第五节多元复合函数与隐函数微分法

1、1证略证略第五节第五节 多元复合函数与隐函数微分法多元复合函数与隐函数微分法定理定理 如果函数如果函数)(tu 及及)(tv 都在点都在点t t可可导，函数导，函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏具有连续偏导数，则复合函数导数，则复合函数)(),(ttfz 在对应点在对应点t t可导，且其导数可用下列公式计算：可导，且其导数可用下列公式计算： uvtz一、多元复合函数的偏导数一、多元复合函数的偏导数.ddddddtvvztuuztz 1 1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 2uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为tz

2、dd类类似似地地, ,若若中中间间变变量量为为三三个个, ,),(wvufz , ,)(tu , , )(tv , ,)(tw , ,则则复复合合函函数数)(),(),(tttfz 的的导导数数为为 .ddddddddtwwztvvztuuztz 3设设vuz 2, ,xvxue ,sin , ,求求xzdd. . 解解例例1 1xvvzxuuzxzdddddd xxuecos2 .e2sinxx 4xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .2 2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形、复合函数的中间变量均为多元函数的情形定定理理 设设),(vufz 具具有有连连续续偏偏导导数数, ,

3、),(yxu , , ),(yxv 可可偏偏导导, ,则则复复合合函函数数),(),(yxyxfz 可可偏偏导导, , 且且有有 链式法则如图示链式法则如图示uvxzy5 vz,xv yz uz链式法则如图示链式法则如图示uvxzy xz uzxu yu vz.yv 2 2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形、复合函数的中间变量均为多元函数的情形定定理理 设设),(vufz 具具有有连连续续偏偏导导数数, ,),(yxu , , ),(yxv 可可偏偏导导, ,则则复复合合函函数数),(),(yxyxfz 可可偏偏导导, , 且且有有 6xwwzxvvzxuuzxz ,zwvuyxywwzy

4、vvzyuuzyz .类类似似地地, ,设设),(wvufz , ,),(yxu , ,),(yxv , , ),(yxw , ,则则复复合合函函数数),(),(),(yxyxyxfz 的的偏偏导导数数为为 7设设vzusine ，而，而xyu ，yxv ， 解解1cosesine vyvuu,)cos()sin(eyxyxyxy 1cosesine vxvuu.)cos()sin(eyxyxxxy 例例2 2求求 xz 和和 yz . xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 8设设 tuvzsin ，而而 tue ，tvcos ， 解解tztvvztuuztz ddddddttuvtco

5、ssine tttttcossinecose .cos)sin(cosetttt 例例3 3.ddtz求求全全导导数数9解解例例4 4设设22 ,yxuxyuz , ,求求yzxz ,. . xfxuufxz yuxxy 2，323yyx yuufyfyz yxyxu2 .323xyx 令令 xyuuyxfz ),(, , 或用求导法则，或用求导法则，)(xuxuyxz 等等，)3(22yxy 10设设)sin(sinsinxyfxu , ,其其中中f可可微微，求求证证 证证例例5 5.coscoscoscosyxyxuxyu xu )cos()(cosxvfx ,)(1 cosvfx yu

6、,cos)(yvf 所以所以yxuxyucoscos xyvfcoscos)( 记记,sinsinxyv yxvfcoscos)(1 .coscosyx 11设设)(xyxfz , ,其其中中f可可微微，求求证证 证证例例6 6.lnzyzyyxzx xz xuufxuf )()(yz 所以所以记记,xyu ,ln)()(yyufxufx ,)(1 xxyufxyuufx )(yzyyxzx lnyyufxuxfxln)()(2 yyufxxln)(2 .)(zyxfx 12设设) (xyxyfz , ,f有有二二阶阶连连续续导导数数, ,求求 解解例例7 7. , ,2yxzyzxz xz

7、, )(2xyyf yz , )1(xxf yxz 2)()1(2xyyxxf . )11 (2xf 13设设 ),(xyzzyxfw ， f 具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数， 解解 记记, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff xwxvvfxuuf ;21fyzf 例例8 8求求 xw 和和 zxw 2. . 同理有同理有,2f ,11f ，22f 等等等等. .14 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fx

8、yf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf ),(xyzzyxfw , , 21fyzfxw 15解解设设),(22yxxyfz , ,f 具具有有连连续续的的二二阶阶 偏导数偏导数, ,求求 yxz 2. . xz ,221fxfy yxz 21f .4)(2221222111fxyfyxfxyf y )2(1211fyfx x2 )2(2221fyfx 例例9 916练习：练习：p324 习题七习题七17若若又又有有)(tgx , ,g可可导导，则则复复合合函函数数)(tgfy 的的微微分分为为 二、一阶全微分的形式不变性二、一阶全微分的形式

9、不变性回顾回顾：结论结论：的的微微分分形形式式总总是是函函数数是是自自变变量量还还是是中中间间变变量量无无论论)(,xfyx xxfyd)(d 设设)(xfy 可可导导，则则xxfyd)(d , , 而而 ttgxd)(d , 因因此此又又有有 xxfyd)(d , , ,d)()(dttgxfy 此性质称为此性质称为一阶微分的形式不变性一阶微分的形式不变性. . 18设设函函数数),(yxfz 可可微微，当当 x,y为为自自变变量量时时，有有全全微微分分 yyzxxzzddd 可以证明，可以证明，当当 x, y 为为 s, t 的的可可微微函函数数，即即),(tsxx ),(tsyy 时时,

10、对复合函数对复合函数),(),(tsyytsxfz , 仍有公式仍有公式 yyzxxzzddd 这就是说，不论这就是说，不论x, ,y是自变量还是中间变量，其微是自变量还是中间变量，其微分形式不变，称为分形式不变，称为一阶微分的形式不变性一阶微分的形式不变性. . 二、一阶全微分的形式不变性二、一阶全微分的形式不变性19解解例例1010 求下列函数的偏导数和全微分求下列函数的偏导数和全微分. . xyyxze)( )1( e)(ddxyyxz )(dede)(yxyxxyxy )d(de)dd(e)(yxyxxyyxxyxy ,d)1(ed)1(e22yxyxxyxyxyxy 所以所以, )1

11、(e2 yxyxzxy.)1(e2 xyxyzxy20解解例例1010 求下列函数的偏导数和全微分求下列函数的偏导数和全微分. . )2ln( )2(2yxxz 所以所以)2ln(dd2yxxz )2ln(dd)2ln(22yxxxyx yxyxxxyx2)2(dd)2ln(222 ,d22d22)2ln(2222yyxxxyxxyx ,22)2ln(222yxxyxxz .222yxxyz 21三、隐函数微分法三、隐函数微分法一元隐函数存在定理一元隐函数存在定理 设设函函数数),(yxf满满足足: : 1 1) ) 0),(00 yxf； 2 2) ) 在在点点),(00yxp的的某某一一邻

12、邻域域内内f具具有有连连续续偏偏导导数数yxff ,； 3 3) ) 0),(00 yxfy, , 则在点则在点),(00yxp的某一邻域内存在惟一的隐函数的某一邻域内存在惟一的隐函数)(xfy , ,满足满足0),( yxf( (当然当然)(00 xfy ),),且且有连续的导数有连续的导数 .ddyxffxy ( (证略证略) ) 22例例1111kepler方程方程 yxysin )10( . . ，取取yxyyxfsin),( ，0cos1 yfy 故故隐隐函函数数)(xfy 必必定定存存在在( (但但写写不不出出显显式式) ). . 23推导推导: : ，0)(,),( xfxfyx

13、f，0dd xyyfxf，0 yf.dd yxffxy yxffxy dd，0),( yxf等式两边对等式两边对x求导，求导， 24例例1212设设2esinxyyx , ,求求xydd. . 解法解法1 1所以所以,e2yfxx 设设2esin),(xyyyxfx , , ,2cosxyyfy .2cosedd2xyyyffxyxyx 25方程两边关于方程两边关于x求导求导, ,得得 ，yxyyyyx 2ecos2解得解得.2cose2xyyyyx 例例1212设设2esinxyyx , ,求求xydd. . 解法解法2 226二元隐函数存在定理二元隐函数存在定理 设设函函数数),(zyxf

14、满满足足: : 1 1) ) 0),(000 zyxf； 2) 2) 在点在点),(000zyxp的某一邻域内的某一邻域内f具有连续偏导数具有连续偏导数zyxfff ,； 3 3) ) 0),(000 zyxfz, , 则则在在点点),(000zyxp的的某某一一邻邻域域内内存存在在惟惟一一的的隐隐函函数数),(yxfz , , 满满足足0 ),(, yxfyxf( (当当然然),(000yxfz ) ), ,且且有有连连续续的的偏偏导导数数 ( (证略证略) ) ，zxffxz .zyffyz 27),(zyxf 两两边边对对x求求偏偏导导, ,得得 0 xzffzx, 而而0 zf zxf

15、fxz . 两两边边对对y求求偏偏导导, ,得得 0 yzffzy, , 而而0 zf zyffyz . 0),(, yxfyxf, 推导推导: : ，0),( zyxf，zxffxz .zyffyz 28例例1313解法解法1 1设设隐隐函函数数),(yxzz 由由方方程程yzxz2sin 确确定定， 求求 yzxz ,. . 设设yzxzzyxf2sin),( ， ,2xyzfx ,sin2zxzfy ,cos2yxzfz 所以所以，yxzxyzffxzzx2cos2 .cos22yxzzxffyzzy 29方程两边关于方程两边关于x 求求偏导数偏导数, , ，xzyxxyzxzz 22c

16、os例例1313解法解法2 2设设隐隐函函数数),(yxzz 由由方方程程yzxz2sin 确确定定， 求求 yzxz ,. . ;cos2 2yxzxyzxz 方程两边方程两边再再关于关于y 求求偏导数偏导数, , ，yzyxzxyzz 22cos.cos 22yxzzxyz 30方程两边求方程两边求全微分全微分, , ，zyxyzxxxyzzzddd2dcos22 例例1313解法解法3 3设设隐隐函函数数),(yxzz 由由方方程程yzxz2sin 确确定定， 求求 yzxz ,. . 解得解得 ,dcosdcos2d222yyxzzxxyxzxyzz 从而从而,cos2 2yxzxyz

17、xz .cos22yxzzxyz 31例例1414解解由由方方程程1543 zxzyz确确定定隐隐函函数数),(yxzz ， 求求)0 , 0(xz , ,)0 , 0(yz . . 视视z为为yx,的的二二元元函函数数),(yxzz , , 方程两边关于方程两边关于x 求求偏导数偏导数, , ，05434342 xzzxzzxzxzzy当当0 yx时时, ,1 z， 代入上式得代入上式得，051 xz;51 )0,0( xz32例例1414解解由由方方程程1543 zxzyz确确定定隐隐函函数数),(yxzz ， 求求)0 , 0(xz , ,)0 , 0(yz . . 视视z为为yx,的的

18、二二元元函函数数),(yxzz , , 方程两边关于方程两边关于y 求求偏导数偏导数, , ，05434323 yzzyzzxyzzyz将将0 yx, ,1 z代代入入， ，051 yz.51 )0,0( yz33设设),(yxfz 由由方方程程0e yxzxxyz所所确确定定，求求zd。 例例1515解解对方程对方程两边两边微分微分，解得解得0)ddd(ededdd xyzxxxyzyxzyxz.dde1e )1(1dyxxxzyxzyxz 34设设04222 zzyx，求求 22xz . 例例1616视视z为为yx,的的二二元元函函数数),(yxzz , ,方方程程两两边边关关于于x求求偏偏导导, ,得得 zxxz 2, 解解0422 xzxzzx22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 35例例1717解解已知已知xyuu e，求，求yxu 2， 设设xyuzyxfu e),(， ,yfx ,xfy ,e1uuf 所以所以，uuxyffxue1 ，u