条件极值郑州轻工业学院精品课程建设

1、4 条 件 极 值 条件极值问题的特点是: 极值点的搜索范围要受到各自不同条件的限制. 解决这类极值问题的方法叫做拉格朗日乘数法. 三、应用举例 一、问题引入 二、拉格朗日乘数法 条件极值问题的实际应用非常广泛,而且还能用来证明或建立不等式.一、问 题 引 入 很多极值问题很多极值问题, 目标函数的自变量不能在其定义目标函数的自变量不能在其定义域上自由变化域上自由变化, 而是要受到某些条件的约束而是要受到某些条件的约束.例例1 要设计一个容积为要设计一个容积为 v 的长方形无盖水箱的长方形无盖水箱, 试试 问长、宽、高各等于多少时问长、宽、高各等于多少时, 可使得表面积达到可使得表面积达到 最

2、小最小? 若设长、宽、高各等于若设长、宽、高各等于 x, y, z, 则则 2 ();sz xyxy目标函数目标函数: .xyzv 约束条件约束条件: 例例2 设曲线设曲线 求此曲线上求此曲线上 22,1.zxyxyz1212(,), (,)r ;nnnyf xxxxxxd的点到原点距离之最大、最小值的点到原点距离之最大、最小值. 对此问题有对此问题有 222;uxyz目标函数目标函数: 22,1.zxyxyz约束条件约束条件: 还可举出很多这种带有约束条件的极值问题还可举出很多这种带有约束条件的极值问题. 定义定义 设目标函数为设目标函数为 约束条件为如下一组方程约束条件为如下一组方程: 1

3、2(,)0,1,2,().:knxxxkm mn 为简便起见为简便起见, 记记 并设并设 12(,),npxxx |,( )0,1, 2,.kppdpkm00()( ),(; ) (),f pf ppu pp或或0,0,p 使得使得若存在若存在 0()f p( )f p 则称则称 是是 在约束条件在约束条件 之下的极小值之下的极小值 0p(或最小值或最小值) , 称称 是相应的极小值点是相应的极小值点 (或最小值或最小值 点点). 类似地又可定义条件极大类似地又可定义条件极大 (或最大或最大) 值值. 二、拉格朗日乘数法 (a) 拉格朗日乘数法探源拉格朗日乘数法探源 先从先从 n = 2, m

4、 =1 的最简的最简 情形说起情形说起, 即设目标函数与约束条件分别为即设目标函数与约束条件分别为 ( , )( , )0.(1)zf x yx y 与与dd0,ddxxyxyyzyffffxx ( , )0 x y ( ),yy x 若由若由 确定了隐函数确定了隐函数 则使得目则使得目 ( , ( ).zf x y x 标函数成为一元函数标函数成为一元函数 再由再由 00000(,)(, (),p xyxy x 求出稳定点求出稳定点 在此点处满足在此点处满足 0()0.xyyxpff0( , )f x yz 00000(),()(),()(0, 0).xyxyfpfpppf这表示这表示 的等

5、值线的等值线 1812). 由此推知由此推知: 0, 存在比例常数存在比例常数满足满足 这又表示这又表示: 对于函数对于函数 0p0( , )f x yz ( , )0 x y ( , )f x yc 图图 1812 ( , )0 x y 与曲线与曲线 在在 0p有公共切线有公共切线(见图见图 点点 ( , , )( , )( , ),l x yf x yx y在点在点 处恰好满足处恰好满足: 000(,)xy ( , )( , )0,( , )( , )0,(2)( , )0.xxxyyylfx yx ylfx yx ylx y 也就是说也就是说, (2) 式是函数式是函数 在其极值点处所在

6、其极值点处所 ( , , )l x y 满足的必要条件满足的必要条件. 由此产生了一个重要思想由此产生了一个重要思想: 通过引入辅助函数通过引入辅助函数 把条件极值问题把条件极值问题 (1) ( , , ),l x y 转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题. (b) 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 对于前面定义中所设的一般对于前面定义中所设的一般 目标函数和约束条件组目标函数和约束条件组, 应引入辅助函数应引入辅助函数 12121(,)(,).(3)mnkknkf xxxxxx 称此函数为称此函数为拉格朗日函数拉格朗日函数, 其中其中 称称 12,m为为拉

7、格朗日乘数拉格朗日乘数. kf 与与定理定理 18.6 设上述条件极值问题中的函数设上述条件极值问题中的函数 在区域在区域 d上有连续一阶偏导数上有连续一阶偏导数. 若若 (1,2,)km 1212(,)nml xxx01111rank,nmmpnxxmxx (0)(0)(0)012(,)npxxxd 的内点的内点 是该条件极值问是该条件极值问 题的极值点题的极值点, 且且(0)(0)(0)12(,nxxx(0)(0)(0)12,)m(0)(0)(0)12,m则存在则存在 m 个常数个常数 使得使得 个方程的解个方程的解: 1120,1,2, ;(,)0,1,2,.mkkkiiinkklfin

8、xxxlxxxkm 说明说明 对于对于 n = 2, m = 1 的情形的情形, 已在前面作了说已在前面作了说 明明; 对一般情形的证明对一般情形的证明, 将放到二十三章的将放到二十三章的定理定理 23.19 中去进行中去进行. 为拉格朗日函数为拉格朗日函数 (3) 的稳定点的稳定点, 即它是如下即它是如下 nm三、应 用 举 例 定理定理 18.6 指出的方法称为拉格朗日乘数法指出的方法称为拉格朗日乘数法. 下面下面 用这种方法先来求解本节开头给出的两个例题用这种方法先来求解本节开头给出的两个例题. 例例1 解解 此例以往的解法是从条件式解出显函数此例以往的解法是从条件式解出显函数, 例如例

9、如 代入目标函数后代入目标函数后, 转而求解转而求解 ,vzxy 2()vsxyxyxy的普通极值问题的普通极值问题. 可是这样做并不总是方便的可是这样做并不总是方便的, 而而 且往往无法将条件式作显化处理且往往无法将条件式作显化处理, 更不用说多个条更不用说多个条 件式的情形了件式的情形了. 现在的新办法是设辅助函数现在的新办法是设辅助函数2()(),lxzyzxyxyzv 20,20,2()0,0.xyzlzyyzlzxxzlxyxylxyzv 并求解以下方程组并求解以下方程组: 为消去为消去 , 将前三式分别乘以将前三式分别乘以 x , y , z , 则得则得 2,2,2 ().xzx

10、yxyzyzxyxyzz xyxyz 33322,.22vxvxvy z两两相减后立即得出两两相减后立即得出 再代入第四式再代入第四式, 2 ,xyz便求得便求得 注注 由以上结果还可以得到一个不等式由以上结果还可以得到一个不等式 ( 这是获得这是获得 不等式的一种好方法不等式的一种好方法 ). 那就是具体算出目标函数那就是具体算出目标函数 (表面积表面积) 的最小值的最小值: 3322333min22(22)(2)34,2vsvvvv去去 v 后便得不等式后便得不等式 322 ()34() ,0,0,0.z xyxyxyzxyz例例2 解解 这里有两个条件式这里有两个条件式, 需要引入两个拉

11、格朗需要引入两个拉格朗 日常数日常数; 而且为了方便计算而且为了方便计算, 把目标函数改取距离把目标函数改取距离 于是有于是有 其中其中 消消 322 ()34,z xyxyv.vxyz的平方的平方 (这是等价的这是等价的), 即设即设 22222()(1).lxyzxyzxyz22220,220,2()20,2()2.0,10.xyzlxxlyyxxlzyyzlxyzlxyz 求解以下方程组求解以下方程组: 由此又得由此又得 再代入条件再代入条件 (1)()0.xyxy 式式, 继而求得继而求得: ( 这里这里 否则将无解否则将无解 ) 1, 2222210,12zxxxzx 13,21(1

12、3 )23 .xyz 最后得到最后得到 222222( 13)(23)4xyz 1(12 33)44 3395 3,21(12 33)44 3395 3.2 故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分 别为别为 minmax95 3 ,95 3.dd例例3 已知圆柱面已知圆柱面 22210,(4)xyzxyyzzx它与平面它与平面 相交得一椭圆相交得一椭圆, 试求此椭试求此椭 0 xyz圆的面积圆的面积. 分析分析 (i) 如果能求得该椭圆的长、短半轴如果能求得该椭圆的长、短半轴 a 与与 b, 则椭圆面积为则椭圆面积为 ;ab (ii) 由方程由方程

13、 (4) 看到看到, 此圆柱面关于坐标原点是对此圆柱面关于坐标原点是对 称的称的, 故此圆柱面的中心轴是通过坐标原点的某故此圆柱面的中心轴是通过坐标原点的某 一直线一直线; (iii) 因为所给平面也是通过坐标原点的因为所给平面也是通过坐标原点的, 所以此所以此 平面上的椭圆截线必以坐标原点为其中心点平面上的椭圆截线必以坐标原点为其中心点. 解解 由以上分析由以上分析, 自原点至椭圆上任意点自原点至椭圆上任意点 ( x, y, z ) 的距离的距离 之最大、小值，就是该之最大、小值，就是该 222dxyz椭圆的长、短半轴椭圆的长、短半轴. ( 说明说明: 本例的题型与例本例的题型与例2 相相

14、类似类似, 但在具体计算策略上将有较大差异但在具体计算策略上将有较大差异. ) 设拉格朗日函数为设拉格朗日函数为 222(1),xyzxyyzzx 并令并令222()lxyzxyz 2222(2)0,(5)2(2)0,(6)2(2)0,(7)0,(8)(1)0. (9)xyzlxxyzlyyzxlzzxylxyzlxyzxyyzzx 对对 (5), (6), (7) 三式分别乘以三式分别乘以 x, y, z 后相加后相加, 得到得到 2222 ()0,xyzxyyzzx 2222()()xyzxyz 借助借助 (8), (9) 两式进行化简两式进行化简, 又得又得2222.dxyz 这说明这说

15、明 的极值就是这里的的极值就是这里的 ( 即即 的极值就是的极值就是 2dd . ), 问题便转而去计算问题便转而去计算 为此先从为此先从 (5)(8) 式式 , 消去消去 得到一个线性方程组得到一个线性方程组: (2)2(2)0,2(2)(2)0,0.xyzxyzxyz 它有非零解它有非零解 ( x, y, z ) 的充要条件是的充要条件是2222222320120,111 由前面讨论知道由前面讨论知道, 方程方程 (10) 的两个根的两个根 就是就是 12,122 .sab 2212;4,ab 与而与而2d的最大、小值的最大、小值, 即即 于是于是 说明说明 (i) 一旦由方程一旦由方程

16、(5) (9) 能直接求得椭圆的能直接求得椭圆的 长、短半轴长、短半轴, 那就不必再去计算椭圆的顶点坐标那就不必再去计算椭圆的顶点坐标 22040.(10)3即即( x, y, z ) 了了, 这使解题过程简单了许多这使解题过程简单了许多. (ii) 若用解析几何方法来处理本例的问题若用解析几何方法来处理本例的问题, 则需要则需要 出纬圆半径出纬圆半径 和纬圆面积和纬圆面积 还有平面还有平面23r 2;3a 的法线与的法线与 l 夹角的余弦夹角的余弦 0 xyz(1,1,1) (1,1, 1)1cos.333 然后根据面积投影关系然后根据面积投影关系 最后求得椭圆最后求得椭圆 cos ,as

17、先求出圆柱面的中心轴所在直线先求出圆柱面的中心轴所在直线 l : 再求再求,xyz面积为面积为 212 .33cosas :( , )0.f x y 例例4 设光滑封闭曲线设光滑封闭曲线 证明证明: 上任意两个相距最远点上任意两个相距最远点 处的切线互相平行处的切线互相平行, 且垂直于这且垂直于这 两点间的连线两点间的连线 (见图见图1813). 证证 由于由于 是光滑封闭曲线是光滑封闭曲线, 所以满足所以满足: (i) f 在一个包含在一个包含 的开域内有连续的一阶偏导数的开域内有连续的一阶偏导数, 0p0q图图 1813220;xyff且且22( , , , )()()f x y u vx

18、uyv( , )0,( , )0f x yf u v(ii) 在在 上必有相距最远的点上必有相距最远的点. 000000(,),(,)p xyq u v 设设 为为 上相距最远的两点上相距最远的两点, 00000(,)mxyu v则点则点 为目标函数为目标函数 在约束条件在约束条件 之下的极大值点之下的极大值点. 于是由拉格朗日乘数法于是由拉格朗日乘数法, 存在存在 000,m使点使点成为拉格朗日函数成为拉格朗日函数 22()()( , )( , )lxuyvf x yf u v000000000000000000002()(,)0,2()(,)0,2()(,)0,2()(,)0.xyuvxu

19、fxyyvfxyxufuvyvfuv 0000000000(,)(,),(,)(,).xypuvqxuyvffxuyvff的稳定点的稳定点. 从而满足从而满足 由前两式与后两式分别得到由前两式与后两式分别得到 前者表示前者表示 后者表后者表 000p qp 与在的切线垂直,与在的切线垂直,000p qq 与在的切线垂直.与在的切线垂直. 0,p示示 所以所以 在在 0q00.p q两点处的切线互相平行两点处的切线互相平行, 且垂直于且垂直于 *例例5 试求函数试求函数 111( , , )(0,0,0)f x y zxyzxyz3(0)xyzaa在条件在条件 下的最小值下的最小值, 并由此导出

20、相并由此导出相 应的不等式应的不等式. 解解 设设 3111(),lxyzaxyz 222310,10,10,0.xyzlxyzlyxzlzxylxyza 并使并使由此方程组易得由此方程组易得 ,( , , )3.xyzaf a a aa并有并有下面给出下面给出3 a是条件最小值的理由是条件最小值的理由. 3:.( , , ),0,sxyzax y zsxy记当且或记当且或(02),( , , ),0, 0ax y zsxy当且当且, 0,z时 使得时 使得( , , )3.f x y za 0,0,z 时时或或( , , ).f x y z 都使得都使得 故存在故存在 1( , , ) (

21、, , ),.sx y zx y zs xyz又设又设 1sff由于由于 为一有界闭集为一有界闭集, 为连续函数为连续函数, 因此因此 在在 1s1ss1s 上存在最大值和最小值上存在最大值和最小值. 而在而在 及及 上上, 1( , , )( , , )min( , , )min( , , )3.x y zsx y zsf x y zf x y za3,a1sf 的值已大于的值已大于 故故 f 在在 s 上的最小值必在上的最小值必在 1s( , , ),a a a的内部取得的内部取得. 又因又因 内部只有惟一可疑点内部只有惟一可疑点 所以必定有所以必定有 1113, ( , , )x y z

22、sxyza最后最后, 在不等式在不等式 中中, 用用 代入代入, 就得到一个新的不等式就得到一个新的不等式: 3axyz 31113,0,0,0.xyzxyzxyz经整理后经整理后, 就是就是 “调和平均不大于几何平均调和平均不大于几何平均” 这这个个 著名的不等式著名的不等式:131113,0,0,0 .xyzxyzxyz *例例6 利用条件极值方法证明不等式利用条件极值方法证明不等式 62 3108,0,0,0 .6xyzxy zxyz :(0,0,0,0).xyzaxyza 2 3(),lxy zxyza 令并使令并使2 3( , , ),f x y zxy z 证证 设目标函数为设目标

23、函数为 约束条件为约束条件为 2 332 20,20,30,0.xyzly zlxyzlxy zlxyza 由前三式解出由前三式解出 代入第四式后得到代入第四式后得到 2 ,3 ,yx zx稳定点稳定点 0000(,)(6,3,2).pxyzaaa 下面来说明这个稳定点必定是条件最大值点下面来说明这个稳定点必定是条件最大值点. ( , , )min( , , )0,x y zf x y z ( , , )f x y z3r为简单起见为简单起见, 考虑考虑 在在 f上的情形上的情形. 由于由于 为有界闭集为有界闭集, 为连续函数为连续函数, 因因 f 此此 在在 上存在最大、小值上存在最大、小值

24、. 首先首先, 显然有显然有 这在这在 上上 ( x = 0, 或或 y = 0, 或或 z = 0 ) 取得取得. 而而 60()4320,f pa0,p 且且故有故有 6( , , )( , , )max( , , )max( , , ).432x y zx y zaf x y zf x y z由此得到不等式由此得到不等式 62 3, ( , , ).432axy zx y z 又因在又因在 上满足上满足 把它代入上式把它代入上式, 就就 ,axyz662 3()108.4326xyzxyzxy z 证得证得 注注1 在用条件极值方法证明不等式时在用条件极值方法证明不等式时, 设置合适设置

25、合适 的目标函数与约束条件是解决问题的关键的目标函数与约束条件是解决问题的关键. 对于对于 本例来说本例来说, 也可把上面的条件极大值问题改述为也可把上面的条件极大值问题改述为 条件极小值问题条件极小值问题: 求目标函数求目标函数( , , )f x y zxyz2 3xy za 在条件在条件 约束之下的极小值约束之下的极小值. 一个问题的这两种处理形式一个问题的这两种处理形式, 俗称为目标函数与约俗称为目标函数与约 束条件在形式上的束条件在形式上的对偶性对偶性. 前面例前面例5 和课本下册和课本下册 p.168 上的例上的例3 同样也是对偶问题同样也是对偶问题. 有关对偶性问有关对偶性问 题的确切提法题的确切提法, 请参阅后面复习思考题的第请参阅后面复习思考题的第 3 题题. 注注2 如何判断所得稳定点是条件极大如何判断所得稳定点是条件极大 (小小) 值点值点