第四章曲线与曲面

1、第四章 曲线与曲面4.1曲线4.2曲面的基本概念4.3回转面4.4非回转直纹曲面一、曲线的形成和分类一、曲线的形成和分类 1 1、形成：、形成：曲线可看作一动点在连续运动中不曲线可看作一动点在连续运动中不断改变方向所形成的轨迹，或平面与断改变方向所形成的轨迹，或平面与曲面、曲面与曲面的交线。曲面、曲面与曲面的交线。 2 2、分类：、分类： 1 1）平面曲线）平面曲线：曲线上所有点都在同一平：曲线上所有点都在同一平面上的曲线。如：圆、椭圆、抛物线、面上的曲线。如：圆、椭圆、抛物线、双曲线等。双曲线等。 2 2）空间曲线）空间曲线：曲线上四个连续的点不在：曲线上四个连续的点不在同一平面上的曲线。如

2、圆柱螺旋线。同一平面上的曲线。如圆柱螺旋线。土木工程制图4.1 4.1 曲线曲线1 1）曲线的投影一般仍是曲线）曲线的投影一般仍是曲线；2 2）当）当平面曲线平面曲线所在的平面所在的平面垂直垂直于投影于投影 面时，曲线在该投影面的投影为直线。面时，曲线在该投影面的投影为直线。3 3）当）当平面曲线平面曲线所在的平面所在的平面平行平行于投影于投影 面时，曲线在该投影面的投影为实形。面时，曲线在该投影面的投影为实形。土木工程制图二、曲线的投影二、曲线的投影(a)投影为直线投影为变形曲线aa投影为实形(b)(c)(a) (a) 投影为实形投影为实形 (b) (b) 投影为直线投影为直线 (c) (c

3、) 投影为变形曲线投影为变形曲线土木工程制图平面曲线的投影平面曲线的投影1 1、投影面平行圆、投影面平行圆 在所平行的投影面上投影为实形圆；另两投在所平行的投影面上投影为实形圆；另两投影为直线，长等于圆的直径。影为直线，长等于圆的直径。2 2、投影面垂直圆、投影面垂直圆 在所垂直的投影面上投影为直线，长等于直在所垂直的投影面上投影为直线，长等于直径；另两投影为椭圆。径；另两投影为椭圆。3 3、一般位置圆、一般位置圆 三投影均为椭圆，长轴等于圆的直径。三投影均为椭圆，长轴等于圆的直径。土木工程制图三、圆的投影三、圆的投影土木工程制图 正平圆 正垂圆 oxoxox土木工程制图例例1 1：已知铅垂圆

4、对：已知铅垂圆对v v面的倾角面的倾角=60=60，圆，圆 直径直径=40mm=40mm，求作该圆的两面投影。，求作该圆的两面投影。三、圆柱螺旋线三、圆柱螺旋线1 1、形成、形成: :当一动点当一动点m m沿着一直线等速移动，而该直线同时沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它平行的一轴线绕与它平行的一轴线o o等速旋转时，动点的轨迹就是一根等速旋转时，动点的轨迹就是一根圆柱螺旋线。圆柱螺旋线。导程导程ph旋向旋向右螺旋线右螺旋线左螺旋线左螺旋线直径直径圆柱螺旋圆柱螺旋线三要素线三要素1 1、圆柱的直径、圆柱的直径 2 2、导程、导程p ph h：当动点所在直母线旋转一周时，点沿该母：当动点所在

5、直母线旋转一周时，点沿该母 线移动的距离称为螺旋线的导程线移动的距离称为螺旋线的导程 3 3、旋向：分为、旋向：分为右旋右旋、左旋左旋两种两种 右螺旋线从左向右右螺旋线从左向右经过圆柱面的前面而上经过圆柱面的前面而上升的。图升的。图(a)(a)； 左螺旋线左螺旋线从右向左从右向左经过圆柱面的前面而上经过圆柱面的前面而上升的。图升的。图(b)(b)；螺旋线的画法螺旋线的画法 螺旋线的展开ph2r30691290600一、曲面的形成一、曲面的形成 一条动线按一定约束条件移动的轨迹称为曲面一条动线按一定约束条件移动的轨迹称为曲面。该动线称。该动线称为为母线母线；曲面轨迹中任一位置的母线统称为；曲面轨

6、迹中任一位置的母线统称为素线素线；控制或约束；控制或约束母线运动的线、面，分别称为母线运动的线、面，分别称为导线、导面导线、导面。导线可以是直线或。导线可以是直线或曲线，导面可以是平面或曲面。曲线，导面可以是平面或曲面。土木工程制图4.2 4.2 曲面的形成和分类曲面的形成和分类 根据曲面和母线的性质、形成方法等的不同，根据曲面和母线的性质、形成方法等的不同，曲面的分类如下：曲面的分类如下： (1) (1) 按母线的形状分按母线的形状分，曲面可分为直线面和曲线面。，曲面可分为直线面和曲线面。 (2) (2) 按母线的运动方式分按母线的运动方式分，曲面可分为回转面和非，曲面可分为回转面和非 回转

7、面。回转面。 (3) (3) 按母线在运动中是否变化分按母线在运动中是否变化分，曲面可分为定母，曲面可分为定母线和变母线面。线和变母线面。 (4) (4) 按曲面是否能无折皱地摊平按曲面是否能无折皱地摊平在一个平面上来曲在一个平面上来曲面可分为可展曲面和不可展曲面。面可分为可展曲面和不可展曲面。 (5) (5) 按母线运动是否有规律来分按母线运动是否有规律来分，曲面可分为规则，曲面可分为规则曲面和不规则曲面。曲面和不规则曲面。土木工程制图二、曲面的分类：二、曲面的分类：土木工程制图4.3 4.3 回转面回转面 从控制条件上说，由母线绕一固定的轴线旋从控制条件上说，由母线绕一固定的轴线旋转生成的

8、曲面称为转生成的曲面称为回转面回转面，该固定轴线称为旋转，该固定轴线称为旋转轴。例如圆柱面、圆锥面，只能由曲母线旋转生轴。例如圆柱面、圆锥面，只能由曲母线旋转生成的称为旋转成的称为旋转曲线面曲线面，例如球面、圆环面等。，例如球面、圆环面等。 素线转向轮廓线下底圆回转轴线上底圆喉圆纬圆赤道圆a) ) 立体图立体图土木工程制图b) ) 投影图投影图土木工程制图土木工程制图一、圆柱面一、圆柱面圆柱面是一直母线沿圆周绕与它平行的轴线旋转而成。圆柱面是一直母线沿圆周绕与它平行的轴线旋转而成。 圆柱面上与轴线平圆柱面上与轴线平行的任一直线称为圆柱行的任一直线称为圆柱面的面的素线素线。 圆柱圆柱由圆柱面和上

9、、由圆柱面和上、下两底面组成。下两底面组成。 圆柱面可看成是由圆柱面可看成是由直线直线aaaa1 1绕与它平行的绕与它平行的轴线旋转而成。轴线旋转而成。直线直线aaaa1 1称为称为母线母线。土木工程制图1 1、圆柱面的投影、圆柱面的投影圆柱面投影的画法圆柱面投影的画法圆柱体的投影分析圆柱体的投影分析（回转轴垂直于h面） 水平投影是一个圆，这个圆既是上底圆和下底圆的重合投影，反映实形，又是圆柱面的积聚投影，其半径等于底圆的半径，回转轴的投影积聚在圆心上（通常用细点画线画出十字对称中心线） 。 正面投影和侧面投影是两个相等的矩形，矩形的高度等于圆柱的高度，宽度等于圆柱的直径（回转轴的投影用细点画

10、线来表示） 。圆柱体的投影分析圆柱体的投影分析（回转轴垂直于h面） 正面投影的左、右边线分别是圆柱最左、最右的两条轮廓素线的投影，这两条素线把圆柱分为前、后两半，他们在w面上的投影与回转轴的投影重合。 侧面投影的左、右边线分别是圆柱最前、最后的两条轮廓素线的投影，这两条素线把圆柱分为左、右两半，他们在v面上的投影与回转轴的投影重合。ac(b )圆柱表面取点圆柱表面取点素线法acbb (c) a 圆柱面上线段的投影ab2c1a1c2(b)2bc1a 圆锥面可看成是由直线圆锥面可看成是由直线sa绕与它相交的轴线绕与它相交的轴线oo1旋转形成的。旋转形成的。 圆锥圆锥由圆锥面和底面由圆锥面和底面组成

11、。组成。 圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线素线。 s称为称为锥顶锥顶，直线，直线sa称称为为母线母线。土木工程制图2.2.圆锥面圆锥面1.1.圆锥面的投影圆锥面的投影圆锥体的投影分析圆锥体的投影分析（回转轴垂直于h面） 正面投影的左、右边正面投影的左、右边线分别是圆锥最左、最右线分别是圆锥最左、最右的两条轮廓素线的投影，的两条轮廓素线的投影，这两条素线把圆柱分为前、这两条素线把圆柱分为前、后两半，他们在后两半，他们在w面上的面上的投影与回转轴的投影重合，投影与回转轴的投影重合，在在h面上的投影与圆的水面上的投影与圆的水平中心线重合。平中心线重合。 侧

12、面投影的左、右边侧面投影的左、右边线分别是圆锥最前、最后线分别是圆锥最前、最后的两条轮廓素线的投影，的两条轮廓素线的投影，这两条素线把圆柱分为左、这两条素线把圆柱分为左、右两半，他们在右两半，他们在v面上的面上的投影与回转轴的投影重合，投影与回转轴的投影重合，在在h面上的投影与圆的竖面上的投影与圆的竖直中心线重合。直中心线重合。土木工程制图2.2.圆锥面上点的投影圆锥面上点的投影 素线法素线法 纬圆法纬圆法特殊位置点可直接求得。特殊位置点可直接求得。一般位置点可用一般位置点可用素线法素线法或或纬圆法纬圆法两种方法求得。两种方法求得。bbabbabaaa素线法素线法s mss m kk f n

13、n k n f 过过锥锥顶顶作作一一条条素素线线f土木工程制图素线法素线法纬圆法纬圆法(b) (b) 投影图投影图(a) (a) 圆锥面上一点圆锥面上一点aaaaa s s ss如何取圆的半径？如何取圆的半径？(k )k(k )土木工程制图纬圆法纬圆法圆锥面上线段的投影aecaedbdccedb 三个投影图三个投影图均为均为与圆球的直径相等的与圆球的直径相等的圆圆，它们分别是圆球它们分别是圆球三个方向三个方向轮廓素线轮廓素线的投影。的投影。1.1.球面的投影图球面的投影图圆球面圆球面：是由一是由一圆母线以圆母线以它的直径为回转轴旋转而它的直径为回转轴旋转而成。成。土木工程制图三三. . 球面球

14、面土木工程制图圆球的投影圆球的投影2.圆球面上点的投影圆球面上点的投影纬圆法纬圆法mmmm(c )ab(c)(b )bb a aa 注意：注意：轮廓线的投影轮廓线的投影与与曲面可见性的判断曲面可见性的判断纬圆法纬圆法圆的半径？圆的半径？(c) c 土木工程制图圆球面上点的投影圆球面上点的投影圆球面上线段的投影圆球面上线段的投影cac2ba1c2(b)a2b11 四、单叶双曲回转面1.单叶双曲回转面的形成 单叶双曲回转面由直母线绕与它交叉的轴线旋转而成。 一直母线围一直母线围绕与之相错的轴绕与之相错的轴线作回转运动即线作回转运动即形成一形成一单叶双曲单叶双曲回转面。回转面。 单叶双曲回转单叶双曲

15、回转面的相邻两素线为面的相邻两素线为相错直线，所以是相错直线，所以是不可展曲面不可展曲面 2. 单叶双曲回转面的画法135357997111111 79 113 55 119 71 33. 单叶双曲回转面上点的投影b(a)ab 总结 若已知点是v面投影，则用纬圆法；若已知点是h面投影，可用纬圆法或素线法。4.4 4.4 非回转直纹曲面非回转直纹曲面 曲面上的相邻两素线为平行或相交的共面直线，这种曲面上的相邻两素线为平行或相交的共面直线，这种曲面可以展开，所以是曲面可以展开，所以是可展直纹曲面可展直纹曲面。 曲面上的相邻两素线为交叉的异面直线，这种曲面只能曲面上的相邻两素线为交叉的异面直线，这种

16、曲面只能近似的展开，所以是近似的展开，所以是不可展直纹曲面或扭面不可展直纹曲面或扭面。 锥面柱面双曲抛物面锥状面柱状面一、锥面一、锥面 一直母线沿曲导线一直母线沿曲导线运动且运动且始终通过一定点始终通过一定点（锥顶）而形成的曲面称（锥顶）而形成的曲面称为为锥面锥面。 锥面的相邻两素线为锥面的相邻两素线为过锥顶的相交直线，位于过锥顶的相交直线，位于同一平面内，所以是同一平面内，所以是可展可展曲面曲面。 作图时，一般只画出作图时，一般只画出锥顶锥顶、导线导线和和曲面的轮廓曲面的轮廓线线，必要时还要画出必要时还要画出若干素线若干素线及及曲面的曲面的h面迹线面迹线 正圆锥面正圆锥面 斜圆锥面斜圆锥面

17、正椭圆锥面正椭圆锥面 斜椭圆锥面斜椭圆锥面 二、柱面二、柱面 一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导线而形一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导线而形成的曲面称为成的曲面称为柱面柱面；柱面的相邻两素线为平行直线，位于同柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面内，所以是一平面内，所以是可展曲面可展曲面。 作图时一般应画出曲导线和直导线，必要时还要画出若干作图时一般应画出曲导线和直导线，必要时还要画出若干素线素线。 几种柱面 直圆柱面直圆柱面 斜圆柱面斜圆柱面 直椭圆柱面直椭圆柱面 斜椭圆柱面斜椭圆柱面 1 1 双曲抛物面的形成双曲抛物面的形成 一直母线沿两交叉直一直母线沿两交叉直导线连续运动

18、，同时导线连续运动，同时始终平行于一始终平行于一导导平面，其运动轨迹称为双曲抛物面。平面，其运动轨迹称为双曲抛物面。2 2 双曲抛物线的画法双曲抛物线的画法（1 1） 画出画出两条两条直导线直导线的两面投影的两面投影；（2 2） 作出作出直母线的两面投影：直母线的两面投影：（3 3） 作出该曲面上各素线的作出该曲面上各素线的投影投影。三、双曲抛物面三、双曲抛物面 1. 双曲抛物面的形成导平面直导线直导线直母线2双曲抛物面的画法1 1 柱状面的形成柱状面的形成 一直母线沿两条一直母线沿两条曲导线连续运动，同时曲导线连续运动，同时始终平行于一始终平行于一导平导平面，这样形成的曲面称为柱状面面，这样形成的曲面称为柱状面2 2 柱状面的画法柱状面的画法（1 1） 画出画出两条两条曲导线曲导线的两面投影的两面投影；（2 2） 作出作出直母线的两面投影：直母线的两面投影：（3 3） 作出该曲面上各素线的作出该曲面上各素线的投影。投影。四、柱状面四、柱状面1柱状面的形成导平面曲导线曲导线柱状面的投影图2.2.柱状面的画法柱状面的画法五、锥状面五、锥状面 一直母线同时沿着一条直导线和一条曲