第四章曲线积分与曲面积分习题课一

1、习题课习题课10-1一一 对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算)(),(),(: ttytxl l),(yxfds )(),(ttf dttt)()(22 )(),(),(),(: ttztytxl l),(zyxfds )(),(),(tttf dtttt)()()(222 例例1 计算下列对弧长的曲线积分计算下列对弧长的曲线积分（1）,)(22 ldsyx其中其中l圆周圆周. 1)1(22 yx解解tytxlsin,cos1: 2 , 0 t l 20)(22yx )cos1(2t dsdttt22cos)sin( 20)cos1(2dtt 4 （2）, lyds其中其中 20),

2、cos1(),sin(: ttayttaxl解解 l 20yds)cos1(ta dttata2222sin)cos1( 322202(1cos )atdt (3) lxdsycos xxyl0 ,sin:解解 lxycosds 0 xxcossindxx2cos1 122201(1cos)(1cos)2xdx 0 (4),2 ldsx., 1:222zyzyxl 解解 zyzyxl1:222 zyyx1222 20 ,sin22,sin22,cos: ttztytxl l2x ds 20t2cosdtttt222cos21cos21sin (5),)(2 ldsyx解解其中其中9:22 yx

3、l原式原式 l22)2(dsyxyx ldsyx)(22 lds9 54 (6),2 ldsx 01:222zyxzyxl解解由对称性由对称性 ldsx2 ldsy2 ldsz2 lldszyxdsx)(312222 lds3123 例例2 求椭圆周求椭圆周 12222 byax的质量，已知线密度为的质量，已知线密度为. |),(xyyx 解解由对称性总质量为椭圆周的第一象限部分由对称性总质量为椭圆周的第一象限部分质量的质量的4倍，倍，)20( ,sin,cos:1 ttbytaxl 14lxydsm 204 ttabsincosdttbta2222cossin 2022222sinsin)(

4、2 tdtbabab)(3)(422bababaab 例例3求均匀摆线求均匀摆线)0(),cos1(),sin( ttayttax的质心。的质心。解解 不妨设不妨设1 ldsm 0dttata2222sin)cos1( 02sin2dttaa4 lxydsm 0)cos1(ta dtta2sin23162a lyxdsm 0)sin(tta dtta2sin23162a mmxy 34a 34ammyx 二二 对坐标的曲线积分的计算对坐标的曲线积分的计算),(),(:tytxl tl的起点的起点 tl的终点的终点 l),(yxp),(yxq dxdy )(),(ttp )(),(ttq )(t

5、 dtt)( )(),(),(:tztytxl tl的起点的起点 tl的终点的终点 l),(zyxp),(zyxq dxdy),(zyxr dz )(),(),(tttp q r )(t )(t dtt)( 例例4计算曲线积分计算曲线积分（1）, lydx其中其中l逆时针圆周逆时针圆周1)1(22 yx解解tytxlsin,cos1: 20 tt lydx 20tsindtt)sin( （2）,2dxyxdyl l从原点从原点)0 , 0(沿曲线沿曲线xysin 到点到点).0 ,( 解解 lx2y dydx 0 xsin2x xcosdx22 （3）,)()()(222222 ldzyxdy

6、xzdxzy其中其中l为球面的一部分为球面的一部分0, 0, 0, 1222 zyxzyx的围线，其方向从的围线，其方向从z正向看去是逆时针的。正向看去是逆时针的。xyzo2210 xyz 2210 xzy 2210yzx 解解321llll 1l2l3l1l 0sincosztytx20: t2l 0sincosxtzty20: t3l 0sincosytxtz20: t 1)()()(222222ldzyxdyxzdxzy 20 )0(sin2 t)cos0(2t )sin(cos22tt )sin(t tcosdt0 2033)cos(sin dttt34 同理同理342 l343 l

7、ldzyxdyxzdxzy)()()(2222224 （4）,lxdy 其中其中l为由点为由点)1 , 1( 沿曲线沿曲线2xy 到点到点)1 , 1(一段。一段。解解xyo( 1,1) (1,1)lxdy 11xxdx243 （5）,3232 lyxxdyydx其中其中l323232ayx 逆时针方向。逆时针方向。解解taytaxl33sin,cos: 20:t原式原式2230a ta3sin)sincos3(2tta ta3cos dttta)cossin3(24334a 4222303sincosattdt 例例5椭圆椭圆tbytaxsin,cos 上点上点),(yx处作用处作用力力,f

8、其方向为指向椭圆中心，其方向为指向椭圆中心，其模为此点到原点的距其模为此点到原点的距离，求当质点从离，求当质点从)0 ,(aa沿椭圆周第一象限的弧移动到沿椭圆周第一象限的弧移动到), 0(bb所做的功。所做的功。解解由于由于f的方向自点的方向自点),(yx指向原点，指向原点，所以所以)0()( kj yi xkf由于由于,|22yxf 所以所以, 1 kabwf ds abxdxydy 20 tacos)sin(ta tbsin dttb)cos(222ba 三三 格林公式及其应用格林公式及其应用 设区域设区域 d 是由分段光滑正向曲线是由分段光滑正向曲线 l 围成围成,则有则有, ),(yx

9、p),(yxq ldyqxpyxypxqdddd函数函数在在 d 上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数,设设d 是单连通域是单连通域 ,),(),(yxqyxp在在d 内内具有一具有一阶连续偏导数阶连续偏导数,(2) 沿沿d 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 l , 有有.0dd lyqxp(3) 对对d 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 l, 曲线积分曲线积分(1) 在在 d 内每一点都有内每一点都有.xqyp lyqxpdd与路径无关与路径无关, 只与起止点有关只与起止点有关. 函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价:(4)yqxpdd ),(yxuyqxpyxudd),(d

10、 在在 d 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 例例6 计算下列曲线积分计算下列曲线积分（1） 2222(ln()lxy dxy xyxxydy 其中其中l为以为以)3 , 1(),2 , 2(),1 , 1(cba为顶点的三角形正向边界。为顶点的三角形正向边界。解解 xoy(1,1)a(1,3)c(2,2)bd22yxp )ln(22yxxxyyq yxpq 2y 原式原式 ddxdyy2 2142xxdyydx 2123)6448122(31dxxxx625 （2） ,|)(32 lyxdyxxydxxy其中其中l为以为以),1 , 0(),0 , 1(ba为顶点的正方形的正向

11、边界。为顶点的正方形的正向边界。)1, 0(),0 , 1( dc解解 abcddxyo1d1|:| yxl逆时针逆时针 lyxdyxxydxxy|)(32 ldyxxydxxy)(32 ddxdyxyxy)23(2 ddxdyx23 1212ddxdyx 1010212xdyx 1032)(12dxxx1 yxo例例7 计算下列曲线积分计算下列曲线积分（1） lyydyexdxxe)1()1(222其中其中l为为2)2( x42 y在第一象限的半圆弧正向。在第一象限的半圆弧正向。解法一解法一l1l4,12yxep 122 yexqyxxeq22 yp 以路径无关，以路径无关，, 0:1 yl

12、04:x l 1l 04dxx)1( 12 解法二解法二分项组合法分项组合法 l ldx lyydyexdxxe222 ldy )0 , 0()0 , 4(dx )0 , 0()0 , 4()2(22yexd )0 , 0()0 , 4(dy12 xyo ldyyxxyxdxxyxy)3sin2()cos2(2223（2）1ll2labd其中其中l为从原点沿曲线为从原点沿曲线22yx 到点到点).1 ,2( a解法一解法一 作辅助线作辅助线; 01:,2:1 yxl 02:, 0:2 xyl原式原式 21lll 1l 2l ddxdy 01dyyy)4322(22 020 dx 2020 xd

13、ydx4122 3 4122 4162 ldyyxxyxdxxyxy)3sin2()cos2(2223（2）其中其中l为从原点沿曲线为从原点沿曲线22yx 到点到点).1 ,2( a解法二解法二分项组合法分项组合法 l ldyyxdxxy22332 lxdyyxdxysin2cos2 lxdy )1 ,2()0 , 0( )1 ,2()0 , 0( 32ydxxdy sin2 10dyy22 )1 ,2()0 , 0(32 yx )1 ,2()0 , 0(2sin xy 6 42 1 6 （2）,422 lyxydxxdy其中其中)1()1(:222 rryxl逆时针方向。逆时针方向。xyo0

14、1r1r 解解224yxyp 224yxxq 22222)4(4yxyxqx yp 当当1 r时，时， l 222)1()(ryxyxdxdypq0 )0(22 yx当当1 r时，时，1l22214:ryxl 逆时针方向逆时针方向 l 1ll 1l dyxdxdypq)( 121lydxxdyr0 2224221ryxdxdyr22r rr2 xyo例例8设设)(xf一阶导数连续，且一阶导数连续，且, 0)0( f在任意在任意一条包围原点的正向闭曲线一条包围原点的正向闭曲线l上，曲线积分上，曲线积分 lyxfydyxdx2)(为定数，为定数，（1） 证明在任一个不含原点的单连通区域上曲线积证明在任一个不含原点的单连通区域上曲线积分分 cyxfydyxdx2)(与路径无关；与路径无关；（2）求函数）求函数).(xf1c2c3c解解（1）设设21,cc是不含原点的是不含原点的单连通域内的任意两条以单连通域内的任意两条以a起点以起点以b为为终点的有向曲线，终点的