432空间两点间的距离公式

1、4.3.2 4.3.2 空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式 (1)(1)掌握空间两点间的距离公式掌握空间两点间的距离公式, ,(2)(2)会应用距离公式解决有关问题会应用距离公式解决有关问题. .(3)(3)通过对空间两点间距离公式的探究与推导通过对空间两点间距离公式的探究与推导, ,初步意初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基识到将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法本思想方法 ababdccd 建筑用砖通常是长方体，我们可以拿尺子测量出一建筑用砖通常是长方体，我们可以拿尺子测量出一块砖的长、宽和高，那么怎样测量它的对角线块砖的长、宽和高，那么怎样测量它的对

2、角线acac的长的长度呢？直接测量比较困难，我们可以用间接的方法去测度呢？直接测量比较困难，我们可以用间接的方法去测量。如果有三块砖，你如何测量量。如果有三块砖，你如何测量acac的长度，两块呢？的长度，两块呢？1.1.思考：思考：类比平面两点间的距离公式的推导，在空间直类比平面两点间的距离公式的推导，在空间直角坐标系中，点角坐标系中，点p p（x x1 1，y y1 1，z z1 1）和点）和点q q（x x2 2，y y2 2，z z2 2）的）的距离，怎么求？距离，怎么求？( , , )p x y z空间中任意一点的坐标空间中任意一点的坐标到原点之间的距离公式会是怎样呢？到原点之间的距离

3、公式会是怎样呢？（1 1）先看简单的情形）先看简单的情形如图所示，设点如图所示，设点p在在 平面上的平面上的射影是射影是b.则点则点b的坐标是的坐标是xoy( , ,0).x y在在 平面上，有平面上，有xoy22.obxyrt obp在中，根据勾股定理22,opobbp,bpz这说明，在空间直角坐标系中，这说明，在空间直角坐标系中，空间中任意一点空间中任意一点( , , )p x y z与原点的距离与原点的距离222.opxyz222.opxyz所以探究：探究：op2222xyzr如果如果是定长是定长r,r,那么那么表示什么图形？表示什么图形？ o ox xy yz zp p在空间中，到定点

4、的距离在空间中，到定点的距离等于定长的点的轨迹等于定长的点的轨迹以原点为球心，以原点为球心，半径长为半径长为 r 的球面的球面 1111( ,)p x y z2222(,)p xy z（2 2）如果是空间中任意一点）如果是空间中任意一点到点到点之间的距离公式会是怎样呢？之间的距离公式会是怎样呢？如图，设如图，设1111( ,)p x y z2222(,)p xy z是空间中任意两点，且是空间中任意两点，且1111( ,)p x y z2222(,)p xy z在在xoyxoy平面上的射影分别平面上的射影分别为为m,n,m,n,那么那么m,nm,n的坐标为的坐标为11( ,0)m x y22(,

5、0)n xy在在xoyxoy平面上平面上, ,222121()() .mnxxyy过点过点1p作作 的垂线，垂足为的垂线，垂足为h,h,2p n则则1122,mpznpz所以所以221.hpzz12rt php在中，2212121()() ,phmnxxyy因此，空间中任意两点因此，空间中任意两点1111( , , )p x y z2222( , , )p x y z之间的距离之间的距离22212212121()()() .ppxxyyzz根据勾股定理222221212212121()()()ppphhpxxyyzz212m m222(74)(1 3)(2 1)14,223m m222(57)

6、(2 1)(32)6,231m m222(45)(32)(1 3)6,23m m31,m m原结论成立原结论成立. .解解: :答案：答案：(1). 6(2). 70 练习：练习： 1.1.求下列两点的距离求下列两点的距离(1) (2,3,5), (3,1,4)(2) (6,0,1), (3,5,7)abab例例2. 2. 在在z z轴上求与两点轴上求与两点a a( ( 4, 1, 7)4, 1, 7)和和b b(3, 5, (3, 5, 2)2)等距离等距离的点的点 149z 解：解：设所求的点为设所求的点为m m(0, 0, (0, 0, z z) )，依题意有，依题意有 解之得解之得22

7、mamb222222(04)(0 1)(7)(30)(50)( 2)zz 即即所以所求点的坐标是所以所求点的坐标是4(0,0, ).9答案：答案：(0,0, 3)练习：练习：在在z z轴上求一点轴上求一点m m，使点，使点m m 到到a a（1,0,21,0,2）与点）与点b b（1 1，- -3,13,1）的距离相等）的距离相等. .12121 1、已已知知两两点点m m（-1,0,2-1,0,2），m m（0,3,-10,3,-1），此此两两点点间间的的距距离离为为（ ）a. 19a. 19. 11. 11 c.19 d.11 c.19 d.11、在在t t中中，, ,三三点点坐坐标标为为（，, , ），（, , , , ）（x,0, 1),x,0, 1),则则x = _x = _1