等边三角形动点

1、等腰等边三角形经典例题和结合动点问题例题一选择题（共5小题）1锐角三角形ABC内有一点O，它关于AB、AC的对称点分别为P、Q，那APQ一定是（）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形2（2013河北模拟）如图，在梯形ABCD中，ADBC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交AB于点E，交AD于点F，分别以点E和点F为圆心，以大于EF长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG，交BC于点H，由作图过程可得到ABH一定是（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形3（2012咸宁模拟）抛物线与x轴的两个不同交点是点O和点A，顶点B在直线上，则关于OAB的判断正确的是（）A等

2、腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形4（2007秋黄冈校级期末）已知AOB=30°，P为AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2，则OP1P2是（）A直角三角形B等腰直角三角形C钝角三角形D等边三角形5（2014秋杭州期末）已知P为ABC的边AB上的点，且AP2+BP2+CP22AP2BP2CP+3=0，则ABC的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形二填空题（共5小题） 6（2006秋洪泽县校级期中）如图，ABC和DCE是等边三角形，ACE绕着点逆时针方向旋转度可得到DCB 7（2012秋慈溪市校级月考）如图，边长为2的等边三角

3、形ABC，P为边BC上一个动点，PEAB，PDAC，则PE+PD= 8（2015淄博）如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，BDC=90°，连接AD，过点D作一条直线将ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是度 9如图，在等边三角形ABC中，AE=CD，AD、BE相交于P点BPD=° 10（2011济宁）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AGCD于点G，则=三解答题（共20小题） 11（2010春通州区期末）阅读探究：例：如图1，ABC是等边三角形，点M是边BC

4、的中点，AMN=60°，且MN交三角形外角的平分线CN于点N、求证：AM=MN思路点拨：取的AB中点P，连接PM，易证APMMCQ从而AM=MN问题解决：（1）如图2，四边形ABCD是正方形，点M是边BC的中点，CN是正方形ABCD的外角DCQ的平分线填空：当AMN=°时，AM=MN；证明的结论（2）请根据例题和问题（1）的解题过程，在正五边形ABCDE中推广出一个类似的真命题（请在图3中作出相应图形，标注必要的字母，并写出已知和结论，无需证明） 12（2013秋海珠区校级期中）已知，ABC和CDE都是等边三角形，且点B，C，D在同一条直线上求证：BE=AD 13（2015

5、春宜兴市校级期中）阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题如图1，从A点出发，到笔直的河岸l去饮马，然后再去B地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点A关于直线l的对称点A，连接AB交l于点P，则PA+PB=AB 的值最小解答问题：（1）如图2，正方形ABCD的面积为16，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为（2）如图3：菱形ABCD中，AB=2，B=120°，E是AB

6、的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（3）如图4，已知菱形ABCD的边长为6，DAB=60°将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上现有一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿AC的方向，向点C运动当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿MB的方向，向点B运动当到达点B时，整个运动停止为使点P能在最短的时间内到达点B处，则点M的坐标是什么？ 14（2014民勤县校级模拟）如图，ABD、BCD都是等边三角形，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足DE=CF求证：BE=BF 15（201

7、5黄冈中学自主招生）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在ABC（其中BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边PBC，求AP的最大值小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合他的方法是以点B为旋转中心将ABP逆时针旋转60°得到ABC，连接AA，当点A落在AC上时，此题可解（如图2）请你回答：AP的最大值是参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰RtABC边AB=4，P为ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是（结果可以不化简） 16（2014河南）（1）问题发现如图1，ACB和DCE均为等边三角形，点A，

8、D，E在同一直线上，连接BE填空：AEB的度数为；线段AD，BE之间的数量关系为（2）拓展探究如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACB=DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE，请判断AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离 17（2013秋海安县期中）如图：已知D为等腰直角ABC斜边BC上的一个动点（D与B、C均不重合），连结AD，ADE是等腰直角三角形，DE为斜边，连结CE判断ECD的度数并说

9、明理由当ABC、ADE都是等边三角形，D点为ABC中BC边上的一个动点（D与B、C均不重合），当点D运动到什么位置时，DCE的周长最小？请探求点D的位置，并说明理由及求出此时EDC的度数 18如图，等腰直角ABC中，CA=CB，点E为ABC外一点，CE=CA，且CD平分ACB交AE于D，且CDE=60°（1）求证：CBE为等边三角形；（2）若AD=5，DE=7，求CD的长 19（2014宜宾县模拟）如图，在等边ABC中，ABC与ACB的平分线相交于点O，且ODAB，OEAC（1）求证：ODE是等边三角形（2）线段BD、DE、EC 三者有什么数量关系？写出你的判断过程（3）数学学习不但

10、要能解决问题，还要善于提出问题结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题（只要提出问题，不需要解答） 20将抛物线y=x2向下平移后，设它与x轴的两个交点分别为点A，B，且抛物线的顶点为点C（1）若ABC为等边三角形，求此抛物线的函数表达式；（2）若ABC为等腰直角三角形，求此抛物线的函数表达式；（3）若将抛物线改为y=ax2，以上两个问题怎么解答；（4）若抛物线改为y=a（xm）2呢？（5）由此，你发现了什么规律？ 21（2012秋揭东县校级期中）已知：如图，ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm

11、/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动设点P的运动时间为t（s），解答问题：当t为何值时，PBQ是直角三角形？ 22（2012春金山区校级期末）已知ABC、ADE都是等边三角形，且点D在BC的延长线上，求ACE的度数 23（2011秋鞍山期末）如图，点M，N分别在等边三角形ABC的BC、CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q（1）求证：BQM=60°（2）思考下列问题：如果将原题中“BM=CN”与“BQM=60°”的位置交换，得到的新命题是否仍是真命题？如果将原题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到BQM=60°？如果将题中“等边三角形

12、ABC”，改为“等腰直角三角形ABC，且BAC=90°”，是否仍能得到BQM=60°？请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：；并选择其中一个真命题给出证明 24（2013顺义区二模）问题：如果存在一组平行线abc，请你猜想是否可以作等边三角形ABC使其三个顶点分别在a、b、c上？小明同学的解答如下：如图1所示，过点A作AMb于M，作MAN=60°，且AN=AM，过点N作CNAN交直线c于点C，在直线b上取点B使BM=CN，则ABC为所求（1）请你参考小明的作法，在图2中作一个等腰直角三角形DEF使其三个顶点分别在a、b、c上，点D为直角顶点；（2）若直线a

13、、b之间的距离为1，b、c之间的距离为2，则在图2中，SDEF=，在图1中AC= 25（2015永安市校级质检）（1）问题发现如图1，ABC和DCE都是等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接AE填空：AEC的度数为；线段AE、BD之间的数量关系为（2）拓展探究如图2，ABC和DCE都是等腰直角三角形，ACB=DCE=90°，点B、D、E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接AE试求AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=2，点P在以AC为直径的半圆上，AP=1，DPC=°； 请直接写出点D到

14、PC的距离为 26如图所示，A（8，0），B点在第一象限，且AOB是等边三角形，过B点作直线BCx轴，交y轴于点C，动点P从C点出发，以每秒1个单位的速度向C点右侧水平方向平移，过P点作DEy轴，交直线AB于D，交直线OB于点E，设P点出发的时间为t秒（1）若P点在线段BC上，Q点在AB上，且AQ=3，当OQP=60°时，求t的值（2）点M为y轴上一动点，若MDE是等腰直角三角形，求出发时间t的值 27（2013瑞昌市校级模拟）已知点E为AB边上的一个动点（1）如图甲，若ABC是等边三角形，以CE为边BC的同侧作等边DEC，连接AD，试比较DAC与B的大小，并说明理由（2）如图乙，若

15、ABC中，AB=AC，以CE为底边在BC的同侧作等腰DEC，且DECABC，连接AD，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由（3）如图丙，若四边形ABCD是正方形，以CE为边在BC的同侧作正方形FECG试证明点G一定在AD的延长线上当点E在AB边上运动时，连接AF，FAG的度数是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，求出FAG的度数 28（2015扬州校级二模）已知：点E为AB边上的一个动点（1）如图1，若ABC是等边三角形，以CE为边在BC的同侧作等边DEC，连结AD试比较DAC与B的大小，并说明理由；（2）如图2，若ABC中，AB=AC，以CE为底边在BC的同侧作等腰DEC，且DECABC，连结AD试判断AD与BC的位置关系，并说明理由；（3）如图3，若四边形ABCD是边长为2的正方形，以CE为边在BC的同侧作正方形ECGF试说明点G一定在AD的延长线上；当点E在AB边上由点B运动至点A时，点F随之运动，求点F的运动路径长 29（2014秋海门市校级月考）已知：如图，ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：（1）填空：ABC的面积为cm2（2）当t为