第六节函数的连续性和连续函数

1、1第六节第六节 函数的连续性与连续函数函数的连续性与连续函数1 1、函数的增量、函数的增量.,),(,)()(0000的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点内有定义内有定义在在设函数设函数xxxxxuxxuxf .)(),()(0的增量的增量相应于相应于称为函数称为函数xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 一、函数在一点处的连续一、函数在一点处的连续2定定义义 1 设设函函数数)(xfy 在在点点 0 x的的某某一一邻邻域域内内有有定定义义，如如果果 例例1 1 证明函数证明函数y x2在给定点在给定点x0处连续。处连续。 证证

2、 在在x0处，函数的改变量为处，函数的改变量为所以所以 y x2 在给定点在给定点x0处连续。处连续。，因因为为0)(2limlim2000 xxxyxx2 2、函数在一点处连续的定义、函数在一点处连续的定义那那么么就就称称函函数数)(xfy 在在点点 0 x连连续续。 0)()(limlim0000 xfxxfyxx2020)(xxxy ,)(220 xxx 3,0 xxx 记记),()(0 xfxfy ,00 xxx 等价于等价于.0 )()(0 yxfxf等等价价于于下面给出函数连续的定义的另一种下面给出函数连续的定义的另一种等价形式等价形式。 0)()(limlim0000 xfxxf

3、yxx定定义义 2 设设函函数数)(xfy 在在点点 0 x的的某某一一邻邻域域内内有有定定义义，如如果果 那那么么就就称称函函数数)(xfy 在在点点0 x连连续续。 ，)()(lim00 xfxfxx 4说说明明：)(xf在在0 x处处连连续续要要满满足足三三条条： （3 3）函函数数值值与与极极限限值值相相等等. . （1 1）)(xf在在0 x处处有有定定义义, ,即即)(0 xf存存在在； （2 2）极极限限)(lim0 xfxx存存在在； )()(lim00 xfxfxx .0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf例例2 2证证, 01si

4、nlim0 xxx, 0)0( f又又.0)(处处连连续续在在所所以以函函数数 xxf),0()(lim0fxfx 5;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00既既左左连连续续又又右右连连续续处处在在是是函函数数处处连连续续在在函函数数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 3. 3. 单侧连续单侧连续6例例3 3.00,10 ,0 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxx

5、xxxxf解解)1(lim)(lim00 xxfxx1 ),0(f )1(lim)(lim00 xxfxx1 ),0(f 即不右连续也不左连续即不右连续也不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxfx y-1 1 o7.0, 0, 0,cos)(, 处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa例例4 4解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 1 a8若若)(xf在开区间

6、在开区间),(ba内每一点处连续内每一点处连续, ,则称则称)(xf在在),(ba内连续内连续. . 如如果果)(xf在在整整个个定定义义域域上上连连续续, ,则则称称之之为为连连续续函函数数. . 二、连续函数二、连续函数若若)(xf在在),(ba上上连连续续, ,且且在在ax 处处右右连连续续, ,在在bx 处处左左连连续续, ,则则称称)(xf在在 ba,上上连连续续. . 9例例5 5.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证),( x任取任取xxxysin)sin( , )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 则则, 对任意的对任

7、意的,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx时时当当.),(sin都都是是连连续续的的对对任任意意函函数数即即 xxy10三、连续函数的运算和初等函数的连续性三、连续函数的运算和初等函数的连续性 定理定理1 1,)(),(0处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxf例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定义义域域内内连连续续故故xxxx1、连续函数的四则运算法则、连续函数的四则运算法则三角函数在其定义域内皆连续三角函数在其定义域内皆连续. .)0)()()(),()(),()(0 xgxgxfxgxfxgxf则则.0处处也也连

8、连续续在在点点x11定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数反函数. .例如例如,2,2sin上上单单调调增增加加且且连连续续在在 xy. 1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上上单单调调减减少少且且连连续续在在同同理理 xy.,cotarc,arctan上单调且连续上单调且连续在在 xyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续. .2、反函数的连续性、反函数的连续性12且且连续连续在点在点设函数设函数,0)(xxxu 定理定理3 33、复合函数的连续性、复

9、合函数的连续性,)(,)(000连续连续在点在点而函数而函数uuufyux .)(0也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数xxxfy 极限运算与函数运算可以交换极限运算与函数运算可以交换)()(lim00ufxfxx ).(lim0 xfxx 134、初等函数的连续性、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.)1, 0( aaayx指数函数指数函数;),(内内单单调调且且连连续续在在 )1, 0(log aaxya对数函数对数函数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在 xy xaalog ,uay .log xua ,),

10、0(内连续内连续在在 ,不同值不同值讨论讨论 均在其定义域内连续均在其定义域内连续.14所有基本初等函数在其定义域内都是连续的所有基本初等函数在其定义域内都是连续的. .一切初等函数在其定义域内都是连续的一切初等函数在其定义域内都是连续的. .也就是说，对初等函数来说，连续区间即为其定义域。也就是说，对初等函数来说，连续区间即为其定义域。15 利用函数的连续性可以计算一些极限利用函数的连续性可以计算一些极限. . 初等函数求极限的方法：初等函数求极限的方法：代入法代入法.例例6 6.1esinlim1 xx求求1esin1 原原式式.1esin 例例7 7.11lim20 xxx 求求解解解解

11、11lim20 xxx原式原式20 .0 )()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx16例例8 8.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解) 0()1ln( xxx)()(lim00ufxfxx ).(lim0 xfxx 处连续处连续在在eln uuy极限运算与函数运算可以交换极限运算与函数运算可以交换17例例9 9.1elim0 xxx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式解解,1eyx 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 类似可得类似可得.ln1

12、lim0axaxx ) 0(1e xxx) 0(ln1 xaxax18例例1010.(1)1(lim0）为非零实常数为非零实常数求求 xxx xxxxx)1ln()1ln(1)1(lim0 原式原式解解,1)1(yx 令令, )1ln()1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当)1ln(lim0yyy .111xnxn 前面已证前面已证. xx 1)1 ( xxxxxx)1ln(lim)1ln(1)1(lim00 ) 0( x)0(x19,0时时当当x,sinxx,)1ln(xx ,tanxx,1exx ，221cos1xx ,arcsinxx,arctanxx常用等价无穷小常用等价无穷小:

13、:,ln1axax ,ln)1 (logaxxa xx 1)1 ( 20等价代换原理：等价代换原理：.limlim,lim, 则则存存在在且且设设证证 lim)lim( limlimlim.lim 只有在乘、除的极限运算中才能替换；只有在乘、除的极限运算中才能替换；注意注意在加、减的极限运算中不能替换！在加、减的极限运算中不能替换！21例例1111.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当2202/1)2(limxxx 原式原式.8 22例例1212.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当

14、当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 23例例1313.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解xxxxxx3sincos1lim3sin5tanlim00 原式原式.35 xxxxxx321lim35lim200 24例例1414解解.1111lim30 xxx求求231lim0 xxx 原式原式.32 .)cos1cos(1lim40 xxx 求求例例1515解解420)cos1(21limxxx 原式原式4220)21(21lim

15、xxx .81 .111xnxn ，221cos1xx 25定理定理1(1(有界性与最大值最小值定理有界性与最大值最小值定理) ) 在闭区间上连在闭区间上连续的函数在该区间上有界且能取得最大值和最小值续的函数在该区间上有界且能取得最大值和最小值. .abxyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabacxf 有有使得使得则则若若1 2 1、有界性与最大值最小值定理、有界性与最大值最小值定理四、闭区间上的连续函数四、闭区间上的连续函数记作记作,)(max)(,1xffbax .)(min)(,2xffbax 26xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 注意注意

16、: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.272、介值定理与零点定理、介值定理与零点定理定理定理 2(2(介值定理介值定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba, 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 aaf )( 及及 bbf )(, , 那末，对于那末，对于 a 与与 b 之间的任意一个数之间的任意一个数 c，在开区间，在开区间 ba,内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得cf )( )(ba . . 推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介

17、于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值m与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值 . .28几何解释几何解释:mbcamab1 2 3 2x1xxyo)(xfy .)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲线弧cyxfy 29定理定理 3 3( (零点定理零点定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba, 上连续，且上连续，且)(af与与)(bf异号异号( (即即0)()( bfaf),),那末在开区间那末在开区间 ba,内至少有函数内至少有函数)(xf的一个零的一个零点点, ,即至少有一点即至少有一点 )(ba ，使，使0)( f. . .)(, 0)(000的的零零点点称称为为函函数数则则使使如如果果xfxxfx .),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf ab3 2 1 几何解释几何解释: :.,)(轴轴至至少少有有一一个个交交点点线线弧弧与与则则曲曲轴轴的的不不同同侧侧端端点点位位于于的的两两个个连连续续曲曲线线弧弧xxxfy xyo)(xfy 定义定义30例例1616证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上上连连续续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理由零点定理,使使),(b