线性空间的定义与性质

1、线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题问题 若对于任一数若对于任一数 与任一元素与任一元素 ，总有唯，总有唯一的一个元素一的一个元素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的积，的积，记作记作r v v 定义定义 设设 是一

2、个非空集合，是一个非空集合， 为实数域如果为实数域如果对于任意两个元素对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元，总有唯一的一个元素素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的和，记作的和，记作v ,v vrrv ,;,设设;0, 0)3( 都有都有对任何对任何中存在零元素中存在零元素在在vv;)1( ;)2( 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么么 就称为数域就称为数域 上的向量空间（或线性空间）上的向量空间（或线性空间）vr;1)5( ;)6( .)8( ;)7( ; 0 ,)4( 使使的的负负元元素素都都有有对对任任何何vv2 向量空间中的向量不

3、一定是有序数组向量空间中的向量不一定是有序数组3 判别线性空间的方法：一个集合，对于定判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间 说明说明1 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为称为线性运算线性运算（）一个集合，如果定义的加法和乘数运（）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性算的封闭性例例 实数域上的全体实数

4、域上的全体 矩阵，对矩阵的加法矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 nm nmr ,nmnmnmcba ,nmnmda .是是一一个个线线性性空空间间nmr 线性空间的判定方法线性空间的判定方法., 0101量空间量空间向向数乘多项式的乘法构成数乘多项式的乘法构成对于通常的多项式加法对于通常的多项式加法即即记作记作的多项式的全体的多项式的全体次数不超过次数不超过raaaaxaxapxpxpnnnnnn 例2例2通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律算满足线性运算规律)()(01

5、01bxbxbaxaxannnn )()()(0011baxbaxbannn xpn )(01axaxann )()()(01axaxann xpn .对运算封闭对运算封闭xpn.0, , 0101间间空空和乘数运算不构成向量和乘数运算不构成向量对于通常的多项式加法对于通常的多项式加法且且次多项式的全体次多项式的全体 araaaaxaxapxqnnnnnn例3例3p0000 xxnxqn .对运算不封闭对运算不封闭xqn例例 正弦函数的集合正弦函数的集合 .,sinrbabxasxs 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间间 221121si

6、nsinbxabxass xbxaxbxasincossincos2211 xbbxaasincos2121 bxa sin.xs 11111sinsinbxabxas xs 是一个线性空间是一个线性空间. xs例例 在区间在区间 上全体实连续函数，对函数的上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间空间,ba一般地一般地例例 正实数的全体，记作正实数的全体，记作 ，在其中定义加法，在其中定义加法及乘数运算为及乘数运算为 r ., rbaraaabba 验证验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间对上述加法与乘数运算构成线

7、性空间 r（）一个集合，如果定义的加法和乘数运（）一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律否满足八条线性运算规律证明证明;, rabbarba., raarar 所以对定义的加法与乘数运算封闭所以对定义的加法与乘数运算封闭下面一一验证八条线性运算规律：下面一一验证八条线性运算规律：;)1(abbaabba );()()()(2(cbacabcabcba 有有对任何对任何中存在零元素中存在零元素, 1)3( rar;11aaa 使使有负元素有负元素,)4(1 rara; 111 aaaa;1)5(1

8、aaa ;)6(aaaaa ; )7(aaaaaaaa baababba )()()8(所以所以 对所定义的运算构成线性空间对所定义的运算构成线性空间 r. baba 0 , 0),(1 ntxx 不构成线性空间不构成线性空间对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法例例 个有序实数组成的数组的全体个有序实数组成的数组的全体n rxxxxxxxsnntn ,),(2121.对运算封闭对运算封闭sn,1ox 但但.不满足第五条运算规律不满足第五条运算规律., 线性空间线性空间不是不是所以所以线性运算线性运算由于所定义的运算不是由于所定义的运算不是sn1 1零

9、元素是唯一的零元素是唯一的证明证明假设假设 是线性空间是线性空间v中的两个零元中的两个零元素，素，210 ,0.0,021 由于由于,0 ,021v 所以所以.000 ,000121212 则对任何则对任何 ，v 有有.000000212211 2 2负元素是唯一的负元素是唯一的证明证明 假设假设 有两个负元素有两个负元素 与与 ， 那么那么. 0, 0 则有则有0 0. 向量向量 的负元素记为的负元素记为 . . 00;1; 00. 3 证明证明 ,101010 . 00 , 0011111 .1 10 0 . 0 4如果如果 ，则则 或或 . 0 0 0 证明证明假设假设,0 那么那么 0

10、11 . 0 .11 又又. 0 同理可证：若同理可证：若 则有则有0 . 0 定义定义2 2设设 是一个线性空间，是一个线性空间， 是是 的一个非空子的一个非空子集，如果集，如果 对于对于 中所定义的加法和乘数两种运算中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称也构成一个线性空间，则称 为为 的子空间的子空间vlvvvll定理线性空间定理线性空间 的非空子集的非空子集 构成子空间的充分构成子空间的充分必要条件是：必要条件是： 对于对于 中的线性运算封闭中的线性运算封闭vlvl解解(1)不构成子空间不构成子空间. 因为对因为对1000001wba ?32为为什什么么空空间间的的下下列列

11、子子集集是是否否构构成成子子 r;,001)1(1 rdcbdcbw., 0000)2(2 rcbacbacbaw例例8 8有有,0000021wba 即即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间对矩阵加法不封闭，不构成子空间.1w,000000)2(2w 因因.2非空非空即即w对任意对任意2222111000,000wcbabcbaa 有有, 0111 cba, 0222 cba于是于是 212121000ccbbaaba满足满足 , 0212121 ccbbaa, 2wba 即即有有对任意对任意rk 111000kckbkaka且且, 0111 kckbka,2wka 即即.322的子空间的子空间

12、是是故故 rw线性空间的元素统称为线性空间的元素统称为“向量向量”，但它可以是，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等. .线性空间线性空间 是一个集合是一个集合对所定义的加法及数乘运算封闭对所定义的加法及数乘运算封闭所定义的加法及数乘符合线性运算所定义的加法及数乘符合线性运算线性空间是二维、三维几何空间及线性空间是二维、三维几何空间及 维向量维向量空间的推广，它在理论上具有高度的概括性空间的推广，它在理论上具有高度的概括性. .n?, 为什么为什么上的一个线性空间上的一个线性空间是否构成是否构成数量乘法数量乘法对于通常的向量加法和对于通常的向量加法和的所有解向量的所有解向量元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组上的上的实数域实数域rbaxnr . 上的一个线性空间上的一