第五节极限存在的准则和两个重要极限

1、1第五节第五节 极限存在的准则和两个重要极限极限存在的准则和两个重要极限准准则则 如如果果数数列列nnyx ,及及 nz满满足足下下列列条条件件: : 那末数列那末数列nx的极限存在的极限存在, , 且且axnn lim. . )3 , 2 , 1()1( nzxynnn,lim,lim)2(azaynnnn 证略。证略。1. 1. 夹逼准则和夹逼准则和xxxsinlim02例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)121

2、11(lim222 nnnnn3准则准则 如果当如果当)(00 xux ( (或或mx ) )时时, ,有有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00axhaxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于 a. . 准则准则 i和准则和准则 i称为称为夹逼准则夹逼准则.上述数列极限存在的准则可以推广到上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限函数的极限.4ac)20(, xxaobo 圆心角圆心角设单位圆设单位圆,tan,sinacxabxbdx 弧弧于于是是有有xobd.aco ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xo

3、ab的圆心角为的圆心角为扇形扇形,bdoab的高为的高为 下面利用夹逼准则证明一个重要的极限下面利用夹逼准则证明一个重要的极限: : 1sinlim0 xxx显显然然 aocaobaobsss 扇扇, 即即 xxxtan2121sin210 , ,tansinxxx 5,tansinxxx , 1sincos xxx,20时时当当 xxcos10 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx上上式式三三者者均均为为偶偶函函数数, ,故故当当02 x 时时, ,上上式式也也成成立立. . 先先证证 1coslim0 xx. . 由由夹夹逼逼定定理理, ,得得 0)cos1 (

4、lim0 xx, , 再再对对 1sincos xxx 利利用用夹夹逼逼定定理理, , 即即得得 1sinlim0 xxx. . 即即,1coslim0 xx所以所以)0( sin xxx即即6令令xtarcsin , 则则txsin , 当当0 x时时, ,0t, , 解解xxxxcos1sinlim0 所以所以tttsinlim0 原原式式.1sin1lim0 ttt例例2 2xxxtanlim0 xxxxxcos1limsinlim00 .1 )0( tanxxx例例3 3xxxarcsinlim0)0( arcsinxxx7例例4 4.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin

5、2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 思考：思考：?sinlim xxx1sinlim 某过程某过程就就有有为为某某过过程程中中的的无无穷穷小小只只要要实实际际上上, )0( 21cos12 xxx82.2.单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx称单调增加称单调增加,121 nnxxxx称单调减少称单调减少单调数列单调数列准则准则 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. 具体：单调增加有上界，或单调减少有下界。具体：单调增加有上界，或单调减少有下界。9e)11(lim

6、nnn下面利用准则下面利用准则证明另一个重要的极限证明另一个重要的极限: : 先先证证明明nx单单调调增增加加: : ,21 x,249)23(122xx ,2 时时当当 nnnnnnnnnncncncncnx111111133221 nnnnnnnnnnnn1)1(!1)2)(1(! 31)1(! 21232 10当当n改改为为n+ +1 1 时时, ,上上式式通通项项 nknnk112111!1增增大大, , nnnnnnnnnnnn1)1(!1)2)(1(! 31)1(! 21232 nnn2111! 3111! 212 nnnnn112111!1.1nnxx 且项数增加且项数增加( (

7、每一项均为正每一项均为正),), 11其其次次, ,证证明明nx有有上上界界： nn11131212112 n13 .3 nnnxn2111! 3111! 212 nnnnn112111!1)1(13212112 nn!1! 31! 212n 12综综上上所所述述，nx单单调调增增加加且且有有上上界界, , 因因此此 nnn 11lim存存在在, ,记记为为e. . 无无理理数数597182818284. 2e 以以e为底的对数称为为底的对数称为自然对数自然对数， .ln logexx记记作作e)1(lim10 xxx可以证明，相应的函数极限有可以证明，相应的函数极限有 e)11(lim xx

8、x或或1 13就就有有为为某某过过程程中中的的无无穷穷小小只只要要实实际际上上, .e1 lim1 某过程某过程例例5 5.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.e1 14例例7 7.)23(lim2xxxx 求求解解 )211(lim xx原原式式2 x求求 xxxsec42cos1lim . . 原原式式 xxxcos42/cos1lim 例例8 8解解1 .e2 22 xx例例6 6.)21(limxxx 求求解解)21(limxx 原式原式2x222)21(limxxx .e2 .e4 15将本金将本金0a存入银行存入银行, 年利率为年

9、利率为 r, 则一年后本息则一年后本息之和为之和为)1(0ra . 如果年利率仍为如果年利率仍为 r， 但半年计一次， 但半年计一次利息利息,且利息不取，前期的本息之和作为下期的本金且利息不取，前期的本息之和作为下期的本金再计算以后的利息，这样利息又生利息，由于半年再计算以后的利息，这样利息又生利息，由于半年的利率为的利率为2r，故一年后的本息之和为，故一年后的本息之和为20)21(ra , 这种计算利息的方法称为这种计算利息的方法称为复式计息法复式计息法. 例例9 9 连续复利问题连续复利问题 如一年计息如一年计息n次，利息按复式计算，则一年后本次，利息按复式计算，则一年后本息之和为息之和为 nnra)1(0 16nnra)1(0 随着随着n无限增大，一年后本息之和会不断增大，但不无限增大，一年后本息之和会不断增大，但不会无限增大，其极限值为会无限增大，其极限值为 nnnra)1(lim0 rrnnnra )1(lim0.e0ra 称之为称之为连续复利连续复利。例如，年利率为例如，年利率为3%，则连续复利为，则连续复利为.03045. 1e003. 00aa 由于由于e在银行业务中的重要性，故有在银行业务中的