高一数学一元二次不等式解法练习题及答案

1、优秀学习资料欢迎下载高一数学一元二次不等式解法练习题及答案例1 若 0 a 1，则不等式 (x a)(x 1) 0的解是 aA a x1a1B x aC x 1 或 x aaD x 1 或 x aa1分析比较 a与的大小后写出答案解 0 a 1， a 1 ，解应当在“两根之间”，得a x 1 aa选 A例 2x 2x6有意义，则 x的取值范围是分析求算术根，被开方数必须是非负数解据题意有， x2 x 60，即 (x 3)(x 2) 0，解在“两根之外”，所以x3 或 x2例 3 若 ax2 bx1 0 的解集为 x| 1x 2 ，则 a _ ， b_ 分析根据一元二次不等式的解公式可知，1 和

2、 2 是方程 ax2 bx 10 的两个根，考虑韦达定理解根据题意， 1，2 应为方程 ax 2 bx 1 0 的两根，则由韦达定理知优秀学习资料欢迎下载b1)21(a得11)× 22(aa1 ， b1 22例 4解下列不等式(1)(x 1)(3 x) 5 2x(2)x(x 11) 3(x 1) 2(3)(2x 1)(x 3) 3(x 2 2)(4)3x23x 13x22( ) 21(x)5 xx 13 x1分析 将不等式适当化简变为 ax2 bx c0( 0) 形式，然后根据“解公式”给出答案 ( 过程请同学们自己完成 )答 (1)x|x 2 或 x43(2)x|1 x2(3)(4

3、)R(5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式例 5 不等式 1 x1的解集为1xA x|x 0B x|x 1优秀学习资料欢迎下载C x|x 1D x|x 1 或 x 0分析直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分解 不等式化为 1 x1， 01xx 2x2通分得 0，即 0，1 xx1x2 0，x 1 0，即 x 1选 C说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解例 6 与不等式 x 3 0同解的不等式是2 xA (x 3)(2 x) 0B 0x 212xC0x3D (x 3)(2 x) 0(x3)(2x) 0，解法一原不等式的同解不等式组为x2 0故排除 A、C、

4、D，选 B解法二x3 0化为 x 3或 (x 3)(2 x) 0即 2 x 32x两边同减去2 得 0x 21选 B说明：注意“零”例 7 不等式ax 1的解为 x|x 1或 x 2 ，则 a的值为x1优秀学习资料欢迎下载A a 1B a 122C a 1D a 122分析 可以先将不等式整理为(a 1) x1 0，转化为x 1(a 1)x 1(x 1) 0，根据其解集为 x|x 1 或 x2可知 a 1 0，即 a 1，且1 2， a 1a12答选C说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧例 8 解不等式3x72 2x2x 3解先将原不等式转化为3x72 0x 22x32x 2x12x 2x1

5、 0即x22x 0，所以x22x33由于 2x 2 x 1 2(x 1) 2 7 0，48不等式进一步转化为同解不等式x2 2x3 0，即 (x 3)(x 1) 0，解之得 3x 1解集为 x | 3 x1说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题例 9已知集合 Ax|x 2 5x 40 与 B x|x 2 2ax a 2 0 ，若 BA，求 a的范围优秀学习资料欢迎下载分析先确定 A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关系，结合 BA，利用数形结合，建立关于a的不等式解易得 A x|1 x4设 y x2 2ax a 2(*)(1) 若B ，则显然 B A，由 0得4a 24

6、(a 2) 0，解得 1a 2(2) 若 B ，则抛物线 (*) 的图像必须具有图 1 16特征：应有 x|x 1 x x 2x|1 x 4 从而12 2a· 1 a 2 0 a 1842 2a· 4 a 2 0解得 122a 471218综上所述得 a的范围为 1 a说明：二次函数问题可以借助它的图像求解例 10解关于 x 的不等式(x 2)(ax 2) 0分析不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论优秀学习资料欢迎下载解 1 °当 a0 时，原不等式化为x 2 0 其解集为 x|x 2 ；2，原不等式化为 (x 2)(x 22° 当 a 0时，

7、由于 2) 0，其解aa集为2x| x 2 ；a3° 当 0a 1时，因 222，原不等式化为(x 2)(x ) 0，其解aa集为x|x 2或 x2 ；a4°当 a1 时，原不等式化为 (x 2) 2 0，其解集是 x|x2 ；5° 当 a 1时，由于 222，原不等式化为 (x 2)(x ) 0，其解aa集是2x|x 或 x 2 a从而可以写出不等式的解集为：a 0 时， x|x 2；2a 0时， x| x 2；a20 a 1时， x|x 2或 x ；aa 1 时， x|x 2 ；2a 1时， x|x 或 x 2 a说明：讨论时分类要合理，不添不漏优秀学习资料欢

8、迎下载例 11 若不等式 ax2 bx c0 的解集为 x| x (0 )，求 cx2 bx a0 的解集分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系考虑使用韦达定理：解法一由解集的特点可知a 0，根据韦达定理知： b ， ac · ab ( ) 0，即 ac · 0 aa0，b 0， c 0又 b× ab ，acc b (1 1)c由 c · ， a 1 · 1ac 对 cx 2 bx a 0化为 x2 b x a 0，cc由得1 ，1是 x 2 bc

9、xa 0两个根且 c1 1 0， x 2 b xa 0即 cx 2 bx a 0的解集为x|x 1或 x1 cc解法二cx 2 bx a 0 是 ax2 bx a0 的倒数方程且 ax2 bx c0 解为 x ，优秀学习资料欢迎下载 cx 2 bx a 0的解集为 x|x 1 或 x 1 说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维例12 解关于 x的不等式：x1 a(a R) x1分析将一边化为零后，对参数进行讨论解 原不等式变为x (1 a) 0，即 ax1 a 0，x1x 1进一步化为 (ax 1a)(x 1) 0(1) 当 a 0 时，不等式化为(x a 1)(x 1) 0，易见 a1 1，

10、所以不等式解集为x| a1 xaaa1 ；(2)a 0 时，不等式化为x1 0，即 x 1，所以不等式解集为 x|x1；(3)a 0时，不等式化为 (x a1)· (x1) 0，易见 a1 1，所以aa不等式解集为 x|x 1或xa 1 a综上所述，原不等式解集为：当 a 0时， x| a1 x1 ；当 a 0时， x|x 1 ；当 a 0时， x|x aa 1 或 x 1 a例 13 (20XX 年全国高考题 )不等式 |x 23x| 4 的解集是 _ 分析可转化为 (1)x 2 3x 4 或 (2)x 23x 4 两个一元二次不等式由 (1) 可解得 x 1或 x 4， (2)答

11、填 x|x 1 或 x 4 优秀学习资料欢迎下载例 14 (1998 年上海高考题 ) 设全集 U R，A x|x 2 5x 6 0 ，Bx|x 5| a(a 是常数 ) ，且 11 B，则A (UA)BRB A(UB)RC (UA)(UB)RDA BR分析由 x2 5x 6 0 得 x 1 或 x6，即A x|x 1 或 x 6 由|x 5| a 得 5 a x5 a，即B x|5 a x 5a11 B，|11 5| a 得 a65 a 1， 5a 11 A BR答选D说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查不等式中恒成立问题的解法研究在不

12、等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。优秀学习资料欢迎下载恒成立问题的基本类型：类型1：设 f (x)ax 2bxc(a0) ，（ 1） f( x) 0在 xR 上恒成立a 0且0 ；（ 2） f (x)0在xR 上恒成立a0且0。类型 2：设 f ( x)ax 2bxc( a0)（ 1）当 a0 时， f ( x)0在x, 上恒成立bbb2a或2a或2a，f ( )00f ()0f ( x)0在x , 上恒成立f ()0f ()0（ 2）当 a 0 时， f ( x)0在x, 上恒成立f ()0f ()0bbbf ( x)0在x , 上

13、恒成立2a或2a或 2af ()00f ( )0类型 3：f ( x)对一切 xI恒成立f ( x) minf ( x)对一切 xI恒成立f ( x)max。类型 4：f ( x)g( x)对一切 xI恒成立f ( x)的图象在 g( x)的图象的上方或 f (x) ming( x) max(xI )恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。一、用一次函数的性质对于一次函数 f ( x) kxb, x m,n 有：f (m)0f ( m)0f ( x) 0恒成立, f (x) 0恒成立0f (n)0f ( n)优秀学

14、习资料欢迎下载例 1：若不等式 2x1 m( x21) 对满足2m2 的所有 m 都成立，求 x 的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：m(x 21)(2x 1)0 ，；令 f (m)m(x 21)(2x1) ，则 2 m2 时， f (m) 0恒成立，所以只需f ( 2)02(x 21)(2x1)0f (2)0即1)( 2x1)，所以 x 的范围是2( x20x (17 ,13 ) 。22二、利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数f()ax2bxc0(a0,x) 有：xR（ 1） f (x)0在xR上恒成立a0且0；（ 2） f (x)0在xR 上恒成

15、立a0且0例 2：若不等式 (m1) x2(m1) x20 的解集是 R，求 m 的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论 m-1是否是 0。（ 1）当 m-1=0时，元不等式化为2>0 恒成立，满足题意；（ 2） m 10时，只需m 10，所以， m 1,9)。( m1) 28( m1)0三、利用函数的最值（或值域）（ 1） f (x)m 对任意 x 都成立f (x) minm ；（ 2） f (x)m 对任意 x 都成立mf ( x) max 。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函

16、数的最值问题。例 3：在 ABC 中，已知 f ( B)4sin B sin 2 (B )cos 2B,且 | f (B)m | 2恒成立，42求实数 m 的范围。解析：由优秀学习资料欢迎下载f ( B)4sin B sin 2 (B ) cos2B 2sin B 1, 0 B,sin B( 0,1 ，42f ( B)(1,3 ， | f (B)m | 2 恒成立，2f ( B) mmf ( B)22 ，即f ( B)恒成立，m2m(1,3例 4：（ 1）求使不等式 asin xcos x, x0, 恒成立的实数 a 的范围。解析：由于函 a sin x cos x2 sin( x), x,3

17、4 ，显然函数有最大值4442 ，a2 。如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（ 2）求使不等式asin xcos x, x(0,) 恒成立的实数a 的范围。42解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得 y sin x cos x 的最大值取不到2 ，即 a 取 2 也满足条件，所以 a2 。所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例 5：已知 a0,a1, f

18、 ( x)x 2a x ,当 x( 1,1)时, 有 f ( x)1恒成立 ，求实数 a 的取2值范围。解析：由 f ( x)x 2a x1，得 x 21a x ，在同一直角坐标系中做出两个函数的图22象，如果两个函数分别在x=-1和 x=1处相交，则由 12 1a及 ( 1) 21a 1 得到 a 分22别等于 2和 0.5 ，并作出函数 y2x 及 y ( 1 ) x 的图象，所以，要想使函数x21ax 在22区间 x( 1,1)中恒成立，只须y2 x 在区间 x ( 1,1) 对应的图象在 yx21 在区间2优秀学习资料欢迎下载x(1,1) 对应图象的上面即可。当a 1时 ,只有 a2

19、才能保证，而0a1时，只有 a1 才可以，所以 a 1,1)(1,2 。22由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。例 6：若当 P(m,n) 为圆 x2( y1) 21上任意一点时，不等式mn c 0 恒成立，则 c的取值范围是（）A、 12 c2 1 B 、 2 1 c2 1C、 c21D、 c21解析：由 mnc0 ，可以看作是点P(m,n) 在直线 x y c0的右侧，而点 P(m,n) 在圆 x 2( y1) 21上，实质相当于是x 2( y1)21 在直线的右侧并与它相离或相切。01c0| 01c |

20、c2 1，故选 D。12121其实在习题中，我们也给出了一种解恒成立问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理。以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。其实，对于恒成立问题，有时关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题。下面，给出一些练习题，供同学们练习。练习题： 1、对任意实数 x，不等式 a sin x b cos x c0(a,b, c R) 恒成立的充要条件是_ 。 ca2b2 2 x3x9 x a,1 上有意义，求实数a 的取值范围 . 5, ) 。2、设 y lg lg7在(9优秀学习资料欢迎下载3、当x1时，恒成立，则实数a 的范围是 _ 。1 3, )(,3) | Log a x |

21、 1(0,334、已知不等式：11.11Log a (a 1)2对一切大于1 的自然数n 1n 2n n123n 恒成立，求实数a 的范围。 a(1, 15 )2优秀学习资料欢迎下载含参不等式恒成立问题的求解策略“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、判别式法若所求问题可转

22、化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数f ( x)ax 2bxc(a0, xR) , 有1） f (x)0对 xR 恒成立a0;02） f (x)0对 xR 恒成立a0.0例 1 已知函数 ylg x 2(a 1)x a2 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式x2( a1)x a 20 对 x R 恒成立，即有(a 1) 24a 20 解得 a1或 a1 。3所以实数 a 的取值范围为 (, 1)( 1 ,) 。3若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。优秀学习资料 欢迎下载例2 设 f ( x)x 22mx2 ，

23、当 x 1,) 时， f (x)m 恒成立，求实数m 的取值范围。解：设 F ( x)x22mx2m ，则当x 1,) 时， F ( x) 0 恒成立当4(m 1)(m2) 0即2 m 1时， F ( x)0 显然成立；y当0 时，如图， F ( x)0 恒成立的充要条件为：x0F ( 1) 0 解得 3 m 2-Ox。2m112综上可得实数 m 的取值范围为 3,1) 。二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1） f ( x)a 恒成立af (x)min2） f ( x)a 恒成立af (x)max例 3 已知 f ( x)7 x 228 xa, g

24、(x)2x34x240x ，当 x 3,3 时， f (x)g( x) 恒成立，求实数 a 的取值范围。解：设 F ( x)f ( x)g( x)2x 33x 212x c ，则由题可知 F ( x)0 对任意x 3,3恒成立令 F ' ( x)6 x26x 120 ，得 x1或x 2而F( 1)7a, F (2)20a, F (3)45a, F (3)9 a,F ( x) max45a0即实数 a 的取值范围为 45,)。a 45优秀学习资料欢迎下载x 22xa1,) ，若对任意 x 1,) ， f ( x) 0 恒成立，求实数例 4 函数 f ( x)x, xa 的取值范围。解：若

25、对任意 x1,) ， f ( x)0恒成立，即对 x1,x22xa) ， f ( x)x0 恒成立，考虑到不等式的分母x1,) ，只需 x22 x a 0 在 x1,) 时恒成立而得而抛物线 g ( x)x 22x a 在 x1,) 的最小值 gmin ( x)g (1)3a 0 得 a3注：本题还可将f ( x) 变形为 f ( x)xaf (x) 最小值。2，讨论其单调性从而求出x三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1） f ( x)g( a

26、)( a为参数）恒成立g(a)f (x) max2）f ( x)g (a)(a为参数）g(a)f (x) max恒成立实际上，上题就可利用此法解决。略解： x 22xa0在 x1,) 时恒成立，只要 ax22x 在 x1,) 时恒成立。而易求得二次函数h( x)x 22x 在 1,) 上的最大值为3 ，所以 a3 。例 5 已知函数 f (x)ax4xx2 , x(0,4时 f (x) 0 恒成立，求实数 a 的取值范围。解： 将问题转化为 a4xx2对 x(0,4 恒成立。x令 g( x)4xx2，则 ag (x) minx由 g(x)4xx24 1可知 g(x) 在 (0,4 上为减函数，

27、故 g ( x) ming(4)0xx优秀学习资料欢迎下载0即 a 的取值范围为( ,0)。a注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例 6 对任意 a 1,1 ，不等式x2(a 4) x4 2a0 恒成立，求 x 的取值范围。分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式 (x2)ax 24x40 在 a 1,1 上恒成立的问题。解：令 f ( a)( x2)ax24x4 ，则原问题转化为f (a) 0 恒成立（

28、a 1,1 ）。当 x2 时，可得 f (a)0 ，不合题意。当 x2 时，应有f (1)0解之得 x1或 x3。f ( 1)0故 x 的取值范围为 (,1)(3,) 。注：一般地，一次函数f (x)kx b(k0)在, 上恒有 f (x) 0 的充要条件为f ()0f ()。0四、数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1） f (x)g( x)函数 f (x) 图象恒在函数g(x) 图象上方；2） f (x)g( x)函数 f ( x) 图象恒在函数g

29、 (x) 图象下上方。优秀学习资料欢迎下载例 7设 f ( x)x 24x,g( x)4 x 1a , 若恒有 f ( x)g (x) 成立 , 求实数 a 的3取值范围 .y分析：在同一直角坐标系中作出f ( x) 及 g( x)的图象如图所示， f (x) 的图象是半圆 ( x2) 2y24( y 0)-2-4xg (x) 的图象是平行的直线系4x3y 33a-4O0 。要使 f ( x)g ( x) 恒成立，则圆心 ( 2,0) 到直线 4x3y33a0的距离满足 d833a25解得 a5或 a5（舍去)3由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等

30、价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。优秀学习资料欢迎下载一、分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若af x恒成立，只须求出 f xmax ，则 afx max ；若 af x恒成立，只须求出f xmin，则 af x min ，转化为函数求最值。例 1、已知函数fxlg xa，若对任意 x 2,恒有 fx0 ，试确定 a 的取

31、值2x范围。解：根据题意得：xa1在 x2,上恒成立，2x即： ax23x 在 x2,上恒成立，2设 f xx23x ，则 f xx3924当 x 2 时， fx max2 所以 a 2在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若fagx恒成立，只须求出g x max ，则 fagx max ，然后解不等式求出参数 a 的取值范围；若fagx 恒成立，只须求出gx min，则 f ag x min ，然后解不等式求出参数a 的取值范围，问题还是转化为函数求最值。例 2、已知 x,1时，不等式 12xaa24x0 恒成立，求 a 的取值范围。解：令 2xt ，x,1t0,2所以原不等式可化为：a2at 1 ，t 2要使上式在 t0,2上恒成立，只须求出ftt 1在 t0,2上的最小值即可。t 2221 ,f tt 1111111t2ttt24t2f t minf23a2a31a34422优秀学习资料欢迎下载二、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。例 3、若 x2,2时，不等式 x2ax 3a 恒成立，求a 的取值范围。解：设 fxx2ax 3 a ，则问题转化为当 x2,2时， fx