第六节复变函数的极限和连续性

1、第六节第六节 复变函数的极限复变函数的极限和连续性和连续性一、函数的极限二、函数的连续性三、小结与思考2一、一、函数的极限函数的极限1.函数极限的定义函数极限的定义:. )( )(,)0(0 )( , 0 , , 0 )( 0000时的极限时的极限趋向于趋向于当当为为那末称那末称有有时时使得当使得当相应地必有一正数相应地必有一正数对于任意给定的对于任意给定的存在存在如果有一确定的数如果有一确定的数内内的去心邻域的去心邻域定义在定义在设函数设函数zzzfaazfzzazzzzfw )( .)(lim 00azfazfzzzz 或或记作记作注意注意: : . 0的方式是任意的的方式是任意的定义中定

2、义中zz 32. 极限计算的定理极限计算的定理定理一定理一.),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 000000000000vyxvuyxuazfiyxzivuayxivyxuzfyyxxyyxxzz 的充要条件是的充要条件是那末那末设设证证 ,)(lim 0azfzz 如果如果根据极限的定义根据极限的定义 , )()(0 00时时当当 iyxiyx ,)()(00 ivuivu(1) 必要性必要性.4 , )()(0 2020时时或当或当 yyxx ,)()(00 vviuu, ,00 vvuu.),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyx

3、x 故故,),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 若若 , )()(0 2020时时那么当那么当 yyxx(2) 充分性充分性.,2 ,2 00 vvuu有有5 )()()(00vviuuazf 00vvuu , 0 0时时故当故当 zz,)( azf .)(lim 0azfzz 所以所以证毕证毕说明说明. ),( ),( , ),(),()( 的极限问题的极限问题和和函数函数转化为求两个二元实变转化为求两个二元实变的极限问题的极限问题该定理将求复变函数该定理将求复变函数yxvyxuyxivyxuzf 6定理二定理二).0()()(lim (3);)()(li

4、m (2);)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 00000 bbazgzfabzgzfbazgzfbzgazfzzzzzzzzzz那末那末设设与实变函数的极限运算法则类似与实变函数的极限运算法则类似.7例例1 1证证 (一一). 0 )re()( 不存在不存在时的极限时的极限当当证明函数证明函数 zzzzf, iyxz 令令,)( 22yxxzf 则则, 0),(,),(22 yxvyxxyxu , 趋于零时趋于零时沿直线沿直线当当kxyz 2200lim),(limyxxyxukxyxkxyx 220)(limkxxxx 8)1(lim220kxxx ,112k , 值的变化

5、而变化值的变化而变化随随 k , ),(lim 00不存在不存在所以所以yxuyyxx, 0),(lim00 yxvyyxx根据定理一可知根据定理一可知, . )(lim0不存在不存在zfz证证 (二二),sin(cos irz 令令rrzf cos)( 则则,cos 9 , arg 趋于零时趋于零时沿不同的射线沿不同的射线当当 zz .)(趋于不同的值趋于不同的值zf , 0arg 趋于零时趋于零时沿正实轴沿正实轴例如例如 zz, 1)(zf , 2arg 趋于零时趋于零时沿沿 z, 0)(zf . )(lim 0不存在不存在故故zfz10例例2 2证证. 0 )0( )( 限不存在限不存在

6、时的极时的极当当证明函数证明函数 zzzzzf,)(, ivuzfiyxz 令令,),( 2222yxyxyxu 则则,2),(22yxxyyxv , 趋于零时趋于零时沿直线沿直线当当kxyz 22002lim),(limyxxyyxvkxyxkxyx ,122kk 11 , 值的变化而变化值的变化而变化随随 k , ),(lim 00不存在不存在所以所以yxvyyxx根据定理一可知根据定理一可知, . )(lim0不存在不存在zfz12二、函数的连续性二、函数的连续性1. 连续的定义连续的定义: . )( , )( . )( ),()(lim 000内连续内连续在在我们说我们说内处处连续内处

7、处连续在区域在区域如果如果处连续处连续在在那末我们就说那末我们就说如果如果dzfdzfzzfzfzfzz . , )()(lim )( 000czzfzfzczfzz 处连续的意义是处连续的意义是上上在曲线在曲线函数函数13定理三定理三.) ,( ),( ),( : ),(),()( 00000处连续处连续在在和和连续的充要条件是连续的充要条件是在在函数函数yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf 例如例如,),()ln()(2222yxiyxzf , )ln(),(22处连续处连续在复平面内除原点外处在复平面内除原点外处yxyxu , ),(22在复平面内处处连续在复平面内处处连续yxyx

8、v . ),( 处连续处连续在复平面内除原点外处在复平面内除原点外处故故yxf14定理四定理四. ) ( )( )( (1)000处仍连续处仍连续在在不为零不为零分母在分母在积、商积、商的和、差、的和、差、和和连续的两个函数连续的两个函数在在zzzgzfz. )( , )( )( , )( (2)0000连续连续处处在在那末复合函数那末复合函数连续连续在在函数函数连续连续在在如果函数如果函数zzgfwzghhfwzzgh 15特殊的特殊的:,)(2210nnzazazaazpw (1) 有理整函数有理整函数(多项式多项式) ; 都是连续的都是连续的对复平面内的所有点对复平面内的所有点 z(2)

9、 有理分式函数有理分式函数,)()(zqzpw , )( )( 都是多项式都是多项式和和其中其中zqzp在复平面内使分母不为零的点也是连续的在复平面内使分母不为零的点也是连续的.16例例3 3. )( , )( :00也连续也连续在在那末那末连续连续在在如果如果证明证明zzfzzf证证 ),(),()( yxivyxuzf 设设 ),(),()( yxivyxuzf 则则 , )( 0连续连续在在由由zzf,) ,( ),( ),( 00处都连续处都连续在在和和知知yxyxvyxu ,) ,( ),( ),( 00处连续处连续也在也在和和于是于是yxyxvyxu . )( 0连续连续在在故故zzf17三、小结与思考三、小结与思考 通过本课的学习通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连熟悉复变函数的极限、连续性的运算法则与性质续性的运算法则与性质. 注意注意:复变函数极限的定义与一元实变函数复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义虽然在形式上相同极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很但在实质上有很大的差异大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多它较之后者的要求苛刻得多.18思考题思考题?)( , )( 00有无关系有无关系径径选取的路选取的路所采取的方式所采取的方式趋于趋于此极限值与