高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.2函数的极值与导数学案新人教A版选修1109122117

1、起3.3.2函数的极值与导数学习目标：1.了解极值的概念、理解极值与导数的关系(难点)2.掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值(重点)3.会根据函数的极值求参数的值(难点)自 主 预 习·探 新 知1极小值点与极小值若函数f(x)满足：(1)在xa附近其他点的函数值f(x)f(a)；(2)f(a)0；(3)在xa附近的左侧f(x)<0，在xa附近的右侧f(x)>0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值2极大值点与极大值若函数f(x)满足： (1)在xb附近其他点的函数值f(x)f(b)；(2)f(b)0；(3)在xb附近的左

2、侧f(x)>0，在xb附近的右侧f(x)<0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值思考：(1)区间a，b的端点a，b能作为极大值点或极小值点吗？(2)若函数f(x)在区间a，b内存在一点c，满足f(c)0，则xc是函数f(x)的极大值点或极小值点吗？提示(1)不能，极大值点和极小值点只能是区间内部的点(2)不一定，若在点c的左右两侧f(x)符号相同，则xc不是极大值点或极小值点，若在点c的左右两侧f(x)的符号不同，则xc是函数f(x)的极大值点或极小值点3极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为极值点(2)极大值与极小值统称为极值4求函数yf(x

3、)的极值的方法解方程f(x)0，当f(x0)0时，(1)如果在x0附近的左侧f(x)>0，右侧f(x)<0，那么f(x0)是极大值. (2)如果在x0附近的左侧f(x)<0，右侧f(x)>0，那么f(x0)是极小值基础自测1思考辨析(1)导数值为0的点一定是函数的极值点()(2)函数的极大值一定大于极小值()(3)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合()(4)函数f(x)有极值()答案(1)×(2)×(3)(4)×2函数yx31的极大值是()a1b0c2d不存在dy3x20，则函数yx31在r上是增函数，不存在极大值3若x2与x4是函

4、数f(x)x3ax2bx的两个极值点则有() 【导学号：97792153】aa2，b4 ba3，b24ca1，b3 da2，b4bf(x)3x22axb，依题意有x2和x4是方程3x22axb0的两个根，所以有24，2×4，解得a3，b24.合 作 探 究·攻 重 难求函数的极值(1)已知函数f(x)ax3bx2c，其导函数f(x)的图象如图3­3­8所示，则函数f(x)的极小值是()图3­3­8aabcb3a4bcc3a2b dc(2)求下列函数的极值：f(x)x3x23x3；f(x)2.解析(1)由f(x)的图象知，当x<0

5、时，f(x)<0，当0<x<2时，f(x)>0，当x>2时，f(x)<0因此当x0时，f(x)有极小值，且f(0)c，故选d.答案 d(2)函数的定义域为r，f(x)x22x3.令f(x)0，得x3或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值6x1是f(x)的极大值点，x3是f(x)的极小值点，且f(x)极大值，f(x)极小值6.函数的定义域为r，f(x).令f(x)0，得x1或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)

6、极小值3极大值1由表可以看出：当x1时，函数f(x)有极小值，且f(1)23；当x1时，函数f(x)有极大值，且f(1)21.规律方法函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域. (2)求方程f(x)0的根(3)用方程f(x)0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格(4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然跟踪训练1求下列函数的极值(1)f(x)2x；(2)f(x)3ln x.解(1)因为f(x)2x，所以函数的定义域为x|xr且x0，f(x)2，令f(x)0，得x12，x

7、22.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,0)(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值8极小值8因此，当x2时，f(x)有极大值8；当x2时，f(x)有极小值8.(2)函数f(x)3ln x的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0，得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值3因此，当x1时，f(x)有极小值3，无极大值.已知函数的极值求参数范围(值)已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，求a，b的值. 【导学号：97792154】思路探究f(x)在x1处有极值0有两方面的含义：一方

8、面x1为极值点，另一方面极值为0，由此可得f(1)0，f(1)0.解f(x)3x26axb且函数f(x)在x1处有极值0，即解得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，此时函数f(x)在r上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x(，3)时，f(x)0，此时f(x)为增函数；当x(3，1)时，f(x)0，此时f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)0，此时f(x)为增函数故f(x)在x1处取得极小值a2，b9.规律方法已知函数的极值情况求参数时应注意两点(1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解(

9、2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证跟踪训练2(1)函数f(x)x3ax2bxa2在x1时有极值10，则a，b的值为()aa3，b3或a4，b11ba4，b2或a4，b11ca4，b11d以上都不对cf(x)3x22axb.由题意知解得或当a3，b3时，f(x)3(x1)20，不合题意，故a4，b11.(2)函数f(x)x3x2ax1有极值点，求a的取值范围解f(x)x22xa，由题意，方程x22xa0有两个不同的实数根，所以44a>0，解得a<1.所以a的取值范围为(，1)函数极值的综合应用探究问题1如何画三次函数f(x)ax3bx2cx

10、d(a0)的大致图象？提示：求出函数的极值点和极值，根据在极值点左右两侧的单调性画出函数的大致图象2三次函数f(x)ax3bx2c(a0)的图象和x轴一定有三个交点吗？提示：不一定，三次函数的图象和x轴交点的个数和函数极值的大小有关，可能有一个也可能有两个或三个已知a为实数，函数f(x)x33xa(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)(2)当a为何值时，方程f(x)0恰好有两个实数根思路探究(1)求出函数f(x)的极值点和极值，结合函数在各个区间上的单调性画出函数的图象(2)当极大值或极小值恰好有一个为0时，方程f(x)0恰好有两个实数根解(1)由f(x)x33xa，得f(x)3x2

11、3, 令f(x)0，得x1或x1.当x(，1)时，f(x)<0；当x(1,1)时，f(x)>0；当x(1，)时，f(x)<0.所以函数f(x)的极小值为f(1)a2；极大值为f(1)a2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，(2)结合图象，当极大值a20时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰有两个实数根，所以a2满足条件；当极小值a20时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰好有两个实数根，所以a2满足条件综上，当a±2时，方程恰有两个实数根母题探究：1.本例中条件不变，试求当a

12、为何值时，方程f(x)0有三个不等实根解由例题解析知，当即2<a<2时，方程f(x)0有三个不等实根2若本例条件改为：已知函数f(x)x36x5，xr.试求：(1)函数f(x)的单调区间和极值(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值范围解(1)f(x)3x26，令f(x)0，解得x1，x2.因为当x>或x<时，f(x)>0；当<x<时，f(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(，)和(，)；单调递减区间为(，)当x时，f(x)有极大值54；当x时，f(x)有极小值54.(2)由(1)的分析知yf(x)的图象的大致形状及走向

13、如图所示所以，当54<a<54时，直线ya与yf(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)a有三个不同的实根规律方法利用导数研究方程根的个数利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便当 堂 达 标·固 双 基1下列四个函数中，能在x0处取得极值的是()yx3；yx21；ycos x1；y2x.abc db为单调函数，不存在极值2函数f(x)的定义域为r，导函数f(x)的图象如图3­3­9所示，则函数f(x)()图3

14、­3­9a无极大值点，有四个极小值点b有三个极大值点，两个极小值点c有两个极大值点，两个极小值点d有四个极大值点，无极小值点c当f(x)的符号由正变负时，f(x)有极大值，当f(x)的符号由负变正时，f(x)有极小值由函数图象易知，函数有两个极大值点，两个极小值点3函数y348xx3的极小值是_；极大值是_131125y3x2483(x4)(x4)，当x(，4)(4，)时，y<0；当x(4,4)时，y>0，x4时，y取到极小值131，x4时，y取到极大值125.4已知函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_(，1)(2，)f(x)3x26ax3(a2)，函数f(x)既有极大值又有极小值，方程f(x)0有两个不相等的实根36a236(a2)0.即a2a20，解之得a2或a1.5已知函数f(x)ax2bln x在x1处有极值.(1)求a，b的值(2)判断函数f(x)的单调区间，并求