高一数学必修4《三角函数》教案

1、两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式 .通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础 .二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、教学设想：（一）导入：问题1：我们在初中时就知道cos4523，由此我们 能否得到 cos15 cos 45 30?cos3022大家可以猜想，是不是等于cos45cos30 呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面

2、我们就一起探讨两角差的余弦公式cos?（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为P1 ，cos 等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示。思考 1：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）思考 2：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？（ 1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？（ 2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？两角差的余弦公式：cos()coscossinsin（三）例题讲解例 1、利用和、差角余弦公式求cos75 、 cos15

3、的值 .解：分析：把75 、 15 构造成两个特殊角的和、差.cos75cos 45 30232162cos45 cos30 sin45 sin3022242c o s 1 5c o s 4 5 3 0232162c o s 4 5 c o s 3 0 s i n 4 5 s i n 3 024222点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos15cos 6045，要学会灵活运用.例 2、已知 sin4，2,cos5 ,是第三象限角，求cos的值 .5132解：因为, ， sin4由此得 cos1sin214325555 ,2又因为 cos是第三象限角，所以 si

4、n1 cos21512131313所以 cos()coscossinsin354123351351365点评：注意角、的象限，也就是符号问题.思考：本题中没有,)，呢？2（四）练习： 1.不查表计算下列各式的值：（1）cos80 cos 20sin 80 sin 2013（2） cos15sin 15221解:（1）cos80cos 20sin 80 sin 20cos(80 20 ) cos6022教材 P127 面 1、 2、 3、 4 题（五）小结：两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，

5、学会灵活运用 .（1）牢记公式 C()C CS S（ 2）在 “给值求值 ”题型中，要能灵活处理已、未知关系（六）作业：习案作业二十九两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、教学设想：（一）复习式导入：（ 1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：coscoscossinsin（2） sincos ？（二）新课讲授问题： 由两角差的余弦

6、公式，怎样得到两角差的正弦公式呢？探究 1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.sincoscoscoscossinsin2222sincoscos sinsinsinsin coscossinsincoscos sin探究 2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）tansinsincoscossincoscoscossinsin探究 3、我们能否推倒出两角差的正切公式呢？tantantantantantantan1 tantan1 tan探究 4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan、 tan的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos costa

7、ntan，得到 tantan1 tan注意：k ,k ,k ( k z)2225、将 S() 、 C() 、 T() 称为和角公式，S() 、 C() 、 T() 称为差角公式。（三）例题讲解例 1、已知 sin3 ,是第四象限角，求sin,cos4, tan的值 .5442解：因为 sin3,是第四象限角，得cos1 sin2134 ，555sin33tan5cos4，45于是有： sinsincoscossin242372252510444coscoscossinsin242372252510444tantan431tan44371 tan tan414思考：在本题中， sin()cos(

8、) ，那么对任意角，此等式成立吗？若成立你能否证明？44练习：教材P131 面 1、 2、 3、 4 题例 、已知tan21求 tan的值（3 ）2, tan4,42254例 3、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、n72cos42isos72sin42c；（ 2）、 os20cos70cn20sin70is；（ 3）、 1 atn151 n15at解：（ 1）、n72cos42iscos72sin42n72is42n30is1；2（ 2）、 cos20cos70n20sin70iscos2070cos90 0；（ 3）、 1 n15atn45atn15atnat 45 15n60at

9、31 n15at1 n45tan15at练习：教材P131 面 5 题（四）小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，学会灵活运用.（五）作业：习案作业三十。两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）一、教学目标1、理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式，体会三角恒等变换特点的过程；2、掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及a sinb cos类型的变换。二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、教学设想：（一）复习式导入： （ 1）基本公式sin()sincoscossins i n

10、 ()s i n c o sc o s s i ncos()coscossinsinc o s ()c o s c o ss i n s i ntan()tantant a n ()t a nt a n1 tantan1 t a nt a n（ 2）练习：教材P132 面第 6 题。思考：怎样求asinb cos类型？（二）新课讲授例 1、化简2 cosx6 sin x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？2 cos x6 sin x221 cos x3 sin x22 sin 30 cos xcos30 sin x2 2 sin 30x22思考： 2

11、 2 是怎么得到的？2 2221 和3 的 .26 ，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于22归纳： asinb cosa 2b2 sin()tanab例 2、已知：函数f (x)2sin x2 3 cosx,xR（ 1）求 f ( x) 的最值。（2）求 f ( x) 的周期、单调性。例 3已知 A、 B、 C 为ABC的三內角，向量 m(1,3)， n(cos A, sin A) ，且 m n1，（1） 求角 A。（2）若 12sin Bcos B3，求 tanC 的值。cos2Bsin 2B练习：（ 1）教材 P132 面 7 题（ 2）在 ABC 中， sin A sin Bcos

12、Acos B ，则 ABC 为（）A 直角三角形B钝角三角形C锐角三角形D 等腰三角形（ 2） 3 cossin的值为 （）1212A 0B 2C 2D2思考：已知3)12， sin()3， cos(13，求 sin 2245三、小结： 掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及a sinb cos 类型的变换四、作业：习案作业三十一的1、 2、3 题。二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用 .二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：

13、二倍角的理解及其灵活运用.三、教学设想：（一）复习式导入： 大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，sin()sincoscossins i n ()s i n c o sc o s s i ncos()coscossinsinc o s ()c o s c o ss i n s i ntan()tantant a n ()t a nt a n1 tantan1 t a nt a n练习：（ 1）在 ABC 中， sin Asin BcosA cosB ，则 ABC 为（）A 直角三角形B钝角三角形C锐角三角形D 等腰三角形（ 2） 3 cossin的值为 （）1212A 0B 2C 2

14、D2思考：已知3， cos()12)34， sin(，求 sin 22135我们由此能否得到sin 2,cos 2, tan 2的公式呢？（学生自己动手， 把上述公式中看成即可），（二）公式推导：sin 2sinsincoscossin2sincos；cos2coscos cossinsincos2sin2；思考：把上述关于cos2的式子能否变成只含有sin或 cos形式的式子呢？cos 2cos2sin 21sin 2sin 21 2sin 2；cos2cos2sin 2cos2(1cos2)2cos21 tan 2tantantan2 tan1 tantan1tan2注意： 22k,2kk

15、z（三）例题讲解例 1、已知 sin 25, 求 sin 4,cos 4, tan 4的值,4132解：由, 得24225 , cos2212 又因为 sin 21sin 2 215131313于是 sin 42sin 2cos22512120 ；131316952119sin 4120120169cos412sin2212； tan413169cos4119119169例 2在 ABC 中， cos A42, 求 tan(2A2B)的值 。， tan B5例 3 已知 tan 21 , 求 tan的值3解： tan 212 tan1 ，由此得 tan26tan1 0tan23解得 tan25

16、 或 tan25 例 4 已知 tan1 , tan1 , 求 tan(2)的值73（四）练习：教材P135 面 1、2、3、4、5 题（五）小结： 本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用 .（六）作业：习案作业三十二。3.2 简单的三角恒等变换（一）一教学目标1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行

17、对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力二、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力三、教学设想：（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式（二）新课讲授：1、由二倍角公式引导学生思考：与

18、有什么样的关系？2学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台例 1、试以 cos表示 sin 2,cos 22, tan222解：我们可以通过二倍角cos2cos 21和 cos1 2sin 2来做此题22因为 cos12sin 2，可以得到 sin 21cos；222因为 cos2cos 21，可以得到 cos21cos2222sin 221cos又因为 tan221coscos2思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换对于三角变换， 由于不同的三角函数式不仅

19、会有结构形式方面的差异， 而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点例 2已知sin5，且在第三象限，求tan 的值。132例 3、求证：（）、 sincos1sinsin；2（）、 sinsin2sin2cos2证明：（）因为 sin和 sin是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手sinsincoscossin； sinsincoscossin两式相加得 2sincossinsin；即 sincos1sinsin；2（）由（）得sinsin2sin cos；设,，那么,22把,的值代入

20、式中得sinsin2sincos22思考：在例3 证明中用到哪些数学思想？例 3 证明中用到换元思想， （）式是积化和差的形式，（）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式三练习： P142 面 1、 2、 3 题。四小结： 要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用五作业：习案三十三。3.2 简单的三角恒等变换（二）一、教学目标1、通过三角恒等变形，形如a sin xb cos x 的函数转化为yA sin( x) 的函数；2、灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。二、教学重点与难点重点：三角恒等变

21、形的应用。难点：三角恒等变形。三、教学过程（一）复习：二倍角公式。（二）典型例题分析例 1：已知02,sin4 .(1)求sin 2sin 2的值 ； (2)求tan(5)的值5cos2cos24解：（1）由 02,sin4 , 得 cos3 ,55sin2sin 2sin 22sincos20.cos2cos23cos21（2） tansin4 , tan(5)tan11 .cos341tan7例 2 利用三角公式化简sin 50（13 tan 10 ）.3 sin102( 1 cos103 sin10 )解： 原式 sin 50（1） sin 5022cos10cos10sin 30 co

22、s10cos30 sin 10sin 402sin 50cos102cos40sin 80cos10cos101 .cos10cos10例已知函数fx4xxx4x( )cos2 sincossin（1）求 f ( x) 的最小正周期， （ 2）当 x 0, 时，求 f ( x) 的最小值及取得最小值时x 的集合2点评：例是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数yAsinx的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用例 4若 函数 f(x)3sin 2x2 cos2xm在区间， 上的最大值为6，求常数 m 的值及此函0数当 x R 时的最小值及取得最小值时x 的集合。2（三）练习：教材P142 面第 4 题。（四）小结： (1)二倍角公式：sin 22sincos ,cos2cos2sin 22 cos211sin 2,tan 22 tan.1 tan2(2) 二倍角变式：2 cos212cos2,2 sin21cos2(3) 三角变形技巧和代数变形技巧常见的三角变形技巧有切割化弦；“1”的变用；统一角度，统一函数，统一形式等等（五）作业：习案作业三十四3.2 简单的三角恒等变换（三）教学目标（一） 知识与技能目标熟练掌握三角公式及其变形公式（二） 过程与能力目