第四章4142复数项级数与复变函数项级数

1、1第四章第四章 解析函数的级数表示解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数复变函数项级数4.1 复数项级数复数项级数4.3 泰勒泰勒级数级数4.4 洛朗洛朗级数级数24.1 复数项级数复数项级数一、复数序列一、复数序列二、复数项级数二、复数项级数3一、复数序列一、复数序列1. 基本概念基本概念定义定义 设设 为复数，称为复数，称 为为复数序列复数序列。nz,2,1 nnz极限极限如果对任意给定的如果对任意给定的 e e 0，相应地存在自然数，相应地存在自然数 n，设设 为一复数序列，为一复数序列，又设又设 为一确定的复数，为一确定的复数，a,2,1 nnz当当 n n 时，总有时，总有 |

2、zn - - a | e e 成立，成立，,limaznn . )(,nazn或或或称或称 a 为复数序列为复数序列 的的极限极限，收敛收敛于复数于复数 a，nznz则称复数序列则称复数序列记作记作使得使得如果复数序列如果复数序列则称则称nz不收敛，不收敛，nz发散发散。4一、复数序列一、复数序列2. 复数序列极限存在的充要条件复数序列极限存在的充要条件则则 的充要条件是的充要条件是定理定理 设设, iayixznnn aznn lim证明证明 必要性必要性 “ ”若若,limaznn 则则,0n e e当当 时，时，nn ,|e e - -azn,|e e - - - -azxnn,|e e

3、 - - - -azynn.lim,lim nnnnyx.lim,lim nnnnyxanz|azn- -| - -nx| - -ny p78定理定理 4.1 (略略)充分性充分性 “ ”5解解niiznn nini 2e.12sin2cos)(nnin 由由 或或 发散，发散，12sinnn 2cosn即得即得 也发散。也发散。nz已知已知,|niiznn ,11|11nznn - -,1|lim nnz故序列故序列 收敛。收敛。 | nz附附 考察考察实实序列序列 的收敛性的收敛性。 | nz根据根据复数模的三角不等式复数模的三角不等式有有设设,niiznn 讨论序列讨论序列例例的收敛性。

4、的收敛性。nz6注注 (1) 序列序列 收敛收敛 | nz序列序列 收敛；收敛；nz(2)0|lim nnz.0lim nnz例例 设设讨论序列讨论序列 的收敛性。的收敛性。,!10000nnninz nz解解,0!10000lim|lim nznnnn,0lim nnz即序列即序列 收敛。收敛。nz7二、复数项级数二、复数项级数1. 基本概念基本概念定义定义 设设 为一为一复数序列复数序列，,2,1 nnz(1) 称称 为为复数项级数复数项级数， 211zzznn(2) 称称 为级数的为级数的部分和部分和；nnkknzzzzs 211并且极限值并且极限值 s 称为级数的称为级数的和和；(3)

5、 如果序列如果序列 收敛，即收敛，即ns,limssnn 则称级数则称级数收敛收敛，(4) 如果序列如果序列 不收敛，不收敛，则称级数则称级数发散发散。ns简记为简记为. nz8二、复数项级数二、复数项级数2. 复数项级数收敛的充要条件复数项级数收敛的充要条件级数级数 和和 都收敛。都收敛。 nx ny则级数则级数 收敛的充分必要条件是收敛的充分必要条件是 nz定理定理 设设,nnnyixz p80定理定理 4.1 3. 复数项级数收敛的必要条件复数项级数收敛的必要条件则则 收敛的必要条件是收敛的必要条件是 nz定理定理 设设,nnnyixz .0lim nnzp80 定理定理4.3 9级数级

6、数 收敛，收敛，解解 121nn但级数但级数 发散，发散， 11nn因此级数因此级数 发散。发散。 nzp81 例例4.2 部分部分 设设,21nninz 讨论级数讨论级数例例的收敛性。的收敛性。 nz几何级数几何级数时收敛时收敛,1 nna1| a级数级数时发散时发散,11 npnp1 p10解解ninnninz222e11 2sin12cos122nninn 由于级数由于级数 和和 均为收敛，均为收敛， |nx |ny( (绝对收敛绝对收敛) )故有级数故有级数 和和 均收敛，均收敛， nx ny即得级数即得级数 收敛。收敛。 nz,nnyix 记为记为 在复数项级数中是否也能引入绝对收敛

7、的概念呢？在复数项级数中是否也能引入绝对收敛的概念呢？p81 例例4.2 部分部分 设设,12nninz 讨论级数讨论级数例例的收敛性。的收敛性。 nz114. 复数项级数的绝对收敛与条件收敛复数项级数的绝对收敛与条件收敛二、复数项级数二、复数项级数定义定义 (1) 若若 收敛，则称收敛，则称 绝对收敛绝对收敛。 |nz nz(2) 若若 发散，发散， 收敛，则称收敛，则称 条件收敛条件收敛。 |nz nz nz定理定理 若若 收敛，则收敛，则 必收敛必收敛。 |nz nzp81 p80 定理定理4.4 解解 由于由于 00!1|nnnnz即即 绝对收敛，绝对收敛， 0nnz故故 收敛。收敛。

8、 0nnz设设,!niznn 讨论级数讨论级数例例的收敛性。的收敛性。 0nnz12分析分析 由于由于 发散，发散， 001|nnnnz( ( p 级数级数，比阶法比阶法) )因此不能马上判断因此不能马上判断 是否收敛。是否收敛。 nz解解niznn 2sin12cos1nninn 故级数故级数 收敛。收敛。 nz,nnyix 记为记为 - - - - 6141211nnx( (莱布尼兹型的交错级数莱布尼兹型的交错级数) )收敛，收敛， - - - - 71513111nny收敛，收敛，设设,niznn 讨论级数讨论级数例例的收敛性。的收敛性。 1nnz13敛散性的常用方法敛散性的常用方法:讨

9、论讨论小结小结0lim nnz利用定义，讨论级数部分和极限利用定义，讨论级数部分和极限 1nnz是否成立。是否成立。nnniyxz 判别判别和和(1)(2)nns lim是否存在。是否存在。讨论讨论| nz的敛散性。的敛散性。(3) 讨论讨论 nx的敛散性。的敛散性。(4) ny144.2 复变函数项级数复变函数项级数一、基本概念一、基本概念二、二、幂级数幂级数三、三、幂级数的性质幂级数的性质15一、基本概念一、基本概念1. 复变函数项级数复变函数项级数(2) 称称 为区域为区域 g 内内 )()()()(211zfzfzfzfnnn(1) 称称 为区域为区域 g 内的内的复变函数序列复变函数

10、序列。,2,1)( nnzf定义定义 设复变函数设复变函数 在区域在区域 g 内有定义，内有定义，)(zfn的的复变函数项级数复变函数项级数，简记为简记为. )( zfn16一、基本概念一、基本概念2. 复变函数项级数收敛的定义复变函数项级数收敛的定义(1) 称称 为级数为级数 的的部分和部分和。 nkknzfzs1)()( )(zfn定义定义 设设 为区域为区域 g 内的内的复变函数项级数复变函数项级数， )(zfn称级数称级数 在在 点收敛点收敛。 )(zfnz0则称级数则称级数 在区域在区域 d 内收敛内收敛。 )(zfn, )()(limzszsnn (3) 如果存在区域如果存在区域

11、d g ， 有有 ,dz 此时，称此时，称)(zs, )()(lim00zszsnn (2) 如果对如果对 g 内的某一点内的某一点 ，有，有z0则则为为和函数和函数，d 为为收敛域收敛域。17二、二、幂级数幂级数1. 幂级数的概念幂级数的概念其中，其中， 为复常数。为复常数。aan,定义定义 称由下式给出的复变函数项级数为称由下式给出的复变函数项级数为幂级数幂级数：,)()()(22100 - - - - - - azaazaaazannn( ( i i ) )特别地，当特别地，当 时有时有0 a注注 (1) 下面主要是对下面主要是对(ii)型幂级数进行讨论，所得到的结论型幂级数进行讨论，所

12、得到的结论.22100 zazaazannn( () )只需将只需将 换成换成 即可应用到即可应用到 型幂级数。型幂级数。( ( i i ) )(az - -z(2) 对于对于 型幂级数，在型幂级数，在 点肯定收敛。点肯定收敛。0 z( () )18二、二、幂级数幂级数2. 阿贝尔阿贝尔 ( abel ) 定理定理(1) 如果级数在如果级数在 点收敛，则它在点收敛，则它在 上上绝对收敛绝对收敛；0z|0zz 对于幂级数对于幂级数 ，有，有定理定理 nnza(2) 如果级数在如果级数在 点发散，则它在点发散，则它在 上上发散。发散。1z|1zz 则存在则存在 m，使对所有的，使对所有的 n 有有

13、,|0mzann 即得即得 收敛。收敛。 0nnmq 0|nnnza证明证明 (1) 由由 收敛，有收敛，有,0lim0 nnnza nnza0 |0nnnnzazaz0zn qz0z,nmq 其中其中 ，当当 时，时，|0zz ,1 q p83定理定理 4.5 推论推论19对于幂级数对于幂级数 ，有，有二、二、幂级数幂级数2. 阿贝尔阿贝尔 ( abel ) 定理定理(1) 如果级数在如果级数在 点收敛，则它在点收敛，则它在 上上绝对收敛；绝对收敛；0z|0zz 定理定理 nnza(2) 如果级数在如果级数在 点发散，则它在点发散，则它在 上上发散。发散。1z|1zz 证明证明 (2) 反证

14、法反证法：与已知条件矛盾。与已知条件矛盾。, |:122zzz 假设假设存在存在使得级数在使得级数在 点收敛，点收敛，2z由定理的第由定理的第 (1) 条有，条有，级数在级数在 上上绝对收敛；绝对收敛；|2zz 级数在级数在 点收敛，点收敛，1z20二、二、幂级数幂级数3. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径定义定义 如果存在一个有限正数如果存在一个有限正数r，(1) 称圆域称圆域rz |为为收敛圆收敛圆。(2) 称称 r 为为收敛半径收敛半径。注意注意 级数在收敛圆的边界上级数在收敛圆的边界上各点的收敛情况是不一定的。各点的收敛情况是不一定的。约定约定表示级数仅在表示级数仅在 z = 0 点收

15、敛；点收敛；0 r表示级数在整个复平面上收敛。表示级数在整个复平面上收敛。 r使得幂级数使得幂级数 nnza在在rz |内绝对收敛；内绝对收敛； 在在rz |的外部发散；的外部发散；p85 21例例 考察级数考察级数 的收敛性。的收敛性。 320)3()2(1)(zzznznn对任意的对任意的解解,0 z都有都有,0)(lim nnnz.0 r收敛半径为收敛半径为例例 考察级数考察级数 的收敛性。的收敛性。 320)()()(321zzznznn由由 收敛，收敛， 0)(21nn因此级数因此级数 在全平面上收敛，在全平面上收敛， 0)(nnnz 0)(|nnnz收敛，收敛，故级数故级数 仅在仅

16、在 点收敛，点收敛，0 z nnz)(. r收敛半径为收敛半径为对对任意固定任意固定的的解解,z当当 时，有时，有,21| nznn ,n 22, )1(,111 - - - zzznnnzzzs 21级数的部分和为级数的部分和为解解,0lim1 nnz级数发散。级数发散。级数收敛；级数收敛；. )1| (,1112 - -zzzz,11limzsnn- - (2) 当当 时，时，1| z,0|lim1 nnz和函数为和函数为.11)(zzs- - (1) 当当 时，时，1| z,0lim1 nnz故级数收敛半径为故级数收敛半径为,1 r求幂级数求幂级数例例的收敛半径与和函数。的收敛半径与和函

17、数。 201zzznn23二、二、幂级数幂级数4. 求收敛半径的方法求收敛半径的方法(1) 比值法比值法,|lim1 nnnaa.1 r如果如果则收敛半径为则收敛半径为对于幂级数对于幂级数 ，有，有 nnza（利用正项级数的（利用正项级数的达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法推得）推得）p85 (2) 根值法根值法,|lim nnna.1 r如果如果则收敛半径为则收敛半径为( (利用正项级数的利用正项级数的柯西判别法柯西判别法即可得到即可得到) )24例例 求幂级数求幂级数的收敛半径与收敛圆。的收敛半径与收敛圆。 0!nnnz由由解解)!1(!lim|lim1 nnaannnn,011lim nn收敛

18、圆为收敛圆为.| z收敛半径为收敛半径为, r得得例例 求幂级数求幂级数的收敛半径与收敛圆。的收敛半径与收敛圆。 - - 0)1(112)(nnnzn收敛圆为收敛圆为.1| 1|e - -z故级数的收敛半径为故级数的收敛半径为,1e r由于由于解解nnna |limnnnn2)(11lim nnn)(11lim ,e 25 00)()(nnnnnnzbzazgzf;)(0 nnnnzba 00)()(nnnnnnzbzazgzf, ),min(21rrr 令令则在则在 内有内有rz | - - 00)(nnnkknkzba三、三、幂级数的性质幂级数的性质1. 幂级数的运算性质幂级数的运算性质p86 性质性质,| ,)(10rzzazfnnn ,| ,)(20rzzbzgnnn .)(00110 - - nnnnnzbababa设