人教版高中数学选修11：2.2 双 曲 线 课后提升作业 十二 2.2.1 Word版含解析

1、高中数学选修精品教学资料课后提升作业 十二双曲线及其标准方程(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知f1(-5,0),f2(5,0)为定点,动点p满足|pf1|-|pf2|=2a,当a=3和a=5时,p点的轨迹为()a.双曲线和一条直线b.双曲线的一支和一条直线c.双曲线和一条射线d.双曲线的一支和一条射线【解析】选d.当a=3时,|pf1|-|pf2|=6<|f1f2|,p的轨迹为双曲线的一支;当a=5时,|pf1|-|pf2|=10=|f1f2|,所以p的轨迹是一条射线.2.(2015·福建高考)若双曲线e:x29-y216=1的左、右焦点分别为f1,f

2、2,点p在双曲线e上,且|pf1|=3,则|pf2|等于()a.11b.9c.5d.3【解析】选b.因为pf1-pf2=2a,所以pf1-pf2=±6,所以pf2=9或-3(舍去).【补偿训练】已知双曲线的左、右焦点分别为f1,f2,过f1的直线与双曲线的左支交于a,b两点,线段ab的长为5,若2a=8,那么abf2的周长是()a.16b.18c.21d.26【解析】选d.|af2|-|af1|=2a=8,|bf2|-|bf1|=2a=8,所以|af2|+|bf2|-(|af1|+|bf1|)=16,所以|af2|+|bf2|=16+5=21,所以abf2的周长为|af2|+|bf2

3、|+|ab|=21+5=26.3.(2016·嘉兴高二检测)在平面内,已知双曲线c:x29-y216=1的焦点为f1,f2,则|pf1|-|pf2|=6是点p在双曲线c上的()a.充要条件b.充分不必要条件c.必要不充分条件d.既不充分又不必要条件【解析】选b.点p在双曲线c上的充要条件为|pf1|-|pf2|=6,故|pf1|-|pf2|=6为点p在双曲线上的充分不必要条件.4.设34,则关于x,y的方程x2sin-y2cos=1所表示的曲线是()a.焦点在y轴上的双曲线b.焦点在x轴上的双曲线c.焦点在y轴上的椭圆d.焦点在x轴上的椭圆【解析】选c.因34,所以sin>0,

4、cos<0,且-cos>sin,所以方程为x2sin+y2-cos=1,故方程表示焦点在y轴上的椭圆.5.与椭圆x24+y2=1共焦点且过点p(2,1)的双曲线方程是()a.x24-y2=1b.x22-y2=1c.x23-y23=1d.x2-y22=1【解析】选b.椭圆的焦点f1(-3,0),f2(3,0),由双曲线定义知2a=|pf1|-|pf2|=|(2+3)2+1-(2-3)2+1|=|8+43-8-43|=22,所以a=2,所以b2=c2-a2=1,所以双曲线方程为x22-y2=1.【补偿训练】椭圆x24+y2m2=1与双曲线x2m2-y22=1有相同的焦点,则m的值是()

5、a.±1b.1c.-1d.不存在【解析】选a.验证法:当m=±1时,m2=1,对椭圆来说,a2=4,b2=1,c2=3.对双曲线来说,a2=1,b2=2,c2=3,故当m=±1时,它们有相同的焦点.直接法:显然双曲线焦点在x轴上,故4-m2=m2+2.所以m2=1,即m=±1.6.一动圆p过定点m(-4,0),且与已知圆n:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心p的轨迹方程是()a.x24-y212=1(x2)b.x24-y212=1(x2)c.x24-y212=1d.y24-x212=1【解析】选c.由已知n(4,0),内切时,定圆n在动圆p的内部,

6、有|pn|=|pm|-4,外切时,有|pn|=|pm|+4,故|pm|-|pn|=4,因此2a=4,2c=8,所以b2=12,点p的轨迹是双曲线x24-y212=1.【误区警示】本题易把“相切”理解为外切或内切,错选a或b.7.已知双曲线x26-y23=1的左、右焦点分别为f1,f2,点m在双曲线上,且mf1x轴,则f1到直线f2m的距离为()a.365b.566c.65d.56【解析】选c.由双曲线的方程知,a=6,b=3,所以c=3,f1(-3,0),f2(3,0).将x=-3代入双曲线的方程得y2=32.不妨设点m在x轴的上方,则m-3,62.所以|mf1|=62,|mf2|=562.设

7、点f1到直线f2m的距离为d,则有12|mf1|·|f1f2|=12|mf2|·d,所以d=65.8.已知双曲线中心在坐标原点,且一个焦点为f1(-5,0),点p位于该双曲线上,线段pf1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是()a.x24-y2=1b.x2-y24=1c.x22-y23=1d.x23-y22=1【解析】选b.设双曲线方程为x2a2-y2b2=1,因为c=5,c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以x2a2-y25-a2=1.由于线段pf1的中点坐标为(0,2),则p点的坐标为(5,4).代入双曲线方程得5a2-165-a2=1,解得a2=1或a2=2

8、5(舍去),所以双曲线方程为x2-y24=1.二、填空题(每小题5分,共10分)9.已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),则k的值为_.【解析】将双曲线方程化为kx2-k8y2=1,即x21k-y28k=1.因为一个焦点是(0,3),所以焦点在y轴上,所以c=3,a2=-8k,b2=-1k,所以a2+b2=-8k-1k=-9k=c2=9.所以k=-1.答案:-110.设f1,f2是双曲线x24-y2=1的两个焦点,点p在双曲线上,且pf1·pf2=0,则|pf1|·|pf2|=_.【解析】因为|pf1|-|pf2|=4,又pf1pf2,|f1f2|=25,所

9、以|pf1|2+|pf2|2=20,所以(|pf1|-|pf2|)2=20-2|pf1|·|pf2|=16,所以|pf1|·|pf2|=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知双曲线x29-y216=1的左、右焦点分别是f1,f2,若双曲线上一点p使得f1pf2=60°,求f1pf2的面积.【解题指南】在pf1f2中,由余弦定理能得到|f1f2|,|pf1|,|pf2|三者满足的关系式,再结合双曲线的定义,求出|pf1|·|pf2|的值,进而求出f1pf2的面积.【解析】由x29-y216=1,得a=3,b=4,c=5.由定义和余弦定理

10、得|pf1|-|pf2|=±6,|f1f2|2=|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|cos60°,所以102=(|pf1|-|pf2|)2+|pf1|·|pf2|,所以|pf1|·|pf2|=64,所以sf1pf2=12|pf1|·|pf2|·sinf1pf2=12×64×32=163.【拓展延伸】双曲线的定义对于解题的主要作用双曲线的定义对于解题具有双向作用:(1)可用来判断平面内动点的轨迹是否为双曲线(或双曲线的一支).(2)可以用来解决焦点三角形和焦点弦的有关问题.12.在abc中,b(4,0),

11、c(-4,0),动点a满足sinb-sinc=12sina,求动点a的轨迹方程.【解析】设a点的坐标为(x,y),在abc中,由正弦定理,得asina=bsinb=csinc=2r,代入sinb-sinc=12sina,得|ac|2r-|ab|2r=12·|bc|2r,又|bc|=8,所以|ac|-|ab|=4.因此a点的轨迹是以b,c为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a=4,2c=8,所以a=2,c=4,b2=12.所以a点的轨迹方程为x24-y212=1(x>2).【能力挑战题】当0°180°时,方程x2cos+y2sin=1表示的曲线如何变化?【解析】(1)当=0°时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=±1.(2)当0°<<90°时,方程为x21cos+y21sin=1.当0°<<45°时,0<1cos<1sin,它表示焦点在y轴上的椭圆;当=45°时,它表示圆x2+y2=2;当45°<<90°时,1