高一数学基础知识巩固及能力提高训练

1、高一数学基础知识巩固及能力提高训练（二）函数的概念和性质部分一、重要知识点梳理1 函数的概念 ：设 A、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f ：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x) ，x A其中， x 叫做自变量， x 取值范围的集合 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| x A 叫做函数的值域；其中函数的定义域、值域、对应法则是函数的三要素。注意：（ 1）求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： 分

2、式的分母不等于零；偶次方根的被开方数不小于零；对数式的真数必须大于零；指数、对数式的底必须大于零且不等于1.如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .指数为零底不可以等于零，实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.（ 2）相同函数的判断方法：定义域一致；表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）( 两点必须同时具备 )（ 3）求函数值域的方法 :先考虑其定义域观察法 ；配方法；换元法2、映射： 一般地，设 A、 B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有

3、唯一确定的元素y 与之对应， 那么就称对应f ：A B 为从集合A 到集合 B 的一个映射。记作“f （对应关系）： A（原象）B（象）”对于映射f ： A B 来说，则应满足：(1) 集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；(3) 不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。3、区间：（ 1）的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）区间的数轴表示4、函数的性质：（ 1）函数的单调性 ( 局部性质 )设函数 yf ( x) 的定义域为 I，如果对于定义域I 内的某个区间 D 内的任意两个自变

4、量x1 , x2 ，当 x1x2 时，都有 f (x1 )f ( x2 ) ，那么就说f ( x) 在区间 D 上是增函数 . 区间 D 称为y f (x) 的单调增区间 .如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1 , x2 ，当 x1x2 时，都有 f ( x1 )f (x2 ) ) ，那么就说 f ( x) 在这个区间上是减函数. 区间 D 称为 yf ( x) 的单调减区间 . 函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：1任取x1 , x2D ，且 x1 x2；2作差f (x1 ) - f (x2 ) ；3变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差 f (x ) - f ( x

5、) 的正负）；125 下结论（指出函数f (x) 在给定的区间D 上的单调性） (B) 图象法 ( 从图象上看升降 )（ 2）函数的奇偶性（整体性质） （奇函数，偶函数的定义域都关于原点对称）一般地，对于函数f (x) 的定义域内的任意一个x ，都有 f (- x)f ( x) ，那么 f (x) 就叫做偶函数一般地，对于函数f (x) 的定义域内的任意一个x ，都有 f (- x)- f ( x) ，那么 f (x) 就叫做奇函数具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称（ 3）求函数的解析式的主要方法有：凑配法；待定系数法；换元法；解方程组法5、利用函

6、数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数 y f ( x) 在区间 a, b 上单调递增，在区间 b,c 上单调递减则函数 y f (x) 在 x b 处有最大值 f (b) ；如果函数 y f ( x) 在区间 a, b 上单调递减，在区间 b,c 上单调递增则函数 y f (x) 在 x b 处有最小值 f (b) ；二、典型例题及解题方法点拨例 1 、求下列函数的定义域：（x0x23x4）（ 1） f ( x)1（2） f ( x)3x2x12（ 3）若函数 yf ( x) 的定义域为 1，1 ，求函数 y f ( x1) f ( x1 ) 的定义域44例 2、 下列各组中的两个函数是

7、否为相同的函数（ 1） yx 1 x 1 y( x 1)( x 1)（ 2） f (x) ( 2x 5) 2f ( x) 2x 5例 3、若函数 yax2ax1 的定义域是 R，求实数 a 的取值范围a例 4、 设 M a， b， c， N 2,2 ,求（ 1）从 M到 N 的映射的个数； （ 2）从 M到 N 的映射满足f (a)>f (b) f(c),试确定这样的映射 f 的个数 .例 5、设 f (x) 在 R 上是偶函数，在区间 （ -，0 上单调递增，且有f ( a1)f (3a) ，则 a 的取值范围是 _.例 6、已知 f ( x) 是偶函数， xR ，当 x0 时， f

8、( x) 为增函数，若 x10, x20 ，且 x1x2 ( )A.f (x1 )f ( x2 ) B. f (x1 )f (x2 ) C.f ( x1 )f (x2 ) D.f (x1 )f ( x2 )例 7、根据条件求下列各函数的解析式：（ 1）已知f (x) 是二次函数，若f (0)0, f (x1)f ( x)x1，求 f ( x) .（ 2）已知f (x1)x2x ，求 f ( x)1ax, 求 f ( x)（ 3）若 f (x) 满足 f ( x) 2 f ( )x三、课堂闯关训练1. 已知集合 M x 2 x 2, N y 0y 2 ，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，

9、 N 为值域的函数关系的是（）y2A.B.x-2 O-2yyy222xxC.xD.O2 -2O2-2O 22. 集合 P= x 0x4, Q y 0y2 ，下列选项中，不表示从 P 到 Q的映射的是（）A.2xB.1C.1D.f : x yxf : xyf : xyxf : xyx3323.函数 yf ( x3) 的定义域为 4， 7 ，则 yf ( x 2 ) 的定义域为（）A. （ 1， 4）B. 1， 2C.( 2, 1)(1,2)D. 2, 11,24. 若 f: B能构成映射，下列说法正确的有（）（ 1） A中的任一元素在B 中必须有像且唯一； （2） B 中的多个元素可以在A中有相

10、同的原像； （ 3）B中的元素可以在A中无原像；（ 4）像的集合就是集合B。A.1 个B.2个C.3个D.4个5.若函数f ( x) x22(a 1) x2在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（）（ -，4）A. a3B. a3C. a5D. a 36.已知 f ( x) 在实数集上是减函数，若a b0 ，则下列正确的是（）A f (a)f (b) f (a)f (b)B C f (a)f (b) f (a)f (b)D f (a)f (b)f ( a)f ( b)f (a)f (b)f (a)f ( b)7. 若 f (1 2x)1 x2 (x0)，则 f ( 1) 等于（ ）x22A.1

11、B.3C.15D.308. 若 fg(x)=6x+3,g(x)=2x+1,则 f(x)=()A.3B.3xC.3(2x+1)D.6x+19. 下列命题中，正确的是（）A. 存在 mR, 使函数 f (x)x2mx (xR) 是偶函数B. 存在 mR, 使函数 f (x)x2mx (xR) 是奇函数C. 对任意 m R, 函数D. 对任意 m R, 函数f (x)x2mx (xR) 都是偶函数f (x)x2mx (xR) 都是奇函数10. 已知函数f(x)(x?R), 满足 f(-x)=f(x),则下列各点中，必在函数y=f(x)的图像上的是（）A. （ -a,f(a)）B.(-a,-f(a)C

12、.(-a,-f(-a)D.(a,-f(a)11. 若奇函数f(x)在区间 3,7上的最小值为5，则 f(x) 在区间 -7,-3上有（）A. 最小值 5B.最小值 -5C.最大值 -5D.最大值 512. 设函数 f(x)(x?R) 为奇函数，1 , f ( x 2) f ( x) f (2)f (1)则 f(5)=（）2A.0B.1C.5D.5213.若偶函数 f(x)在（ - ， 0）上是减函数，则满足f(1) f （ a）的实数 a 的取值范围是（）A.1,+ )B.（- ， -1 C.（ - ， -1 1,+ )D.-1,114.定义在 R 上的偶函数 f(x)，在（ 0,+ ) 上是

13、增函数，则（）A.f(3)<f(-4)<f(-) B.f(- )<f(-4)<f(3) C.f(3)<f(- )<f(-4) D.f(-4)<f(-)<f(3)15.已知x 2 , x0则 f(4)=;f(-3)=ff(-3)=f (x)2, x0 ,0, x016.对 a, b R ，记a, ab 则函数 f ( x) max x 1, x2 ( xR) 的最小值是max a, bb, ab17.若 f ( x) 是偶函数，其定义域为 R，且在 0,+) 上是减函数，则 f (2a2a 1)f (3a22a 1)的 a 的取值集合为 _ .18

14、.函数 y= 5 4xx2 的单调增区间是 _.19.已知 f ( x), g( x) 都是奇函数，f (x) 0 的解集是（a2bg x) 0a2b ，则的解集是 （,）,）, (22f (x)g( x) 0 的解集是20.定义在区间 (- ,+ ) 的奇函数f(x) 为增函数，偶函数g(x) 在区间 0,+ ) 上的图象与f(x)的图象重合，设 a>b>0, 给出下列不等式 f(b)-f-a)>g(a)-g-b); f(b)-f-a)<g(a)-g-b);f(a)-f-b)>g(b)-g-a); f(a)-f-b)<g(b)-g-a) 其中正确不等式的序号是21.已知f ( x)为偶函数，它在区间 a,b上位增函数（ 0a b）,试证明 f ( x)在区间b, a为减函数22.求下列函数的值域：yx f ( x) 2 4 xx12