人教版高中数学选修11：3.1 变化率与导数 课后提升作业 十八 3.1.13.1.2 Word版含解析

1、高中数学选修精品教学资料课后提升作业 十八变化率问题导数的概念(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在时间3,3+ts内的平均速度是()a.5+t(m/s)b.5+(t)2(m/s)c.5(t)2+t(m/s)d.5(t)2(m/s)【解析】选a.因为s=1-(3+t)+(3+t)2-(1-3+32)=(t)2+5t,所以物体在时间3,3+ts内的平均速度是st=(t)2+5tt=t+5.2.(2016·天津高二检测)如图,函数y=f(x)在a,b两点间的平均变化率是()a.1b.-1

2、c.2d.-2【解题指南】可直接求直线ab的斜率.【解析】选b.yx=f(3)-f(1)3-1=1-32=-1.3.(2016·宝鸡高二检测)如果函数f(x)=ax+b在区间1,2上的平均变化率为3,则a=()a.-3b.2c.3d.-2【解析】选c.根据平均变化率的定义,可知yx=(2a+b)-(a+b)2-1=a=3.4.过曲线y=f(x)=x1-x图象上一点(2,-2)及邻近一点(2+x,-2+y)作割线,则当x=0.5时割线的斜率为()a.13b.23c.1d.-53【解题指南】利用平均变化率的几何意义解题.【解析】选b.limx0.5yx=limx0.5f(2+x)-f(2

3、)x=limx0.52+x1-(2+x)-(-2)x=limx0.511+x=23.【补偿训练】已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+x,1+y),则yx等于()a.4b.4+2xc.4+xd.4x+(x)2【解析】选b.因为f(x)=2x2-1,所以f(1+x)=2(1+x)2-1=2(x)2+4x+1,f(1)=1,所以yx=f(1+x)-f(1)1+x-1=f(1+x)-f(1)x=2(x)2+4x+1-1x=4+2x.5.f(x)在x=x0处可导,则limx0f(x0+x)-f(x0)x()a.与x0,x有关b.仅与x0有关,而与x无关c.仅与x有关,而与x

4、0无关d.与x0,x均无关【解析】选b.式子limx0f(x0+x)-f(x0)x表示的意义是求f(x0),即求f(x)在x0处的导数,它仅与x0有关,与x无关.【补偿训练】设f(x)在x=x0处可导,则limx0f(x0-x)-f(x0)x等于()a.-f(x0)b.f(-x0)c.f(x0)d.2f(x0)【解析】选a.limx0f(x0-x)-f(x0)x=limx0-f(x0)-f(x0-x)x=-limx0f(x0)-f(x0-x)x=-f(x0).6.函数y=x+1x在x=1处的导数是()a.2b.52c.1d.0【解析】选d.y=(x+1)+1x+1-1-1=x+-xx+1,yx

5、=1-1x+1,limx0yx=limx01-1x+1=1-1=0,所以,函数y=x+1x在x=1处的导数为0.7.(2016·潮州高二检测)物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是()a.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度b.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度c.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度d.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度【解析】选c.在0到t0范围内,甲、乙所走的路程相同,时间一样,所以平均速度相同,在t0到t1范围内,时间相同,而甲走的路程较大,所以甲的平均速度较大.8.函数y=f(x)=x2

6、在区间x0,x0+x上的平均变化率为k1,在区间x0-x,x0上的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为()a.k1>k2b.k1<k2c.k1=k2d.不确定【解题指南】分别利用平均变化率公式求出k1与k2再进行比较.【解析】选a.由题意k1=f(x0+x)-f(x0)x=(x0+x)2-x02x=2x0+x,k2=f(x0)-f(x0-x)x=x02-(x0-x)2x=2x0-x.由题意知:x>0,所以k1>k2.二、填空题(每小题5分,共10分)9.物体做匀速运动,其运动方程是s=vt,则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是.【解析】物体做

7、匀速运动,所以任何时刻的瞬时速度都是一样的.答案:相等10.(2016·武汉高二检测)在自行车比赛中,运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系s=10t+5t2(s单位:m,t单位:s),则t=20s时的瞬时速度为.【解析】由导数的定义知v=st=10(t+t)+5(t+t)2-10t-5t2t=10+10t+5t.当t趋于0时,v趋于10+10t,在t=20s时的瞬时速度为v=10×20+10=210m/s.答案:210m/s【规律总结】做直线运动的物体,它的运动规律可以用函数s=s(t)描述,设t为时间改变量,在t0+t这段时间内,物体的位移(即位置)改变量是s=s(t0

8、+t)-s(t0),那么位移改变量s与时间改变量t的比就是这段时间内物体的平均速度v,即v=st=s(t0+t)-s(t0)t.【补偿训练】若物体运动方程为s(t)=-2t2+t,则其初速度为.【解析】物体的初速度即t=0时的瞬时速度,st=-2(0+t)2+(0+t)-0t=-2t+1,当t趋于0时,st趋于1,即初速度为1.答案:1三、解答题11.(10分)(2016·济南高二检测)已知质点m按规律s=3t2+2做直线运动(位移s单位:cm,时间t单位:s).(1)当t=2,t=0.01时,求st.(2)求质点m在t=2时的瞬时速度.【解析】st=s(t+t)-s(t)t=3(t

9、+t)2+2-(3t2+2)t=6t+3t.(1)当t=2,t=0.01时,st=6×2+3×0.01=12.03cm/s.(2)当t趋于0时,6t+3t趋于6t,所以质点m在t=2时的瞬时速度为12cm/s.【补偿训练】1.(2016·聊城高二检测)求函数y=x在x=1处的导数.【解析】y=1+x-1,yx=1+x-1x=11+x+1,所以limx0=11+x+1=12,即函数y=x在x=1处的导数为12.2.质点m按规律s(t)=at2+1做直线运动(位移s的单位:m,时间t的单位:s).问是否存在常数a,使质点m在t=2时的瞬时速度为8m/s?【解析】假设存

10、在常数a,则s=s(2+t)-s(2)=a(2+t)2+1-a×22-1=4a+4at+a(t)2+1-4a-1=4at+a(t)2,所以st=4at+a(t)2t=4a+at.当t趋于0时,4a+at趋于4a,4a=8,解得a=2.所以存在常数a=2,使质点m在t=2时的瞬时速度为8m/s.【规律总结】对于是否存在的探究性问题,可先假设其存在,然后按瞬时速度的定义求解即可.3.路灯距地面8m,一个身高1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影c沿某直线离开路灯,(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式.(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率.【解析】(1)如图所示,设人从c点运动到b处的路程为xm,ab为身影长度,ab的长度为ym.由于cdbe,则abac=bec