第四章曲线积分与曲面积分第四节对面积的曲面积分

1、第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分1对面积的曲面积分的概念与性质对面积的曲面积分的概念与性质二二 对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法xyzo一一 对面积的曲面积分的概念与性质对面积的曲面积分的概念与性质引例引例: 设曲面形构件具有连续面密度设曲面形构件具有连续面密度),(zyx 类似求平面薄板质量的思想类似求平面薄板质量的思想, 采用采用kkkks ),( 可得可得 nk 10lim m求质求质 “大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极限求极限” 的方法的方法,量量 m.其中其中, 表示表示 n 小块曲面的直径的小块曲面的直径的最大值最大值 (曲面的直径

2、为其上任意两点间距离的最大者曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). ),(,kkk ks szyxmd),( 定义定义:设设 为有界光滑曲面为有界光滑曲面,“乘积乘积和式极限和式极限” kkkksf ),( nk 10lim 都存在都存在,的的曲面积分曲面积分 szyxfd),(其中其中 f (x, y, z) 叫做叫做被积被积据此定义据此定义, 曲面形构件的质量为曲面形构件的质量为曲面面积为曲面面积为 ssdf (x, y, z) 是定义在是定义在 上的一上的一 个有界个有界函数函数,记作记作或或第一类曲面积分第一类曲面积分.若对若对 做做任意分割任意分割和局部区域和局部区域则称此极限为

3、函数则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面在曲面 上上对面积对面积函数函数, 叫做叫做积分曲面积分曲面.任意取点任意取点,ds叫做叫做曲面面积元素曲面面积元素。则对面积的曲面积分存在则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性对积分域的可加性.,21 则有则有 szyxfd),(1( , , )df x y zs 2( , , )df x y zs szyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质线性性质.则则为常数为常数设设,21kk szyxgkszyxfkd),(d),(21),(zyxf若若在有界光滑曲面在有界光滑曲面 上上对面积对面积的曲面积分与的曲面积分与对弧长对弧长的曲

4、线积分性质类似的曲线积分性质类似. 积分的存在性积分的存在性. 若若 是分片光滑的是分片光滑的,例如分成两例如分成两片光滑曲面片光滑曲面连续连续,二二 对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法 定理定理: 设有光滑曲面设有光滑曲面yxdyxyxzz ),(),(:f (x, y, z) 在在 上连续上连续,存在存在, szyxfd),( xydyxf),( szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122 则则曲面曲面证明证明: 由定义知由定义知 szyxfd),(kkkksf ),( nk 10lim 积分积分且有且有 ksyxzzkyxdd1)(22 )(

5、),(),(122kkkykkxzz 0lim nk 1)( ),(),(122kkkykkxzz ),(,(kkkkzf 则则( 光滑光滑)xyzo ),(,kkk ks xydk )0 ,(, kk szyxfd),(kkkksf ),( nk 10lim 取取kkkk ,),(kkkz 同理如果同理如果xzdzxzxyy ),(),(: dszyxf),( xzd),(,(zzxyxfdxdzyyzx221 :( , ),( , )yzxx y zy zd dszyxf),( yzd),),(zyzyxfdydzxxzy221 yxyxzyxzyxfyxdxydd),(),(1),(22

6、 ),(yxzxyzo例例1. 计算曲面积分计算曲面积分,d zs其中其中 是球面是球面222zyx 被平面被平面)0(ahhz 截出的顶部截出的顶部.解解: :yxdyxyxaz ),( ,:2222222:hayxdyx 221yxzz 222yxaa zsd 20da222212ln()20ahaa haaln2 xydyxayxa222dd 22022dhaa 2a h例例2. 计算计算,d szyx其中其中 是由平面是由平面坐标面所围成的四面体的表面坐标面所围成的四面体的表面. ozyx111解解: 设设上的部分上的部分, 则则4321, 4dszyx,1:4yxz 1010:),(

7、xxydyxyx xyyxy10d)1(1203 1 zyx与与, 0, 0, 0 zyx 10d3xx1 zyx 4321szyxd 原式原式 = 分别表示分别表示 在平面在平面 xyz,1222 dszyx hzz , 0.222ryx 例例3 3 计算计算其中其中是介于平面是介于平面之间的圆柱面之间的圆柱面 解解o21 yzdzyyrx ),(,:221yzdzyyrx ),(,:221hzryrdyz 0 ,:在在21, 上上dydzxxdszy221 dydzyrr22 原式原式 21 yzddydzyrrzr222212 hrrdzzrrdyyr0222212rharctan2 z

8、yx,)(222dszyx 1| zyx例例4 4 计算计算其中其中是由平面是由平面围成的正八面体的表面围成的正八面体的表面. .解解设设xydyxyxz ),(,1:110 ,10: xxydxy由对称性得由对称性得,)(222dszyx 1)(8222dszyx8 dxdy111 )1(222yxyx xyd1122008 3(122222)xdxxyxyxydy 32 o1 )10)(2122 zyxz. z 例例5 5 求抛物面壳求抛物面壳的质量的质量,此壳此壳的面密度的大小为的面密度的大小为解解zyxo zdsm2:22 yxdxy221xydszz dxdy221xy dxdy x

9、yddxdyyxyx22221)(21 202320121 dd)136(152 222yxrz 例例5 5 求均匀半球壳求均匀半球壳的形心的形心.解解zyxo由对称性由对称性0 yx22 ra 半球壳的面积半球壳的面积 zdsmxy dxdyyxrr222 222yxr d3r 2ramzxy 三三 积分的统一定义积分的统一定义定义定义设设q 为一可以度量的有界的几何形状，为一可以度量的有界的几何形状，)(mf定义在定义在q 上的有界函数，上的有界函数，,kq （其度量仍记为（其度量仍记为)kq 作和式作和式kkqmf )( nk 1记记max1knkd ),(的直径的直径为为kkqd 当当0 时，时， 和式的极和式的极限存在限存在（与（与q的划分，点的划分，点km在在kq 取法无关），取法无