北京邮电大学高等数学习题课一zh

1、1第一次习题课第一次习题课 一、内容及要求一、内容及要求 1 理解多元函数、多元函数的极限、连续、理解多元函数、多元函数的极限、连续、偏导数及全微分的定义偏导数及全微分的定义. 2 会求一些二元函数的极限、能判别函数的会求一些二元函数的极限、能判别函数的连续性连续性.4 理解多元函数连续、可导、可微的关系理解多元函数连续、可导、可微的关系 3 能利用一元函数的求导法则计算多元函数能利用一元函数的求导法则计算多元函数的一阶二阶偏导，会求多元函数的全微分的一阶二阶偏导，会求多元函数的全微分.2 5 熟练掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数熟练掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的计算（重点）的计算（重

2、点）注：多元复合函数的偏导数注：多元复合函数的偏导数，),(),(),(yxvyxuvufz ),(),(yxyxfz 变量关系图变量关系图 uvzxy则有则有 xvxuffxvvzxuuzxz yvyuffyvvzyuuzyz 链式法则链式法则“连线相乘，分线相加连线相乘，分线相加”（1）3（2）几种变形几种变形 )(),(),(),(tztytxzyxfu dtdzzudtdyyudtdxxudtdu uxyzt(i)多个中间变量，一个自变量多个中间变量，一个自变量uzxy(ii)一个中间变量，多个自变量：一个中间变量，多个自变量： ,)(xufxududzxz ),(),(yxuufz

3、yufyududzyz )( 4(iii)中间变量与自变量混合存在中间变量与自变量混合存在:xuffxzux yuffyzuy xyuzxy（3）全微分形式的不变性）全微分形式的不变性: z=f (u，v)， u，v 不管是自变量还是中间变不管是自变量还是中间变量，有量，有dvvzduuzdz ),(),(yxuuuyxfz （4）复合函数的高阶偏导数的计算）复合函数的高阶偏导数的计算(难点难点),(),(),(yxvyxuvufz 求求zxx , zxy ,zyy 时应该注意到时应该注意到fu , , fv仍是复合函数仍是复合函数.56 熟练掌握隐函数的偏导数的计算熟练掌握隐函数的偏导数的计

4、算（2）方程组的情形）方程组的情形(i)(i)公式法；公式法； (ii)复合函数的求导法则；复合函数的求导法则；(iii) 一阶全微分形式的不变性一阶全微分形式的不变性 。 求导方法求导方法：确定自变量及因变量，各方程对某确定自变量及因变量，各方程对某一个自变量求偏导，解方程组求得各因变量对这个一个自变量求偏导，解方程组求得各因变量对这个自变量的偏导数自变量的偏导数(或导数或导数) . 一般：变量个数方程个数一般：变量个数方程个数=自变量个数自变量个数 （1）单个方程的情形）单个方程的情形 理论基础是复合函数的求导法则，具体计算有理论基础是复合函数的求导法则，具体计算有三种方法三种方法: 6二

5、、典型例题分析二、典型例题分析 1 、填充、填充 001(1)lim()cosxyxyxy(2) lim(1)yxkyxy0ke7(5)arctan,xyyzzx(6),yzxdz 013201),3sin()7(yxxuxzyzzzyu求求确定，确定，由由22222)(yxxy xdyxdxyxyyln1 3cos8）偏导连续？）偏导连续？（）可微？）可微？（）偏导是否存在？）偏导是否存在？处（处（在在讨论讨论321)0 , 0()0 , 0(),(0)0 , 0(),(1sin)(),(2222 yxyxyxyxyxfxfxffxx )0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(0 01s

6、inlim220 xxxx 0)0 , 0( yf同理同理220)0 , 0()0 , 0(limyxyfxfzyxx 例例解解92222221cos21sin2),(yxyxxyxxyxfx 2222221cos21sin2),(yxyxyyxyyxfy 不存在不存在)21cos121sin2(lim),(lim2200 xxxxyxfxxyxxxy 处偏导不连续处偏导不连续在在)0 , 0(),(yxfx01sin)(lim2222220 yxyxyxx 处可微处可微在在)0 , 0(),(yxf10例例3 3解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二阶连续偏导

7、数具有二阶连续偏导数设设)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx 11xyzyxz 22)(2214fxfxx 3411112224()2yx fxf yfxfx)(222212xyfyfx .2422114213f yf yxfxfx ),(3xyxyfxz 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数因为因为f12)(312fefyyxzy )(333231312yuffefeyuffyy )(333231312yyyyxeffefexeff 3323231312fxefefefxefyyyy 例

8、例4 设设z=f (x，y，u)，u=xey，f 具有二阶连续偏具有二阶连续偏导数，求导数，求 yxz 2xuffxz 31解解zxyuxy,31fefy yfefeyfyy 331132222(),zzf xyfx 设设其其中中 具具有有二二阶阶导导数数，求求xfxz2 22222zfxfxx fxf 242例例5解解1423,23),(tsytsxyxfu 而而的所有二阶偏导连续，的所有二阶偏导连续，设设21,23,23,21 tytxsysxsyyusxxusu yuxu 2321222222222222)uuuuxystuuuuxyst证证明明（及及例例6证明证明15yyyxxxuuu

9、432341 yxuutu2123 同理：同理：yyxyxxuuutu41234322 代入得证。代入得证。221322xxxyyxyyuxyxyuuuusssss232123232121yyyxxyxxuuuu 16例例7 可可微微，证证明明，设设fxyfxz)11(11 .222zyzyxzx 证明：证明：2221)( 11xufxxzz 两端求对两端求对x的偏导数，得的偏导数，得 两端同乘以两端同乘以x2z2：)1()( 222ufzxzxz 两端求对两端求对y的偏导数：的偏导数： )1()( 122yufyzz 两端同乘以两端同乘以y2z2：)2()( 22ufzyzy ( (1) )

10、式式+( (2) )式式 222zyzyxzx 即即得得17例例8 可微，求可微，求设设fxzyyzxf, 0),( ,xz .,dzyz 解：解：方程两端求对方程两端求对x的偏导数，有的偏导数，有0)1()11(221 xzxxzfxzyf解得解得 2112211fxfyfxzfxz 1222111)(fyfxfyzfyz dyfyfxfyzf1222111)( dxfxfyfxzfdz2112211 方程两端求对方程两端求对y的偏导数，有的偏导数，有18或利用全微分形式的不变性求偏导或利用全微分形式的不变性求偏导 0)()(21 xzydfyzxdf0)()(2221 xzdxxdzdyf

11、yzdyydzdxf整理可得整理可得dyyzffdxxzffdzfxfy)()()11(21222121 由此可求得由此可求得 19)(221xzffx 221)(fyzfy 也可利用公式，令：也可利用公式，令：)()(xzyzyxfzyx ， xfyfz1121 于是于是2122111fxfyfxzfxzzx 2112211fxfyfyzfyzzy 20例例9 9 . 设设 ，其中，其中f、g具有一阶连续偏数，具有一阶连续偏数， ),(),(2yvxugvyvuxfu.xvxu ，求求解解所给方程两端对所给方程两端对x求偏导，得求偏导，得 xvvygxugxvxvfxuxufxu21,212

12、1整理可得整理可得 )12()1(121121gxvvygxugufxvfxuxf2112212121)12)(1(121gfgvyfxgvygffxj 122112212121)12)(1()12(121gfgvyfxgfgvyfugvygffujxu 12211111111)12)(1()1(11gfgvyfxfufxgggfufxjxv 22例例10. 设设y=f (x，t)，而，而t是由方程是由方程f(x，y，t)=0所确所确定的定的x、y的函数，其中的函数，其中f，f都具有一阶连续偏导都具有一阶连续偏导数，试证明数，试证明tfyftfxftftfxfdxdy 证法一证法一：首先分析一

13、下变量间的关系。：首先分析一下变量间的关系。由式（由式（1）可确定一元函数）可确定一元函数y=y(x)。（1）式两端对）式两端对x求导得求导得 t是由方程是由方程f(x，y，t)所确定的所确定的x、y的函数，的函数，t=t(x，y)，于是有于是有 y=f x，t(x，y) (1)23t是是f(x，y，t)=0确定的确定的x、y 的函数，由隐函数的函数，由隐函数求导法知求导法知 ,tfxfxt )3(.tfyfyt 将（将（3）式代入（）式代入（2）式，并从中解出）式，并从中解出dxdy即得所欲证之等式。即得所欲证之等式。 )2( dxdyytxttfxfdxdy24证法二：证法二： 将所给两方

14、程联立：将所给两方程联立： , 0),(, 0),(tyxftxfy方程组中含两个方程、三个变量，可确定两个一元方程组中含两个方程、三个变量，可确定两个一元函数函数y=y(x)，t=t(x)。方程组中的两个方程两端分别对。方程组中的两个方程两端分别对自变量自变量x求导，有求导，有 . 0, 0dxdttfdxdyyfxfdxdttfxfdxdy解上面的方程组解上面的方程组tfyftfxftftfxfdxdy 25证法三证法三：利用全微分形式不变性：利用全微分形式不变性 0dtfdyfdxfdtfdxfdytyxtx dy解出解出dxtfyftfxftftfxf tfyftfxftftfxfdxdy 26).1(),1(),(,(),)1 , 1(,)1 , 1(, 1)1 , 1(),( 求求（又记又记可微，可微，设函