曲线积分与路径无关的条件北工大

1、四、格林公式四、格林公式定理定理设闭区域设闭区域 d d 由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线 围成，围成，函数函数 与与 在上具有一阶连续偏在上具有一阶连续偏),(yxp),(yxq导数导数，则有则有 .qdypdxdxdyypxqd格林公式格林公式其中其中 是是d d 的取正向的边界曲线的取正向的边界曲线 例例计算计算,)(dyxyxydxc 其中曲线其中曲线c是由是由1)直线直线2)抛物线抛物线;xy ;2xy 3)立方抛物线都是由原点立方抛物线都是由原点.3xy )0 ,0(到点到点).1 , 1(被积函数相同，起点和终点也相同，但被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果不同路

2、径不同而积分结果不同.例例).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是点依次是点，这里，这里有向折线有向折线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线为为其中其中计算计算baooabboyxboxyldyxxydxl 被积函数相同，起点和终点也相同，虽被积函数相同，起点和终点也相同，虽然路径不同但是积分结果相同然路径不同但是积分结果相同.解解xyold 1daly yx xo o应用格林公式，得应用格林公式，得0 012222 dxdyyxydxxdyyxyd

3、xxdydl lyxydxxdyyxydxxdy2222.20 : .sin,cos : ayaxl daaa22222sincos 20 (2) (2) 当当 时，作位于时，作位于d d内圆周内圆周d )0 , 0(,:222ayxl 记记 由和所围成由和所围成1d l.2 五、曲线积分与路径无关的条件五、曲线积分与路径无关的条件定理若函数定理若函数 , , 以及以及ypxq ,在单连通区域在单连通区域g g连续，下列四个断语是等价的：连续，下列四个断语是等价的： ),(bacqdypdx与路线与路线c c无关无关，1.1.曲线积分曲线积分即只与始点即只与始点a a与终点与终点b b有关；有

4、关；),(yxp),(yxq2.2.在在g g中存在一个函数中存在一个函数 , ,使使;qdypdxdu ),(yxu4.4.对对g g内的任意光滑闭曲线内的任意光滑闭曲线. 0 qdypdx;,),(xqypgyx 3.3., 例例 计算计算 其中其中,)()1(222dyyexdxxeycy c是是 的上半圆周的上半圆周, ,顺时针顺时针方向为正方向为正.4)2(22 yxxy024ac例例 验证下列积分与路径无关验证下列积分与路径无关,并求他们的值并求他们的值.);( )()1()1 , 1()0 , 0(dydxyx )2 , 1()1 , 2(2)2(xxdyydx沿在右半平面的路线

5、沿在右半平面的路线; )8 , 6()0 , 1(22)3(yxydyxdx沿不通过原点的路线沿不通过原点的路线;例例 计算计算 ,d)cos(d)sin(ymyexmyyexaox .22axyx )0 ,(aa)0 , 0(o其中其中aoao是从点是从点的上半圆周的上半圆周到点到点oxy )0,(aa定理定理若在单连通区域若在单连通区域g g内函数内函数是是 的原函数，而的原函数，而),(11yxa与与 是是g g内任意两点，则内任意两点，则),(22yxb)(),(1122),(yxuyxudyqdxpbac .),(),(),(2211yxyxyxu ),(yxuqdypdx 证明证明

6、: : 在在g g内任取连接点内任取连接点a a到点到点b b的光滑曲线的光滑曲线:c ttytx),(),(且且),(),(),(11 yx).(),(),(22 yx曲线积分曲线积分 ),(bacdyqdxp .)( )(),()( )(),(dttttqtttp又已知是的原函数，有又已知是的原函数，有),(yxuqdypdx .,yuqxup 则则 ),(bacdyqdxpdttyutxu )( )( dtttudtd )(),( )(),(ttu )(),()(),( uu ,1122yxuyxu ),(),(2211,yxyxyxu ),(0yxc ),(yxb xyo),(00yx

7、a .),(),(),(),(0000dyqpdxqdydxpyxyxyxyx ).,(),(),(),(00000yxudxyxqdyyxpyxuyyxx ),(yxu),(),(00yxuyxu .),(),(00qdydxpyxyx 因为跟路径无关有因为跟路径无关有原函数的求法：原函数的求法：例例 应用曲线积分求应用曲线积分求dyyxdxyx)cos()sin2( 的原函数的原函数.例例设设,)(2dyexdxxyeeduxyxyxy 求函数求函数).,(yxu例例求求22yxydyxdx 在上半平面的原函数在上半平面的原函数例例求求dyyxyxdxyxyx)2()2(2222 的原函数的原函数则则 ypxq解解 令令, 0 p2yxeq 例例为顶点的三角形闭区域为顶点的三角形闭区域. . dyyxe,dd2计算计算是是其