高斯定理在空间对称引力场中的应用

1、内江师范学院本科毕业论文（设计）本 科 毕 业 论 文题 目：高斯定理在空间对称引力场的应用 姓 名：石宇 学 号：20120341006 院 别：工程技术学学院 专 业：物理学 年 级：2012级1班 指导教师：黄永超 ii目 录1引言12引力场建立的背景及初步认识22.1引力场建立的背景22.2引力场的初步认识23静电场中高斯定理的理解与应用33.1静电场中高斯定理的理解33.1静电场中高斯定理的应用44静电场与万有引力场的分析与类比54.1静电场与万有引力场的分析54.2静电场与万有引力场的类比55高斯定理在空间对称引力场中的应用85.1质量分布具有球对称性85.2质量分布具有轴对称性9

2、5.3质量分布具有面对称性106结束语11参考文献12致谢13摘 要在静电场中，当电荷具有某种对称性时，场强的计算可以通过应用高斯定理而简化计算。所以，本文将通过比较静电场和引力场，从而用类比的方法把静电场中高斯定理的形式推广到万有引力场中。在此基础上，通过万有引力场中的“高斯定理”，从而解决在空间对称引力场中的相关问题。关键词：高斯定理；万有引力；空间对称引力场；应用AbstractIn the electrostatic field, when the charge has a certain symmetry, the field strength calculation can be

3、calculated by applying the simplified Gauss theorem. Therefore, this article will compare the electrostatic field and the gravitational field, which by analogy method to form an electrostatic field Gauss theorem to the gravitational field. On this basis, through the gravitational field of the "

4、Gauss theorem" to solve symmetric gravitational field in space related issues. Learn gravitational field Gauss theorem space symmetry. Key words: Gauss theorem; gravitation; space symmetric gravitational field; application内江师范学院本科毕业论文（设计）1引言高斯定理也叫作高斯公式，或叫作散度定理、高斯散度定理、高斯

5、奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高奥公式（通常情况下高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。在静电学中，表明在闭合曲面内产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分与该闭合曲面上电荷之和之间的关系。 在电磁学一书中，可以了解到高斯定理对于解决静电场中电荷分布对称的相关问题有着非常重要的应用。那么在引力场中，能不能用高斯定理来解决引力场的相关问题呢？质量分布具有对称性时，尽管可以用万有引力定律和力的合成求物体所受到的引力，然而这样通常计算十分复杂，但是在静电场中运用高斯定理求解对称性问题时往往能十分轻松的解决，如果把高斯定理在静电场中的应用运用到万有引力场中，那样就可以很好的解决空间对称引力场的问题

6、。所以，本文将通过类比静电场和引力场着重讲解高斯定理在空间对称引力场中的作用。152引力场建立的背景及初步认识2.1引力场建立的背景 物体之间没有接触怎么会有作用力呢？当时的科学界对引力有几种看法：一种是以牛顿为代表的一些人认为，引力是瞬间从一个物体传到另一个物体的：而部分科学家认为，这些力是完全不可思议的：另一些科学家则与神学家持有相同的看法，认为科学的力量是有限的，在自然中有许多现象是难以理解的，对它们不可能用合理的方式加以解释。更多的人则试图寻找一种特殊的介质（以太），认为力是借助以太来传播的。牛顿建立万有引力之后，人们一直试图用以太来解释这种力，但是都失败了，最终由爱因斯坦的引力场理论

7、才解释了这一切问题1。2.2引力场的初步认识根据爱因斯坦提出的概念可知：物体不但可以以实体的形式存在，还可以以场的形式存在。电磁场是一种物质，但它是以场的形式存在的。一个点电荷可以在它的周围发出电场，场强为,处于该电场中的电荷受到该场的作用力为：。与电场近似，同样可以引进引力场的观点，即任一质量为的物体将在它的周围的空间发出一种场，叫做引力场（传播速度为光速），而处于该场中的其他物体将受到该场的作用力。比如地球在它的周围发出引力场，空间每一点都有一矢量，成为重力场强。将物体，放在某处，物体，将受到重力场的作用，受力为，。因此，场强是单位质量物体在引力场中所受的力。这是从从经典的角度对引力和引力

8、场的初步理解。而实际上，引力还有两个本质的问题没有回答。第一，引力场是如何传播的。第二，根据相对性原理，万有引力是否具有协变性，即按照一定的变换方式，是否在不同的惯性参考系下具有相同的表达式。对于前者，爱因斯坦提出引力场类似于光波场，是通过引力子传播的，并且也可以产生引力波。但是，至今还没有足够的证据证明引力子和引力波的存在，这在目前仍是当代物理学的一个前沿课题。对于后者，在广义相对论中已有明确的答案，目前的万有引力公式不具有协变性，只适合经典范畴。在广义相对论中。以上内容是对引力场背景及内容的初步认识。3静电场中高斯定理的理解与应用3.1静电场中高斯定理的理解高斯定理是静电学的一个重要定理，

9、是关于静电场中任一闭合曲面的“通量”的定理，对于解决静电场的相关问题有着非常广泛的应用。静电场中的高斯定理用文字可以表达为：任一闭合曲面内电荷的代数和除以等于静电场中该闭合曲面的通量。其数学表达式为： （1）高斯定理是通过库仑定律（及叠加原理）推导出来的。在（1）式，等式左边的积分中表示为曲面上处的电场强度。表示为在曲面内电荷的代数和。对于高斯定理的理解还有必要说明以下两个问题。（1） 高斯定理断言闭合曲面外的电荷对闭合曲面的通量没有贡献，但不意味着这些电荷对面上各点的场强没有贡献2。高斯面上的通量的变化与高斯面内和高斯面外电荷的位置改变是没有关系的，但是电荷位置的改变对于高斯面上的电场强度是

10、有影响的。（2） 高斯定理是由库仑定律及叠加原理推导出来的，但是两者在使用上分工不同。大致来说，库仑定律及叠加原理解决从电荷分布求场强的问题，高斯定理则能够从场强求出电荷分布2。欲求某点的电荷体密度，可以包围该店作一形状适当的小闭合曲面，根据面上的已知场强求出通量，由高斯定理便可得知面内的电荷。设此面所包围的体积，则就近似于等于该点的电荷体密度。所取的越小，求得的就越精确。这个就算虽然可能很麻烦，但原则上是可行的。借用矢量分析的语言，可把高斯定理写成另一形式（微分形式），根据这一形式，只要对已知的矢量场（）作微分运算，便可方便地求得各点的。3.1静电场中高斯定理的应用在电荷分布已知时，虽然原则

11、上可以用库仑定律和叠加原理来计算各点的场强，但是这样的计算往往十分复杂。因此当电荷分布具有某种对称性时（球对称，面对称，轴对称），场强的计算可以由于应用高斯定理而得到简化。所以，运用高斯定理在解决静电场中电荷分布对称的问题时，有着非常广泛的应用。通过对静电场中高斯定理了解与应用的理解，知道了高斯定理是通过库仑定律及场叠加原理推导出来的，库仑定律满足平方的反比定律，且高斯定理对于解决对称性问题有着非常广泛的应用。4静电场与万有引力场的分析与类比4.1静电场与万有引力场的分析法国物理学家库仑于1785年在电力定律一论文中提出该定律。库仑定律的常见表述是：两个静止的点电荷在真空环境中它们之间的相互作

12、用力，与它们的距离的平方成反比，与它们的电荷量的乘积成正比，作用力是在它们的连线的方向上，异性电荷相吸，同性电荷相斥。库仑定律是电磁学和电磁场理论的基本定律之一，是电学发展史上的第一个定量规律。库伦定律的数学表达式为： （2）万有引力定律是艾萨克·牛顿在1687年于自然哲学的数学原理上发表的，对于质量分别为和，距离为的两个星体之间的相互作用力作了分析，并将其推广为任何两个物体之间的相互作用力。万有引力定律的常见表述为：在任意两个质点的连心线上它们之间有相互吸引力。万有引力的大小跟它们距离的二次方成反比，跟它们的质量乘积成正比。万有引力定律的数学表达式为： （3）在电磁学一书中了解到通

13、过库仑定律和叠加原理可以推导出在静电场中高斯定理。库仑定律的叠加原理为：在空间中有两个以上的点电荷时，其他点电荷单独存在时作用于该电荷的静电力的矢量和等于作用于每一个电荷上的总静电力。同样在万有引力场中，质点受到多个质点（）的引力作用时，各质点单独存在时受到引力的矢量和等于受到的总的引力，所以万有引力场同样满足叠加原理。再通过比较库仑定律与万有引力定律的数学表达式，还发现它们都满足平方的反比定律，在式（2）和式（3）中，万有引力定律中的和库仑定律中的都属于常量，万有引力定律中的的性质和库仑定律的性质也相同，所以我们可以通过类比的方法把静电场中的高斯定理应用到万有引力场中。4.2静电场与万有引力

14、场的类比通过上面的分析得出，万有引力定律与与库伦定律都服从平方反比定律，并且都符合叠加原理。在静电场中的高斯定理是通过库仑定律及叠加原理得出的结果。那么，我们运用万有引力定律和叠加原理一样也能推导出万有引力场中的高斯定理。（1） 静电场中 电荷周围存在电场在电场中电荷所受到电场力作用库仑定律为： （4） , （5）电场强度 （6）点电荷场强公式为： （7）有限带电体的场强为： （8）一个点电荷激发条电场线，所以个点电荷激发条电场线电场强度通量为： （9）电场中的高斯定理为： （10）为面内的电荷。（2） 万有引力场质点周围存在万有引力场万有引力场中质点所受到的万有引力的作用万有引力定律为： （

15、11） ， （12）万有引力强度为： （13）质点引力场强度公式为： （14）有限物体的万有引力场强公式为： （负号表示与的方向相反） （15）引力场通量为： （16）引力场高斯定理为： （17）上述（17）式子为万有引力场中的高斯定理，用文字可以表述为：在万有引力场中，任一闭合曲面所包围的质量元代数和与该闭合曲面的万有引力场强通量成正比4。5高斯定理在空间对称引力场中的应用 通过上述静电场与万有引力场的分析与类比，通过类比的方法已经得出了万有引力场中的高斯定理，所以现在就要利用万有引力场中的高斯定理来解决一些在空间对称引力场中的问题，了解高斯定理在空间对称引力场中的应用。5.1质量分布具有球

16、对称性质量均匀分布在球体上, 球体的半径为,求质量为与球心距离为的质点所受到的万有引力的大小。解：由于球体上的质量分布均匀，因此我们可以知道引力场强具有球对称性，即以球心为圆心的同一球面上，场强方向垂直于球面，各点的引力场强的大小相同，而且指向球心。（1）过球体外一点点作半径为（）与球体同心的球面，通过此球面的的通量为： （18）该球面就是所作的高斯面，球面内的质量就是球体的质量，所以由高斯定理有： （19） （） （20）因此在球外某质点所受到的引力大小为 （） （21）（2） 当时，所作的球面内部无质量，所以万有引力场强的通量为0。 因此当时，质点所受到的引力大小（）5.2质量分布具有轴对

17、称性 有一质量均匀分布的无限长圆柱面，已知圆柱质量面密度为，圆柱面半径为。在圆柱面内和圆柱面外，求质量为的质点所受到的万有引力。解：由于圆柱面“无限长”，而且圆柱面上质量分布均匀 ,因此可以得出引力场强分布具有轴对称性,即在同轴圆柱面上离轴的垂直距离相同的各点的引力场强大小相等。过点作一高为，半径为的同轴闭合圆柱面，运用引力场中的高斯定理计算通过此闭合圆柱面的引力场通量为： （22） 由于圆柱体上下地面的的方向与的方向处处垂直，所以与均为零，因此通过闭合圆柱面的引力场通量为： （23）（1） 当点在圆柱面外时，则闭合面内的质量： （24）由高斯定理可得： （25） （） （26）所以质点在圆柱

18、面受到的万有引力为： （） （27）（2） 当点在圆柱面内时，闭合面内的质量 （28） （） （29）因此，质点在圆柱面内收到的万有引力为： () （30）5.3质量分布具有面对称性一无限大平面(厚度不计)，且质量分布均匀,质量面密度,求平面附近点的引力场强。解：由于该平面上质量分布均匀，且平面是无限大的，所以引力场强分布具有面对称性。本题应用引力场中的高斯定理来求解： （31）由于平面的上下底面的的方向与的方向一致，且侧面的的方向与的方向垂直，因此为零。所以上式可以简化为： （32）由此可得 （33）所以点附近的引力场强为 （34）通过以上几道例题分析与讲解，由此可见运用万有引力场中的高斯定

19、理，我们可以很轻松的解决空间对称引力场的相关问题。 运用静电场和引力场的类比, 通过库仑定律与万有引力定律的相似之处,引入了引力场中的高斯定理。通过万有引力场的“高斯定理”在解决质量分布具有对称性物体的引力场场强时, 可以使计算得到简化。 6结束语 本文首先介绍了高斯定理的定义以及相关的应用。其次，介绍了引力场的由来以及一些相关特性。然后通过介绍静电场中的高斯定理来引出万有引力场中的高斯定理，通过比较库仑定律和万有引力定律发现了他们的相同点，再通过对静电场和万有引力场分析，运用类比的方法得出了万有引力场中的高斯定理。在此基础上通过一些相关例题了解高斯定理在空间对称引力场中的应用。从本文的分析与相关应用能够了解到高斯定理是解决物理问题有力的数学工具。参考文献1 张汉壮，王文全力学M北京：高等教育出版社，2009：66-672 梁灿彬，秦光戎，梁竹健电磁学M北京：高等教育出版社，2004：14-193 王建万有引力定律与库仑定律的相似关系J技术物理教学， 2010（4）：114-1164 赵三平高斯定理