【精品】黄土高原地区水土保持坝14

1、第八章 不定积分8.1 不定积分的概念和基本积分公式例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函数数. )0(1ln xxxxln是是x1在区间在区间), 0( 内的原函数内的原函数.如如果果在在区区间间i内内，定义定义1：可可导导函函数数)(xf的的即即ix ，都都有有)()(xfxf 或或dxxfxdf)()( ，那那么么函函数数)(xf就就称称为为)(xf导导函函数数为为)(xf，或或dxxf)(在在区区间间i内内原原函函数数. .一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：原函数存在定理：如果函数如果函数)(xf在区间在区间i内连续，内连续，简言之：简言之：连续函数一定有原函

2、数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例 xxcossin xcxcossin （ 为任意常数）为任意常数）c那那么么在在区区间间i内内存存在在可可导导函函数数)(xf，使使ix ，都有，都有)()(xfxf . .(2) 若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxf ccxf )(都都是是)(xf的的原原函函数数.（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，)(xf)(xg)(xf则则cxgxf )()(（ 为任意常数）为任意常数）c

3、证证 )()()()(xgxfxgxf 0)()( xfxfcxgxf )()(（ 为任意常数）为任意常数）c 根据定义，如果 f(x) 是 f(x) 的一个原函数，则dxxf)(f(x)c， 其中 c 是任意常数，称为积分常数。二、不定积分二、不定积分 定义定义2 函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，记作 dxxf)(。 任意常任意常数数积分积分号号被积函被积函数数cxfdxxf )()(被积表达被积表达式式积分变积分变量量不定积分的相关名称：不定积分的相关名称： 叫做积分号， f(x) 叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式， x 叫做积分变量。 如果 f(x)是 f(x

4、)的一个原函数，则dxxf)(f(x)c。 当 x0 时，(ln x)x1，x1，cxdxxln 1(x0)； x0 时，ln(x)x0 时，ln(x)xx1) 1(1xx1) 1(1，xx1) 1(1，cxdxx)ln( 1(x0 时，(ln x) 解：解：-1 o 1 x y y=x2 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。cxxdx22c1 y=x2+c1 c2 y=x2+c2 c3 y=x2+c3 函数f(x)的积分曲线也有无限多条。函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率。三、不定积分的几何意义三、不定积分的几何意义 例例4求过点(1

5、, 3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。 解：解：设所求的曲线方程为 yf(x)，则 y f (x) 2x， 即f(x)是2x 的一个原函数。 因为所求曲线通过点(1, 3)， 故 31c，c2。 于是所求曲线方程为 yx22。2 1 o 1 2 x2 1 1 2 yyx2+2 yx2(1, 3) 因为cxxdx22， 所以y=f(x)x2c。实例实例 xx 11.11cxdxx 启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式.)1( 四

6、、四、 基本积分公式基本积分公式基基本本积积分分表表 kckxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 cxdxx;ln)3( cxxdx说明：说明： , 0 x,ln cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( cxxdx,|ln cxxdx简写为简写为.ln cxxdx dxx211)4(;arctancx dxx211)5(;arcsincx xdxcos)6(;sincx xdxsin)7(;coscx xdx2cos)8( xdx2sec;tancx xdx2sin)9( xdx2csc;cotcx xdxxtansec)10(;seccx xdxxcotc

7、sc)11(;csccx dxex)12(;cex dxax)13(;lncaax xdxsinh)14(;coshcx xdxcosh)15(;sinhcx 例例 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25cx 125125.7227cx 根据积分公式（根据积分公式（2）cxdxx 11 2772xc72x3xc。 dx x 3dx131x 31c x 31c 221xc。 dx 25xdxdx1251251xc 34 xdx134134xc134134xc33x c。 例 1 31xdx 例例1例 2 x2xdx 例例2例 3 3xxdx例例3dxxgxf)()(dxxgdxx

8、f)()(，dxxfkdxxkf)()(。 dxxdxx21255dxxdxx21255 cxx232732572cxxxx310723dxxx)5(2dxxx)5(2125 dxxdxx21255dxxdxx21255 cxx232732572cxxxx310723。 例 4 dxxx)5(2dxxx)5(2125例例4dxxgxf)()(dxxgdxxf)()(，dxxfkdxxkf)()(。 dxxxx)133(2 dxxdxxdxxdx21133 221x3x3ln|x|x1c。 dxxx23) 1(dxxxxx223133 5 dxxx23) 1(dxxxxx223133例例5 (4

9、) axdx aaxlnc， (6) cosxdx sinxc， dx2sectgxc， (ex3cosx)dx ex3sinxc。 2x exdx (2e)x dx(2e)x dx)2ln()2(eexc)2ln()2(eexc2ln12xxec。 tg2xdx (sec2x1)dx tgxxc。 (sec2x1)dx tgxxc。 2xdxx)cos1 (21cxx)sin(21dxx)cos1 (21cxx)sin(21。 dxxx2cos2sin122dxx2sin14 4ctg xc。 6 (ex3cosx)dx ex3sinxc。 例例67 2x exdx 例例78 tg2xdx

10、例例89 sin 22xdx例例910 dxxx2cos2sin122dxx2sin14例例10 (3) x1dx ln|x|c， (11) 211xdx arctgxc。 dxxdxx1112 dxxx)111(2231dxxdxx1112arctgxln|x|c。 dxxx241dxxx24111dxxxx22211) 1)(1(dxxx241dxxx24111dxxxx22211) 1)(1( dxxx)111(2231x3xarctgxc。 dxxxxx)1 (122dxxxxx)1 ()1 (22dxxx)111(2dxxxxx)1 (122dxxxxx)1 ()1 (22dxxx)

11、111(2 11 dxxxxx)1 (122dxxxxx)1 ()1 (22dxxx)111(2例例1112 dxxx241dxxx24111dxxxx22211) 1)(1(例例12 y)257(xdxxx507 c 。 解：解：因为总成本是总成本变化率y的原函数，所以 已知当 x0 时，y1000， 例例13某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成本 y 的变化率是日产量 x 的函数 yx257 ，已知固定成本为1000元，求总成本与日产量的函数关系。因此有 c =1000，于是总成本 y 与日产量 x 的函数为 yxx507 1000。 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxx

12、f证证 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）五 、 不定积分的性质例例1414 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21cx 说明：说明： 以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costancxx , 5)0( y, 6 c所求曲线方程为所求曲线方程

13、为. 6costan xxy基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：)()(xfxf 不定积分的概念：不定积分的概念： cxfdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系小结f4c1z)w&s!pymujrgocl9h6e3b+y(v%r#owltiqenbk8g5d1a-x*t$qznvksgpdmai7f4c0z)w&s!pxmujrfocl9h6e2b+y(u%r#owlthqenbj8g5d1a-w*t$qynvksgpdlai7f3c0z)v&s#pxmuirfock9h5e2b+x(u%rzow

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