两射线夹紧s,这两射线对应着这两射线对应着则对则对积分的上下限分别为积分的上下限分别为:, 则对则对积分的上下限分别为积分的上下限分别为:21( ),( ) , (), 常数1212( ),( ), ( )( ) 100(3) 设设( , ) 固定固定, 即用过原点的射线穿过区域即用过原点的射线穿过区域,设穿入穿出曲面为设穿入穿出曲面为:1( , ),rr 2( , )rr 则对则对r积分的上下限分别为积分的上下限分别为:21

60、( , ),( , ).rr 故故结论结论: 当积分区域为球面当积分区域为球面,球面与锥面等围成球面与锥面等围成,被积函数中含有被积函数中含有222xyz则考虑用球面坐标变换则考虑用球面坐标变换.时时,22112( )( , )2( )( , )( , , )sinsinrrf rrdrd dddfrdr 101类似有三重积分的换元法类似有三重积分的换元法设变换设变换( , , ),( , , ),( , , )xx u v w yy u v wzz u v w将将空间区域空间区域一对一地变换为一对一地变换为空间地区域空间地区域且函数且函数在在内有连续偏导内有连续偏导,且且则则, ,u v w