人教版高中数学选修11：2.2 双 曲 线 课时提升作业十三 2.2.2.1 Word版含解析

1、高中数学选修精品教学资料课时提升作业(十三)双曲线的简单几何性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·安徽高考)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是()a.x2-y24=1b.x24-y2=1c.y24-x2=1d.y2-x24=1【解析】选c.由题意可知选项a,b所表示的双曲线焦点在x轴上,所以a,b不正确;由选项c可知双曲线的渐近线方程为y=±2x,故选c.2.(2015·海口高二检测)双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于()a.-14b.-4c.4d.14【解析】选a.双曲线方程化为

2、标准形式:y2-x2-1m=1,则有:a2=1,b2=-1m,由题设条件知,2=-1m,所以m=-14.【误区警示】本题在求解时常常因为忘记参数m的范围导致求解错误.3.设双曲线x2a2-y29=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为()a.4b.3c.2d.1【解析】选c.双曲线x2a2-y29=1的渐近线方程为3x±ay=0,对比3x±2y=0得a=2.4.(2015·天津高考)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为f(2,0),且双曲线的渐近线与圆x-22+y2=3相切,则双曲线的方程为()a

3、.x29-y213=1b.x213-y29=1c.x23-y2=1d.x2-y23=1【解析】选d.由双曲线的渐近线bx-ay=0与圆(x-2)2+y2=3相切可知2ba2+b2=3,又因为c=a2+b2=2,所以有a=1,b=3,故双曲线的方程为x2-y23=1.5.(2014·广东高考)若实数k满足0<k<9,则曲线x225-y29-k=1与曲线x225-k-y29=1的()a.焦距相等b.实半轴长相等c.虚半轴长相等d.离心率相等【解析】选a.因为0<k<9,所以曲线x225-y29-k=1与曲线x225-k-y29=1都表示焦点在x轴上的双曲线,且25

4、25-k,9-k9,但a2+b2=34-k,故两双曲线的焦距相等.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2014·四川高考)双曲线x24-y2=1的离心率等于.【解题指南】本题主要考查双曲线的离心率,属于基本题.【解析】e=ca=4+12=52.答案:527.(2015·北京高考)已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的一条渐近线为3x+y=0,则a=.【解题指南】先化成标准方程.当焦点在x轴时渐近线方程为y=±bax;当焦点在y轴时,渐近线方程为y=±abx.【解析】双曲线的焦点在x轴上,所以渐近线方程为y=±1ax.所以1a=3,即

5、a=33.答案:338.双曲线的离心率为2,则双曲线的两条渐近线的夹角为.【解析】因为e=ca=2,所以a2+b2a=2即a=b,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.所以双曲线两条渐近线的夹角为90°.答案:90°三、解答题(每小题10分,共20分)9.(1)求焦点在x轴上,过点(3,-2),离心率为e=52的双曲线的标准方程.(2)求中心在原点,对称轴为坐标轴,一个焦点是(-4,0),一条渐近线是3x-2y=0的双曲线方程及离心率.【解析】(1)焦点在x轴上,设方程为x2a2-y2b2=1,则9a2-2b2=1,又e=ca=c2a2=a2+b2a2=52,得a2=

6、4b2.由得a2=1,b2=14,得双曲线的标准方程为x2-y214=1.(2)因为双曲线的一条渐近线是3x-2y=0,所以可设双曲线方程为x24-y29=(0).因为其中一个焦点是(-4,0),所以4+9=16.所以=1613.所以双曲线方程为13x264-13y2144=1,离心率e=ca=132.10.双曲线x2a2-y2b2=1(0<a<b)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,且原点到直线l的距离为34c,求双曲线的离心率.【解题指南】写出直线l的方程,由点到直线的距离公式建立a,c的等量关系.【解析】由l过两点(a,0),(0,b),设l的方程为bx+ay-

7、ab=0.由原点到l的距离为34c,得aba2+b2=34c.将b=c2-a2代入,平方后整理,得16a2c22-16×a2c2+3=0.令a2c2=x,则16x2-16x+3=0,解得x=34或x=14.因为e=ca,有e=1x.故e=233或e=2.因为0<a<b,故e=ca=a2+b2a=1+b2a2>2,所以离心率e为2.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·全国卷)已知a,b为双曲线e的左、右顶点,点m在e上,abm为等腰三角形,且顶角为120°,则e的离心率为()a.5b.2c.3d.2【解析】选d.设双

8、曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),如图所示,|ab|=|bm|,abm=120°,过点m作mnx轴,垂足为n,在rtbmn中,|bn|=a,|mn|=3a,故点m的坐标为m(2a,3a),代入双曲线方程得a2=b2=c2-a2,即c2=2a2,所以e=2.2.(2014·天津高考)已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()a.x25-y220=1b.x220-y25=1c.3x225-3y2100=1d.3x2100-3y225=1【解析】

9、选a.因为双曲线的一个焦点在直线l上,易知直线l过双曲线左焦点,所以0=-2c+10,即c=5,又因为渐近线平行于直线l:y=2x+10,故有ba=2,结合c2=a2+b2,得a2=5,b2=20,所以双曲线的标准方程为x25-y220=1.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·淮南高二检测)已知双曲线x22-y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别是f1,f2,其一条渐近线方程为y=x,点p(3,y0)在双曲线上,则pf1·pf2=.【解析】由渐近线方程为y=x知,b2=1,所以b=2,因为点p(3,y0)在双曲线上,所以y0=±1,y0=1时,

10、p(3,1),f1(-2,0),f2(2,0),所以pf1·pf2=0,y0=-1时,p(3,-1),pf1·pf2=0.答案:04.(2015·吉林高二检测)已知点f是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点,点e是该双曲线的右顶点,过点f且垂直于x轴的直线与双曲线交于a,b两点,若abe是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是.【解题指南】abe是锐角三角形隐含着aef<45°,故由此解题事半功倍.【解析】abe是等腰三角形,ae=be,所以只需aeb为锐角,所以aef<45°,所以b2a=af&

11、lt;fe=a+c,所以e2-e-2<0,所以-1<e<2.又因为e>1,所以1<e<2,所以e(1,2).答案:(1,2)【补偿训练】双曲线x24+y2k=1的离心率e(1,2),则k的取值范围是.【解析】双曲线方程可变为x24-y2-k=1,则a2=4,b2=-k,c2=4-k,e=ca=4-k2,又因为e(1,2),则1<4-k2<2,解得-12<k<0.答案:(-12,0)三、解答题(每小题10分,共20分)5.设f1,f2分别是双曲线x2a2-y2b2=1的左、右焦点,若双曲线上存在点a,使f1af2=90°且|a

12、f1|=3|af2|,求双曲线的离心率.【解题指南】借助直角三角形的边角关系及双曲线的定义建立a,c的等量关系.【解析】因为af1af2,所以|af1|2+|af2|2=|f1f2|2=4c2.因为|af1|=3|af2|,所以点a在双曲线的右支上.则|af1|-|af2|=2a,所以|af2|=a,|af1|=3a,代入到式得(3a)2+a2=4c2,c2a2=104.所以e=ca=102.6.中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点f1,f2,且|f1f2|=213,椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4,离心率之比为37.(1)求这两曲线方程.(2)若p为这两曲线的一个交点,求f1pf2的面积.【解题指南】由p为这两曲线的一个交点,故充分应用两曲线的定义解题是求解本题的关键.【解析】(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1,双曲线方程为x2m2-y2n2=1(a,b,m,n>0,且a>b),则a-m=4,7·13a=3·13m,解得a=7,m=3,所以b=6,n=2,所以椭圆方程为x249+y236=1,双曲线方程为x29-y24=1.(2)不妨设f1,f2分别为左、右焦点,p是第一象