第一节定积分的概念与性质2

1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第一节第一节 定积分的概念和性质定积分的概念和性质（二（二）一、基本内容一、基本内容二、小结二、小结 思考题思考题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在下面的性质中，假定定积分都存在，且若无特在下面的性质中，假定定积分都存在，且若无特别说明则不考虑积分上下限的大小别说明则不考虑积分上下限的大小对定积分的对定积分的【补充规定【补充规定】（2）当当ba 时时， abbadxxfdxxf)()(. 【说明【说明】一、基本内容【证【证】 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 【性质【性质1】 i

2、inixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（逐项积分）（逐项积分）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【证【证】 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk【性质【性质2】 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.【补充【补充】不论不论a,b,c的相对位置如何的相对位置如何, , 上式总成立上式总成立. .例例若若, cba 【性质

3、【性质3】 cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf则则（积分区间的可加性）（积分区间的可加性） bleddccabadxxf)(【推广【推广】首尾相接首尾相接机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dxba 1dxba ab .【证【证】, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf【性质【性质4】【性质【性质5】（不等式性质）（不等式性质）比较性质比较

4、性质如果在区间如果在区间,ba上上0)( xf， 【几何意义明显【几何意义明显】保号性保号性【解【解】令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【性质【性质5的推论的推论】【证【证】),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于是于是 dxxfba )( dxxgba )(. 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ， 推论推论1dxxfba )(dxxfba

5、 )(.)(ba 【证【证】, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(. 推论推论2【说明【说明】., )(,)(此此结结论论不不作作证证明明上上必必可可积积在在上上可可积积，则则在在baxfbaxf)(ba 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【证【证】,)(mxfm ,)( bababamdxdxxfdxm).()()(abmdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）【性质【性质6】（估值性质）（估值性质）【解【解】,sin31)(3xx

6、f , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx复习复习闭区间上的连续闭区间上的连续函数求最值的一般方法函数求最值的一般方法.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【解【解】,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x, 0 ,22)4( fm,2)2( fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上

7、连续，上连续， 【证【证】mdxxfabmba )(1)()()(abmdxxfabmba 由闭区间上连续函数的由闭区间上连续函数的介值定理的推论介值定理的推论知：知：【性质【性质7】（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式使使,)(1)( badxxfabf)(ba 即即数值数值机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【积分中值公式的几何解释【积分中值公式的几何解释】xyoab )( f以曲线以曲线)(xfy 【注意【注意】1. .积分中值定理的积分中值定理的 , ,ba )( 内部内部必可取在必可取在但但a,b （见下节例（见下节例6 6）微分中值定

8、理的微分中值定理的),(ba 2. .显然，积分中值公式不论显然，积分中值公式不论ab还是还是ab都是成立的都是成立的.3. .从几何角度易看出，从几何角度易看出， badxxfabf)(1)( 表示连续曲线表示连续曲线 在在 上的上的平均高度平均高度. .)(xf,ba为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为而高为f()的一个矩形的面积。的一个矩形的面积。亦即函数亦即函数 在在 上的上的平均值平均值. .)(xf,ba它是有限个数的平均值概念的拓广它是有限个数的平均值概念的拓广机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【解【解】 由积分中值

9、定理知有由积分中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f . 6 【分析分析】去掉积分号才容易求极限，则想到用积分中值定理】去掉积分号才容易求极限，则想到用积分中值定理等价无穷小代等价无穷小代换最简单换最简单机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）（注意估值性质、积分中值定理的应用）典型问题典型问题（）估计积分值；）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小）不计算定积分比较积分大小二、小结（3）积分中值定理的应用）积分中值定理的应用机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【思考题【思考题】 定定积积分分性性质质中中指指出出，若若)(),(xgxf在在,ba上上都都可可积积，则则)()(xgxf 或或)(