第五章傅立叶变换

1、第五章第五章 傅里叶变换傅里叶变换利用三角级数的周期性来展开周期函数5.1 傅里叶级数 周期函数的傅里叶展开； 奇函数和偶函数的傅里叶展开； 有限区间中的函数的的傅里叶展开； 复数形式的的傅里叶展开；。复变项级数,)()()()(211zzzzkkk幂级数幂级数kkkkkzzazzazzaazza)()()()(0202010001( )ln(1)ln(2)ln()kf zzzzk21( )ln(1)ln(2)ln()kkf zzzzk的函数形式与周期是任意的，说道周期与形式是固定的。要通过三角函数表示 f(x)，则必须a. 改变三角函数的周期为 2l。b. 组合各种周期的三角函数来表现 f(

2、x)。这就是傅里叶级数。三角函数族：,sin,2sin,sin,cos,2cos,cos, 1lxklxlxlxklxlx1. 周期函数的傅里叶展开周期为 2l 的函数 f(x) 满足)()2(xflxflxkklxkllklxkllxkcos)2cos()2cos()2(cosa. 2l 周期性b. 按三角函数族展开.sincos)(10lxkblxkaaxfkkk不同的函数形式由不同的组的 和 表示。kakblxksin同样(5.1.3)此为傅里叶级数展开三角函数组具有正交性lllllllllldxlxnlxknkdxlxnlxknkdxlxnlxkdxlxkkdxlxk.0sincos)

3、,(0sinsin),(0coscos,0sin1),0(0cos1(5.1.4)因此.sin)(1,cos)(1dlkflbdlkflallkllkk(5.1.5) 0101121() co s1co ssin co s1co s1co sco s1sinco s111co s1co s22lklklkklkkllklklkklklkklkklkkkafdllkxkxkaabdllllkadllkxnadlllkxnbdlllkxkxadallll 111222lllkkklkkkdaladall此为傅里叶系数此外，三角函数族还有完备性，即这个函数族足够展开任何周期函数。函数和级数并不完全是

4、一个东西，例如幂级数就有收敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一致狄里希利定理 若函数 f(z) 满足条件 (1) 处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；(2) 在每个周期内只有有限个极值点，则三角级数 (5.1.3) 收敛，且其中)0(1)0(2kkk)().0()0(21)(),()3 . 1 . 5(xxfxfxxf在间断点在连续点例交流电压 经过半波整流后的傅立叶级数。tetesin)(0解 周期为2, 0sin0 ,0)(0tete-10-55100.20.40.60.81/00/00)1sin()1sin(2cossin1tdtktketdtkteak, 02cos

5、42sin2/00/001tetdtea.2)2(1 2120111) 1(111) 1(21)1cos(1)1cos(2)1sin()1sin(220110/00/00nknenkkkkkektkktketdtktkeakkk.sincos)(10tkbtkaatekkk,2sin2sin0210/000/000etdtetdtedta,201eb 和0kb.2cos)2(112sin2)(12000ntnneteete频谱各个频率分量的幅度频率02460e幅度320e3520e1520e20e通常，函数 f(t) 表示某系统的按时间变化的性质，叫在时域中的表示的性质。而频谱表示这种性质在频

6、域中的表示。因此，傅里叶级数也是一种从时域到频域的变换。-10-55100.20.40.60.81频率02460e幅度320e3520e1520e20e2.奇函数和偶函数的傅里叶展开lxksin是奇函数，lxkcos是偶函数。故 奇函数 f(z) 有,sin)(1lxkbxfkk其中.sin)(1dlkflbllk偶函数 f(z) 有,cos)(10kklxkaaxf其中.cos)(1dlkflallkk例)(xfx1102)2 ,) 12(1) 12( ,2(1)(mmmmxf周期2矩形波奇函数,sin)(1lxkbxfkk.124,20) 1(2cos2sin)(20nkknkkkkdlk

7、fbkllk.)12sin()12(4)(0 xnnxfn频域中的图示由你们给出3. 有限区间中的函数的的傅里叶展开f(x) 定义于 (0, l).可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半个周期中的部分。即令此周期函数为 g(x), 在半周期 (0, l) 中 g(x)=f(x). 这种做法叫延拓。例)(),(xgxfx)(),(xgxfx偶延拓)1 ,0(,)(xxf奇延拓4. 复数形式的的傅里叶, 1 ,lxkilxilxilxkieeeeieeeelxklxklxkilxkilxkilxki22sincos,)(klxkikecxf其中. )(21*deflclxkillk).12()

8、12(2)2(01) 1() 1(121)1(21)1(212121)(210000nkninkikeikeikdededefckkikxikxikxikxikxk,1212)()12(nxnienixf例 矩形波)2 ,) 12(1) 12( ,2(1)(mmmmxf,)(kikxkecxf5.2 傅里叶积分与傅里叶变换周期函数变为傅里叶级数，被看作周期函数从时域到频域的变换。不过，由于时域的函数具有周期性，频域的函数是离散的级数。如果时域的函数失去周期性，到频域的变换如何实现？频域的函数形式又是什么样的呢？有限区间的函数可以延拓为周期函数。因此，失去周期性的时域中的函数的定义域当为 。从方

9、便于研究而言，它又可以看作为周期趋于无穷大的函数。x设 g(x) 为周期函数，有如下傅里叶展开1. 傅里叶积分令：,1llkkkkk.sincos)(10kkkkkkxbxalaxg则.sin)(1,cos)(1dflbdflakllkkllkk.sincos)(10lxkblxkaaxgkkk(5.2.1)若 有限，则dflll)(lim. 0)(21limlim0dflallll.coscos)(1coscos)(1limcoscos)(1lim0101xddfxdfxdfllkkkkllkkkkllklk (5.2.1)中的余弦部分的极限为：同理，正弦部分的极限为：.sinsin)(1s

10、insin)(1lim01xddfxdfllkkkkllkl故,sin)(cos)()(00 xdbxdaxf其中.sin)(1)(,cos)(1)(dfbdfa(5.2.4)(5.2.5)(5.2.4) 是 f(x) 的傅里叶积分，(5.2.5) 为它的傅里叶变换。)(),()(baxf为某函数从时域到频域的变换。频域中的函数可能是连续的。傅里叶积分定理：若函数 f(x) 在区间 上满足条件(1) 在任意有限区间满足狄里希利条件；(2) 在区间 上绝对可积 （即 收敛）， 则f(x) 可表为傅里叶积分，且傅里叶积分值= 2/)0() 0()(xfxfxf),(dxxf)(2. 振幅谱和相位谱

11、又可写,)(cos)()(0dxcxf).(/)()(,)()()(122abtgbac)()(c为振幅谱为相位谱连续点间断点 3. 奇、偶函数.cos)(2)(,cos)()(00dfaxdaxf.sin)(2)(,sin)()(00dfbxdbxf偶函数奇函数例).21(, 0),21(, 1xxrectx定义矩形函数为012121)(xfx将矩形脉冲 展开作傅里叶积分。)2/()(ttrecthtf0htt)(tft偶函数0cos)()(xdaxf(1).sin2cos2cos)(2)(0tdhdfat246810-0.20.20.40.60.814. 复数形式的傅里叶积分.)()()(

12、21)()(21)()(21)()(212)(2)(sin)(cos)()(00000000defdeibadeibadeibadeibadieebdeeaxdbxdaxfxixixixixixixixixi)0().()(21)0(),()(21)(ibaibafdxexffxi*)(21)()(xf原函数像函数)(f表示为)()(xfff)()(1fxf ff原函数到像函数的正变换1f像函数到原函数的反变换例同前例.sin22)2/(21)(theihdtehdtettrecthxftttitttitif证明：).()()()()()(21)(21)( fidxexfidxexfdxexf

13、exfdxedxxdfxfxixixixixif0)(limxfx5. 傅里叶变换的基本性质(1) 导数定理导数定理)()( fixff#(2) 积分定理积分定理)(1)()(fidxxfxf)()()(xdxxfx记 )()( xfx )()( xixff)( 1)(xixff则由导数定理即#(3) 相似性定理相似性定理)(1)(afaaxff通常将变换 f(x) f(ax) 称为相似变换，它将测量的尺子的单位改变为原来单位的1/a，相应地，测量的长度值变为原值的 a 倍，而保持函数的形式不变。有时也叫尺度变换。 ).(1)(2111)(21)(21)(afadyeyfadyaeyfdxea

14、xfaxfayiayiaxyxif#证明(4) 延迟定理延迟定理)()(00fexxfxifx 看作时间，记时由 x 到 x-x0 表示提前了 x0。记作“延迟”是习惯说法。证明).()(21)(21)(21)(000000fedyeyfedyeyfdxexxfxxfxiyixixiyixxyxif)()(00fxfexif证明).()(21)(0)(00fdxexfxfexixif#(5) 位移定理位移定理频域的位移(6) 卷积定理卷积定理 原函数的卷积与像函数的乘积间的关系)()(11fxff)()(22fxff若和则)()(2)()(2121ffxfxff卷积：dxffxfxf)()()

15、()(2121证明).()(2)(21)(212)()(21)()(21)()(2121212121ffdyyfedefddyyfeefdxedxffxfxfyiiyiixyxif#一维变换到高维空间中的变换三维,),(),(321)(321321dkdkdkekkkfzyxfzkykxkizyx,相互独立321,kkk也相互独立6. 多重傅里叶积分.),()2(1),()(3321321dxdydzezyxfkkkfzkykxki矢量表示,)()(kdekfrfrk i.)()2(1)(3rderfkfrk i5.3 函数1. 作为广义函数的引入物理上，存在这样的物理量，在无限小的范围内具有

16、有限大小的量。这样的量的密度为无穷大，但是在整个空间，这个物理量的总量却为 有限。 函数作为密度被引入。例如，电子电量是有限的 。电子的半径的测量上限随测量精度提高，上限越来越小，趋于零。理论研究也得出电子半径为零的结果。于是，当空间存在一个电子时，这时空间中的电荷密度就由 函数来表示。ce19106 . 1m1610数学上可以将无限小的范围看作有限大小范围的极限一维考虑线质量密度 l0lm /2/l2/l)(xlx2/2/)(lllmdxlmdxx全空间总质量)()(lxrectlmxl0l的极限,)()(lim0mdxxdxxll全空间总质量不变)0(.)0(, 0)(lim)(lim)(

17、00 xxlxrectlmxxlll密度因此，作为广义函数引入 函数：)00(. 1)0, 0,(, 0)(bababadxxba或x)(0 xx0 x0则 )()(xmx)(;)(, 0)(000 xxxxxx)0(. 1),(, 0)(0000bxaxbaxbadxxxba或又，对00 x2. 一些性质(1) 偶函数).( )( ),()(xxxx从图形可以看出(2) 阶跃函数或亥维赛单位函数xxxdttxh)0(. 1)0(, 0)()(0 x1)(xh.)()(dxxdhx (3) 挑选性对连续函数)(f).()()(00tfdtf(4) 表示连续量持续于 0, 1 的力 f(t) 的

18、冲量为各无穷小时间段的冲量之和。各无穷小时段上的连续力的冲量可以看作瞬时力 的冲量dtftfdf)()(1)()(1010)()(tfdtf)()(01t)()(tf(5) 复合函数若 的实根 全部是单根，则0)(x), 3 , 2 , 1(kxkkkkxxxx)( )()(例;)()()( , 011axaxaxx.2)()()(22aaxaxaxaaxaxaxaxaxaxaxxx2)()(, 0)(21222221223. 其它表示);(1lim)(0lxrectlxl;sin1lim)(xkxxk.1lim)(220 xx4. 傅里叶变换,)()(decxxi.2121)(21)(0ixiedxexc,21)(dexxi例阶跃函数的傅里叶变换,)(0dxdxxh不满足傅立叶积分定理，不能直接给出其