第五章无穷级数第三节傅里叶级数

1、第三节第三节 傅里叶级数傅里叶级数1三角函数系及其正交性三角函数系及其正交性2函数展开成傅立叶级数函数展开成傅立叶级数3一般周期函数展开成傅立叶级数一般周期函数展开成傅立叶级数一一 三角函数系及其正交性三角函数系及其正交性简单的周期运动简单的周期运动 :sin()yat(谐波函数谐波函数)( a为为振幅振幅, 复杂的周期运动复杂的周期运动 :)sin(10nnntnaay tnatnannnn sincoscossin 令令,200aa ,sinnnnaa ,cosnnnab xt 得函数项级数得函数项级数)sincos(210 xnbxnaannk 为为角频率角频率,为为初相初相 )(谐波迭

2、加谐波迭加)称上述形式的级数为称上述形式的级数为三角级数三角级数. ,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx函数系函数系称为称为三角函数系三角函数系。定义定义 设函数系设函数系( )(0,1,2)kxk 是一簇定义在是一簇定义在 , a b上的平方可积的函数，上的平方可积的函数， 如果满足条件：如果满足条件：1) ( )( )0()bmnaxx dxmn 2)2( )0bnnax dx 则称函数系则称函数系( )(0,1,2)kxk 是区间是区间 , a b上上正交函正交函数数系系。 xxnkxnkd)cos()cos(21 1xnxdcos 1xnxd

3、sin0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos 00dsinsin xxnxk 同理同理),2,1( n xnkxnk)(cos)(cos21 )(nk 由于由于cossind0k xnx x 2d11 xxxn dsin2 xxn dcos2 ), 2, 1( n 因此，因此， 三角函数系是区间三角函数系是区间, 上的正交函数系。上的正交函数系。同理，同理， 三角函数系是区间三角函数系是区间0,2 上的正交函数系。上的正交函数系。二二 函数展开成傅立叶级数函数展开成傅立叶级数1 傅立叶系数傅立叶系数设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 且且)s

4、incos(2)(10nxbnxaaxfnnn ( )f x dx 0a ,则由条件则由条件,对对在在逐项积分逐项积分02adx 1(cosdsind )nnnanxxbnxx 01( )daf xx 右端级数可逐项积分右端级数可逐项积分, 0cosd2akxx 1ncoscosdnak xnx x cossindnbk xnxx 2cosdkak xx ka 1( )cosdkaf xk xx ),2,1( k( (利用正交性利用正交性) )1( )sind(1 , 2 ,)kbf xkxxk 类似地类似地, 用用 sin k x 乘乘 式两边式两边, 再逐项积分可得再逐项积分可得( )co

5、sdf xkxx 因此因此1( )cosdnaf xnxx (0,1,2,)n 1( )sind(1, 2,)nbf xnxxn 叶系数为系数的三角级数叶系数为系数的三角级数 称为称为的的傅傅里里叶系数叶系数 ;由公式由公式 确定的确定的nnba ,以以)(xf)(xf的傅的傅里里的的傅傅里里叶级数叶级数 .称为函数称为函数)(xf2 傅立叶级数的收敛性傅立叶级数的收敛性定理定理 (收敛定理收敛定理, 展开定理展开定理)设设 f (x) 是周期为是周期为2 的的周期函数周期函数, 并满足并满足狄利克雷狄利克雷( dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一

6、个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点在一个周期内只有有限个极值点, 则则 f (x) 的傅的傅里里叶级数收敛叶级数收敛 , 且有且有 01cossin2nnnaanxbnx , )(xf(0)(0),2f xf x x 为间断点为间断点其中其中nnba ,( 证明略证明略 )为为 f (x) 的傅的傅里里叶系数叶系数 . x 为连续点为连续点注意注意: 函数展成函数展成傅傅里里叶级数的条叶级数的条件比展成幂级数件比展成幂级数的条件低得多的条件低得多.例例1.1. 设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 它在它在 上的表达式为上的表达

7、式为),1 ,0( )1 , 0 xf xx 解解:s (x)为为f (x) 的傅立叶级数的和函数，的傅立叶级数的和函数， 求求( )s x的表达式的表达式及及(0), (1), ( ), (5).ssss ( )f x在在(0, ) 连续，连续， 所以所以( )( )1,(0, )s xf xx ( )f x在在(,0) 连续，连续， 所以所以( )( )1,(,0)s xf xx (0)s (00)(00)2ff 1( 1)02 ()s (0)(0)2ff 1( 1)02 所以由周期性可知所以由周期性可知( )s x 2(21)kxk(21)2kxkxk (0, 1, 2,)k 11 0(

8、0)0,s (1)1s ( )0s (5)s(52 )s 1 3 函数展开成傅立叶级数函数展开成傅立叶级数xoy例例2.上的表达式为上的表达式为), xxxxf0,00,)(将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. 解解: : 2332设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 它在它在 1) 以以2 为周期为周期 的周期函数的傅立叶级数的周期函数的傅立叶级数 )(xf在在 )12( kx连续，连续，因此其傅立叶级数因此其傅立叶级数收敛到收敛到),(xf当当 )12( kx时，时， 收敛到收敛到.220 xxfad)(10 0dcos1 xxnx xnxxfand

9、cos)(1 0d1 xx 0221x2 02cossin1nnxnnxx 2)1(1nn xnxxfbndsin)(1nn 1)1( 0dsin1 xnxx )(xf 112)sin)1(cos)1(1(nnnnxnnxn 4 ),2,1,0,)12(,( kkxx 例例3. 设设( ) |()f xxxoyx0a xxfd)(1 0d2xx na xnxxfdcos)(1 0dcos2xnxx 02cossin2 nnxnnxx解解:将函数将函数(2 )( ),f xf x 且且( )f x展开成傅立叶级数。展开成傅立叶级数。22( 1)1 )nn 12 knkn2,0 ),2,1( k,

10、2)12(4 k x3cos312nb 1( )sindf xnxx 0 )(xf2 4 xcos x5cos512()x 利用此展式可求出几个特殊的级数的和利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当当 x = 0 时时, f (0) = 0 , 得得 2222)12(1513118n 设设2221111,234 22217151311 2 12cos1)1(2nnnxn 42 ,421 312 242已知已知821 又又21 213 6248222 12248222 ,6141212222 22234131211 例例4. 设设的的表达式为表达式为 f (x)x ,将将 f (x) 展成傅展成傅

11、里里叶级数叶级数.是是周期为周期为2 的周期函数的周期函数,它在它在上上), )(xf解解:yxo1( )sindnbf xnxx 1( )cos0(0 , 1 , 2 ,)naf xnxdxn ),3,2,1( n 0dsin2xnxx nncos2 1)1(2 nn)(xf在在 )12( kx连续，连续，因此其傅立叶级数因此其傅立叶级数收敛到收敛到),(xf当当 )12( kx时，时， 收敛到收敛到. 02 )(xf,( x)3sin312sin21(sin2 xxx 12nnxnnsin)1(1 ),1,0,)12( kkx yxo2) 定义在定义在, 上函数展开成傅立叶级数上函数展开成

12、傅立叶级数, )( xxf周期延拓周期延拓 )(xf傅傅里里叶展开叶展开,)( 在在得得xf上的傅上的傅里里叶级数叶级数,), , )( xxf, )2( kxf 其它其它最后在最后在, 上讨论级数的收敛性。上讨论级数的收敛性。例例5 将定义在将定义在, 上函数上函数20( )00 xf xx 展开成傅展开成傅里里叶级数。叶级数。解解在在( )f x(, 上满足收敛定理的条件，上满足收敛定理的条件，周期延拓，周期延拓，延拓后的函数在延拓后的函数在,0 x 处不连续，处不连续，因此其傅立叶级数因此其傅立叶级数在在,0 x 收敛到收敛到201,2 在在(,0),(0, ) 上收敛到上收敛到( ).

13、f x01( )af x dx 02dx 2 1( )cosnaf xnxdx 02cosnxdx 0 并求级数并求级数11( 1)21kkk 的和。的和。1( )sinnbf xnxdx 02sinnxdx 02cosnxn 1( 1)2nn 2nk 4(21)k 21nk0(1,2,3,)k ( )f x 1141sin(21)21kkxk ,0 xx令令,2x 1sin(21)( 1),2kk 2 1114( 1)21kkk 11( 1)214kkk 例例6 将定义在将定义在, 上函数上函数221|( )1|xf xx 展开成傅展开成傅里里叶级数。叶级数。2 2 xyo1 解解在在( )

14、f x(, 上满足收敛定理的条件，上满足收敛定理的条件，周期延拓，周期延拓，延拓后的函数在延拓后的函数在2x 处不连续，处不连续， 其傅立叶其傅立叶级数在级数在2x 收敛到收敛到110,2 在在2222,),(, ),( , 上收敛到上收敛到( ).f x dxxfa)(10 0)(2dxxf 202 dx2 dx0 nxdxxfancos)(1 0cos)(2nxdxxf 20cos2 nxdxcos2 nxdx20sin2 nxn sin2 nx 2sin4 nn12 kn )12()1(41 kkkn2 0), 2 , 1( k nxdxxfbnsin)(1), 2 , 1( n0 )(

15、xf 1)12cos(12)1(4kkxkk )2|,( xx3) 定义在定义在0, 上函数展开成正弦、余弦级数上函数展开成正弦、余弦级数定理定理 对周期为对周期为 2 的的奇奇函数函数 f (x) , 其傅里叶其傅里叶级数为级数为周期为周期为2 的的偶偶函数函数 f (x) , 其傅里叶级数为其傅里叶级数为余弦级数余弦级数 ,),2,1,0( dcos)(20 nxnxxfan ),3,2,1( 0 nbn),2,1,0( 0 nan 0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的傅它的傅里里叶系数为叶系数为正弦级数正弦级数,它的傅它的傅里里叶系数为叶系数为,0),( xxf )(xf

16、周期延拓周期延拓 f (x) )(xf f (x) 在在 0 , 上展成上展成周期延拓周期延拓 f (x)余弦级数余弦级数奇延拓奇延拓偶延拓偶延拓xoy正弦级数正弦级数 f (x) 在在 0 , 上展成上展成xoy, 0(),( xxf0, 0 x)0,(),( xxf,0(),( xxf)0,(),( xxf例例7 将定义在将定义在tetusin)( 展成余弦级数展成余弦级数, 其其中中e 为正常数为正常数 .解解:22oyx0a 0dsin2tte e4 ttntuan 0dcos)(2ttnte 0dcossin2 0d)1sin()1sin(ttntne 0d)(2ttu, 0 上函数

17、上函数将函数将函数)(tu先进行先进行偶延拓，偶延拓，在进行周期延拓，在进行周期延拓， 延拓后函数在延拓后函数在, 0 连续，连续，因此展开后的余弦级数收敛到因此展开后的余弦级数收敛到).(tu1 nt 2cos31 0d)1sin()1sin(ttntneankn2 12, 0 kn),2,1( k 1a0 )(tu)0( t,)14(42 ke 0d2sintte21t 4cos151 t 6cos351e2 e42141cos241kektk 1xyo例例8. 将函数将函数)0(1)( xxxf分别展成正弦级分别展成正弦级数与余弦级数数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数先求正弦级数.

18、去掉端点去掉端点, 将将 f (x) 作奇周期延拓作奇周期延拓, 0dsin)(xnxxf 2 nb 0dsin)1(2xnxx 02cossincos2 nnxnnxnnxx nn)1)(1(12 1x 1sin)1)(1(12nnnxn )0( x注意注意:在端点在端点 x = 0, , 级数的和为级数的和为0 ,与给定函数与给定函数 f (x) = x + 1 的值不同的值不同 . 再求余弦级数再求余弦级数.x1y将将)(xf则有则有o 0a 0d)1(2xx na 0dcos)1(2xnxx0222 xx2 02sincossin2 nnxnnxnnxx 1cos22 nn12,)12

19、(42 knk kn2,0 ),2,1( k作偶周期延拓作偶周期延拓 ,121 x xcos x3cos312)0( x x5cos512说明说明: 令令 x = 0 可得可得851311222 8)12(1212 nk即即 412 12)12(14kk xk)12cos( 1yox三三 一般周期函数展开成傅立叶级数一般周期函数展开成傅立叶级数设周期为设周期为2l 的周期函数的周期函数 f (x)满足收敛定理条件满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为则它的傅里叶展开式为 10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf (在在 f (x) 的连续点处的连续点处) naxlxnxflbllnd

20、sin)(1 其中其中定理定理.l1xlxnxflldcos)( ),2,1,0( n),2,1( n证明证明: 令令lxz , 则则,llx , z令令 )(zf, )( z lf 则则)2()2( zlfzf)2(lz lf )( z lf )(zf 所以所以)(zf且它满足收敛且它满足收敛定理定理条件条件, 将它展成傅里叶级数将它展成傅里叶级数: 10sincos2)(nnnznbznaazf( 在在 f(z) 的连续点处的连续点处 )(xf变成变成是以是以 2 为周期的周期函数为周期的周期函数 , zznzfandcos)(1 其中其中zznzfbndsin)(1 令令lxz lan1

21、 xlxnxflbllndsin)(1 lxnblxnaaxfnnn sincos2)(10 ),2,1,0( n),3,2,1( n),2,1,0( n),3,2,1( n( 在在 f (x) 的的 连续点处连续点处 )xlxnxflldcos)( 证毕证毕 说明说明: 1)(nnbxf),2,1(dsin)( nxlxnxfbn 其中其中(在在 f (x) 的连续点处的连续点处)lxn sinl20l如果如果 f (x) 为为偶函数偶函数, 则有则有(在在 f (x) 的连续点处的连续点处) 2)(0axf),2,1,0(dcos)( nxlxnxfan 其中其中 1nnalxn cos注

22、注: 无论哪种情况无论哪种情况 ,).0()0(21 xfxf在在 f (x) 的间断点的间断点 x 处处, 傅里叶级数傅里叶级数收敛于收敛于l20l如果如果 f (x) 为为奇函数奇函数, 则有则有 )(tfto例例9. 交流电压交流电压tete sin)( 经半波整流后负压消经半波整流后负压消失失, ,试求半波整流函数的试求半波整流函数的解解: 这个半波整流函数这个半波整流函数2,它在它在 )(tf tdtnteancos)( 0dcossinttnte,sinte ,0傅傅里里叶级数叶级数. .,上的表达式为上的表达式为0 t t0 的周期是的周期是22 dttean)( 0ttedsi

23、n e2 时时1 n 0d)1sin()1sin(ttntn na tnn )1cos()1(1 2e0 tnn )1cos()1(1 )1(1)1(21 nen32 ,0 kn,)41(22 ke ),1,0( kkn2 0dcossinttnte 2e 0 0d2sintt 21ea 02cos212 etttebdsinsin01 ttntned)1cos()1cos(20 )1()1sin(2ntne0)1()1sin(0 ntnttntebndsinsin0 tted)2cos1(20 022sin2 tte2e n 1 时时nb由于半波整流函数由于半波整流函数 f ( t ),),(上连续上连续在在 etf)( te sin2tkkek 2cos411212 )( t直流部分直流部分说明说明:交流部分交流部分由收由收敛定理可得敛定理可得2 k 次谐波的振幅为次谐波的振幅为,14122 keak k 越大振幅越小越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近因此在实际