第一节定积分的概念与性质55639

1、第五章积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分定积分 第一节一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、 定积分的定义定积分的定义三、三、 定积分的性质定积分的性质定积分的概念及性质 第五五章 一、定积分问题举例一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积1xix1ixxabyo,1iiixxiniiixfa10)(lim2. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程iniitvs10)(lim)max(1init上述两个问题的共性共性: 步骤相同 :“分割 , 取近似 , 求和 , 取极限 ” 极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限二、定积分定义二、定积分定义: ,)(上定义在设函数bax

2、f的若对,ba任一种分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取, ,1iiixx时若0max1inixiniixf1)(总趋于确定的极限 i , )(xf在区间,ba上的定积分定积分,baxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim则称 f ( x ) 在 a , b 上可积可积 ，记作称此极限 i 为函数 在baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba定理定理1.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf定理定理2.,)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点 可积的充分条件可积的充分条件:.,)(可积在

3、baxf定积分的几何意义定积分的几何意义:axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1a2a3a4a5a54321d)(aaaaaxxfba各部分面积的代数和a例例2. 用定积分表示下列极限:ninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnno1 xyni例例1. 利用定义计算定积分.d102xx2xy 说明说明:, ,)(bacxf设,d)(存在则baxxfbaxxfd)(. 1xyxyxyn110)(110nnabyyy(左矩形公式)(21nnabyyy(右矩形公式)baxxfd)(. 2xyxyxyn21baxxfd)

4、(. 3xyyii211)()(21110nnyyyynab(梯形公式)11ni定积分的近似计算三、定积分的性质三、定积分的性质(设所列定积分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4abbccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 56. 若在 a , b 上则.0d)(xxfba,0)(xf推论推论1. 若在 a , b 上, )()(xgxf则xxfbad)(xxgbad)(推论推论2.xxfbad)(xxfbad)()(ba 例例3. 试证:.2dsin120 xxx7. 设, )(min, )(max,xfmxfmbaba则)(d)()(abmxxfabmba)(ba 8. 积分中值定理积分中值定理, ,)(bacxf若则至少存在一点, ,ba使)(d)(abfxxfbaoxbay)(xfy 上的平均值在,)(baxf内容小结内容小结1. 定积分的定义 乘积和式的极限2. 定积分的性质3. 积分中值定理矩形公式 梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算 作业作业 p234 2 (2) 3 (2) 4 (2) 5 7 (4) 11 12 (2) 13 (5) 思考与练