第十二章全等三角形教案(林轩妤)

1、全等三角形一、全等三角形的基本性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。）【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角。【知识点3】 全等三角形的对应边相等，对应角相等。（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相等，对应角的角平分线相等）【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：(1) AB与 是对应边，BC与 是对应边， CA与 是对应边；(2)A与 是对应角，ABC与 是对应角，BAC与 是对应角【方法总结】在两个全等

2、三角形中找对应边和对应角的方法。(1)有公共边的，公共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。【练习1】 如图，图中有两对三角形全等，填空：(1)BOD ； (2)ACD .【例题2】已知图2中的两个三角形全等，则度数是（ ）A.72° B.60° C.58° D.50°【例题2】如图，若，且，则= ABCC1A1B1CAB【练习2】如图，=30°，则的度数为（ ）A 20° B30

3、° C35° D40°【练习3】如图，ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90°到EBC， 且ABD=90°。（1）ABD和EBC是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角。（2）若AB=3cm,BC=5cm,你能求出DE的长吗？（3）直线AD和直线CE有怎样的位置关系？请说明理由。二、三角形全等的判定方法1、如图：ABC与DEF中 2、如图：ABC与DEF中 ABCDEF（ ） ABCDEF（ ）3、如图：ABC与DEF中 4、如图：ABC与DEF中 ABCDEF（ ） ABCDEF（ ）5、如图：RtABC与RtDEF中， = =90°

4、RtABCRtDEF（ ）【题型一】公共边类型的全等三角形图形1 图形2 图形3 A B C D D C B A 注意隐含条件AD=AD 隐含条件AB=BA 隐含条件AC=CAA B C D B C A DD 【例1】 在中，AB=AC,AD平分BAC，求证：【针对训练】1. 已知：在中，M在BC上，D在AM上，（如图）求证：2. 如图所示，已知，E是AC上一点. 求证：. 【题型二】边加减类型的全等三角形图形1 图形2 图形3 图形4 A B F E C D (4) A B E F D C (3) A BB F E D C (2) A D B E F C (1) BE=CF BE-EF=CF

5、-EF BF=CE BE=CF BE+EF=CF+EF BF=CE BE=CF BE-EF=CF-EF BF=CE BE=CF BE+EF=CF+EF BF=CE 【例2】如图，已知：.求证：（1）;(2)AEDF. 【例3】已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AFDC，ABDE，BCEF，BCDEFA求证：ABCDEF【针对训练】1. 已知A,B,C,D在同一条直线上，AB=CD，DEAF，且DE=AF，求证：AFCDEB.2. 已知B,E,F,D在同一条直线上，AB=CD, B=D,BF=DE.求证：（1）AE=CF, (2) AECF，(3) AFE=CED【题型三】公共角类型的全等

6、三角形左图中全等的三角形有 写出他们所有的对应边与对应角 【例4】1. 如图，已知：，.求证：.【针对训练】1. 如图，已知点D、E分别是线段AB、AC上的点，AB=AC，AD=AE.求证：CDEBED.【题型四】对顶角类型的全等三角形图形1 图形2 【例5】如图，两条直线AC,BD相交于O，BO=DO,AO=CO，直线EF过点O且分别交AB、CD于点E,F，求证：OE=OF D F C O A E B 【针对训练】1、如图4，ABDE，AB=DE，1=2.求证：BG=DF.【题型五】旋转类型的全等三角形图形1 图形2 图形3 图形4 【例6】如图，已知AB=AD， B=D，1=2，证明：BC

7、=DE【针对训练】1.如图，在ABE中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE交于点O.求证：(1) ABCAED； (2) OBOE .2.如图，已知：，.求证：点B是线段AC的中点.【例7】已知A、C、B共线，ACD和BCE为等边三角形，直线BD、AE交与F，AE、CD相较于点M， BD、AE相较于点N。如图1， 求证：AE=BD 求AFB的度数 求证：CM=CN 求证：MNAB 求线段BF、EF、CF的关系【题型六】以等腰直角三角形为背景的全等三角形【例8】如图，在ABC中，ACB90°，ACBC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足（1

8、）当直线l不与底边AB相交时，求证：EFAEBF（2）如图，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系ADBD；ADBD；ADBD【针对训练】1.如图3，RtABC中，ACB=90°，AC=BC，ADCD，BFCD，AB交CD于E.求证：DF=CD-AD.2.如图，已知AC=BC，ACB=90°，D为AB上任意一点，AECD延长线于E，BFCD于F.求证：EF=BF-AE. 【题型七】大山型的全等三角形【针对训练】1、已知：如图，在MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQNQ求证：HNPM.2.已知，如图7， A

9、D为ABC的高， E为AC边上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD. 求证：（1）BEAC；（2）若把条件BF=AC和结论BEAC互换，那么这个命题成立吗？3.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A、B、D三点共线，ABCB，EBDB，ABCEBD90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论C E B A F D 4.如图所示：在ABC和DBC中，ACB=DBC=,E是BC的中点，EFAB,垂足为F，且AB=DE. （1）求证：BD=BC; （2）若BD=8cm，求AC的长.【题型八】倍长中线1.如图，CE、CB分别是ABC、ADC

10、的中线，且AB=AC求证：CD=2CE 2.如图，在ABC中，AB=12，AC=20，求BC边上的中线AD的范围 3.已知：在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF 【题型九】截长补短1.如下图所示，已知ABC中，AC=BC，ACB=90°，BD平分ABC，求证：AB=BC+CD. 2.如下图所示，ABC中，C=2B，1=2，求证：AB=AC+CD. 3.如图，在正方形ABCD中，点G在AD上，且ECG=45°，求证：EG=BE+DG 【题型十】三垂直模型1.在ABC中，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到

11、图1的位置时，求证： ；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.来&源#:中国教育出版网2.已知：在平面直角坐标系中，等腰直角ABC顶点A、C分别在轴、轴上，且ACB=90°,AC=BC.（1）如图1，当，点B在第四象限时，先写出点B的坐标，并说明理由.（2）如图2，当点C在轴正半轴上运动，点A（0，a）在轴正半轴上运动，点B（m，n）在第四象限时，作BD轴于点D，试判断a，m，n之间的关系，请证明你的结论.图1 图2【题型十一】共点等腰模型1.已知在ABC中，AB=AC，在ADE中，AD=AE，且1=2，请问BD=

12、CE吗？ 2.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明： 3.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N求证：AE=CG； 4.已知A、C、B共线，ACD和BCE为等边三角形，直线BD、AE交与F，AE、CD相较于点M， BD、AE相较于点N。如图1， 求证：AE=BD 求AFB的度数 求证：CM=CN 求证：MNAB 求线段BF、EF、CF的关系课后作业1、如图1，AB=AD，CB=CD，

13、B=30°，BAD=46°，则ACD的度数是( )A.120° B.125° C.127° D.104°2、如图2，线段AD与BC交于点O，且AC=BD，AD=BC，则下面的结论中不正确的是( ) A.ABCBAD B.CAB=DBA C.OB=OC D.C=D3、在ABC和A1B1C1中，已知AB=A1B1，BC=B1C1，则补充条件_，可得到ABCA1B1C14、如图3，AB=CD，BF=DE，E、F是AC上两点，且AE=CF欲证B=D，可先运用等式的性质证明AF=_，再用“SSS”证明_得到结论5、如图4，AB与CD交于点O，O

14、A=OC，OD=OB，AOD=_，根据_可得到AODCOB，从而可以得到AD=_6、如图5，已知ABC中，AB=AC，AD平分BAC，请补充完整过程说明ABDACD的理由 AD平分BAC， _=_(角平分线的定义). 在ABD和ACD中， _， ABDACD（ ）7、如图6，已知AB=AD，AC=AE，1=2，求证ADE=B.8如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE交CD于F，且AD=DF，求证：AC= BF。AEDBCO129如图，已知：BE=CD，B=C，求证：1=2。10、如图，已知AB=AC，ABBD，ACCD，AD，BC相交于点E，求证：（1）CE=BE；（2）CBAD.AEDBC11如图，在ABC中，ACBC,AC=BC,D为AB上一点，AFCD交CDA C