西安交大高数105

1、第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 一、基本概念一、基本概念 二、概念的引入二、概念的引入 三、概念及性质三、概念及性质 四、计算法四、计算法 五、两类曲面积分之间的联系五、两类曲面积分之间的联系 六、小结六、小结 思考题思考题一、基本概念一、基本概念观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧n曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面; ;2.2.单侧曲面单侧曲面. .典典型型双双侧侧曲曲面面莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:播放播放曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面

2、的决定曲面的侧侧. .决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面. .曲面的投影问题曲面的投影问题: :面面在在xoys ,在在有有向向曲曲面面上上取取一一小小块块.0cos00cos)(0cos)()( 时时当当时时当当时时当当 xyxyxys.)(表示投影区域的面积表示投影区域的面积其中其中xy 为为上上的的投投影影xys)( 曲曲面面 s 二、概念的引入二、概念的引入实例实例: : 流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量. .( (1 1) ) 流流速速场场为为常常向向量量 v, ,有有向向平平面面区区域域a a, ,求求单单位位时时间间流流过过a a的的流流体体的的质质量量 (

3、 (假假定定密密度度为为 1 1) ). .av0n aavnvava 0cos 流量流量( (2 2) ) 设设稳稳定定流流动动的的不不可可压压缩缩流流体体( (假假定定密密度度为为 1 1) )的的速速度度场场由由kzyxrjzyxqizyxpzyxv),(),(),(),( 给给出出, ,是是速速度度场场中中的的一一片片有有向向曲曲面面, ,函函数数),(),(),(zyxrzyxqzyxp都都在在上上连连续续, , 求求在在单单位位时时间间内内流流向向指指定定侧侧的的流流体体的的质质量量 . .xyzo xyzo is ),(iii ivin 把曲面分成把曲面分成n小块小块is ( (

4、is 同时也代表同时也代表第第i小块曲面的面积小块曲面的面积),),在在is 上任取一点上任取一点),(iii , ,1. 分割分割则该点流速为则该点流速为 .iv法向量为法向量为 .in该该点点处处曲曲面面的的单单位位法法向向量量kjiniiii coscoscos0 , ,通通过过is 流流向向指指定定侧侧的的流流量量的的近近似似值值为为)., 2 , 1(nisnviii ,),(),(),(),(krjqipvviiiiiiiiiiiii 2. 求和求和通通过过流流向向指指定定侧侧的的流流量量 niiiisnv1iiiiiiiiiniiiiisrqp cos),(cos),(cos),

5、(1 )(,()(,()(,(1xyiiiixziiiiyzniiiiisrsqsp 3.3.取极限取极限0 .的精确值的精确值取极限得到流量取极限得到流量 )(,()(,()(,(lim10 xyiiiixziiiiyzniiiiisrsqsp 定义定义 设为光滑的有向曲面设为光滑的有向曲面, ,函数在上有函数在上有界界, ,把分成把分成n块小曲面块小曲面is ( (is 同时又表示第同时又表示第 i块小曲面的面积块小曲面的面积),),is 在在xoy面上的投影为面上的投影为xyis )( , ,),(iii 是是is 上任意取定的一点上任意取定的一点, ,如如果当各小块曲面的直径的最大值果

6、当各小块曲面的直径的最大值0 时时, , nixyiiiisr10)(,(lim 存在存在, , 则称此极限为函数则称此极限为函数),(zyxr在有向曲面上在有向曲面上对对坐标坐标yx,的曲面积分的曲面积分( (也称也称第二类曲面积分第二类曲面积分) ) 三、概念及性质三、概念及性质记记作作 dxdyzyxr),(, ,即即 nixyiiiisrdxdyzyxr10)(,(lim),( 被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可定义 niyziiiispdydzzyxp10)(,(lim),( nizxiiiisqdzdxzyxq10)(,(lim),( 存在条件存在条件:当当),(),

7、(),(zyxrzyxqzyxp在在有有向向光光滑滑曲曲面面上上连连续续时时, ,对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分存存在在. .组合形式组合形式:dxdyzyxrdzdxzyxqdydzzyxp),(),(),( 物理意义物理意义:dxdyzyxrdzdxzyxqdydzzyxp),(),(),( 性质性质: 2121. 1rdxdyqdzdxpdydzrdxdyqdzdxpdydzrdxdyqdzdxpdydz dxdyzyxrdxdyzyxrdzdxzyxqdzdxzyxqdydzzyxpdydzzyxp),(),(),(),(),(),(. 2四、计算法四、计算法 设积分曲面是由设积分曲

8、面是由方程方程),(yxzz 所给所给出的曲面上侧出的曲面上侧, ,在在xoy面上的投影区域面上的投影区域为为xyd, ,函数函数),(yxzz 在在xyd上具上具有一阶连续偏导数有一阶连续偏导数, ,被积函数被积函数),(zyxr在在上连续上连续. . ),(yxfz xydxyzoxys)( nixyiiiisrdxdyzyxr10)(,(lim),( ),(,)()(, 0cos,iiixyxyizs 又又取上侧取上侧 nixyiiiiinixyiiiizrsr1010)(,(,(lim)(,(lim xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr),(,),(即即,)()(, 0cos,x

9、yxyis 取下侧取下侧若若 xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr),(,),(则有则有给出给出由由如果如果,),(zyxx yzddydzzyzyxpdydzzyxp,),(),(则有则有给出给出由由如果如果,),(xzyy zxddzdxzxzyxqdzdxzyxq),(,),(注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .例例 1 1 计计算算 xyzdxdy其其中中是是球球面面1222 zyx外外侧侧在在0, 0 yx的的部部分分. .解解两部分两部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1

10、 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxydddxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyddxdyyxxy2212.1521cossin222 xydrdrdrr 五、两类曲面积分之间的联系五、两类曲面积分之间的联系 设设有有向向曲曲面面是是由由方方程程),(yxzz 给给出出, ,在在xoy面面上上的的投投影影区区域域为为xyd, , 函函数数),(yxzz 在在xyd 上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, , ),(zyxr在在上上连连续续. . 对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分为为 xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr),(,),(xyd),(yx

11、fz xyzodsn有有向向曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦为为 在点在点),(zyx处的单位法向量为处的单位法向量为 cos,cos,cos n, , .11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzz 对面积的曲面积分为对面积的曲面积分为 xyddxdyyxzyxrdszyxr),(,cos),( 所所以以dszyxrdxdyzyxr cos),(),( ( (注注意意取取曲曲面面的的两两侧侧均均成成立立) ) dsrqpdxdyrqdzdxpdydz)coscoscos( 两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分为

12、为 xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr),(,),( 向量形式向量形式 dsasdadsnasdan或或其中其中cos,cos,cos, nrqpa为为有向曲面上点有向曲面上点),(zyx处的单位法向量处的单位法向量, ,dxdydzdxdydzdsnsd 称 为称 为 有有 向 曲 面向 曲 面元元, ,na为向量为向量a在在n上的投影上的投影. .例例 2 2 计计算算zdxdydydzxz )(2, ,其其中中是是旋旋转转抛抛物物面面)(2122yxz 介介于于平平面面0 z及及2 z之之间间的的部部分分的的下下侧侧. .解解 dydzxz)(2有有上上在曲面在曲面, dsxz

13、cos)(2 dxdyxz coscos)(2 dxdyzxxzzdxdydydzxz)()(22 xyddxdyyxxxyx)(21)()(412222 xyddxdyyxx)(21222 2022220)21cos(rdrrrd.11cos,1cos2222yxyxx .8 六、小结六、小结1.1.对坐标曲面积分的物理意义对坐标曲面积分的物理意义2.2.对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点a.a.曲面的侧曲面的侧b.“b.“一投一投, ,二代二代, ,三定号三定号”思考题思考题 设设 为球面为球面1222 zyx，若以其，若以其球面的外侧为正侧，试问球面

14、的外侧为正侧，试问221zxy 之左侧之左侧（即（即oy轴与其法线成钝角的一侧）轴与其法线成钝角的一侧）是正侧吗？那么是正侧吗？那么221zxy 的左侧的左侧是正侧吗？是正侧吗？思考题解答思考题解答此时此时 的左侧为的左侧为负负侧，侧，221zxy 而而 的左侧为的左侧为正正侧侧.221zxy 一、一、 填空题填空题: :1 1、 dzdxzyxqdzdxzyxq),(),( = =_. .2 2、第二类曲面积分、第二类曲面积分dxdyrqdzdxpdydz 化成第化成第 一类曲面积分是一类曲面积分是_，其中，其中 ,为有向为有向 曲面曲面 上点上点),(zyx处的处的_的方向角的方向角 .

15、.二二、计计算算下下列列对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分: : 1 1、 ydzdxxdydzzdxdy, ,其其中中 是是柱柱面面122 yx 被被平平面面0 z及及3 z所所截截得得的的在在第第一一卦卦限限内内的的部部分分的的 前前侧侧； 练练 习习 题题 2 2、 yzdzdxxydydzxzdxdy, ,其中其中 是平面是平面 1,0,0,0 zyxzyx所围成的空间区所围成的空间区 域的整个边界曲面的外侧；域的整个边界曲面的外侧； 3 3、dxdyyxez 22, ,其中其中 为锥面为锥面22yxz 和和 2,1 zz所围立体整个表面的外侧所围立体整个表面的外侧 . .三、把对坐标的

16、曲面积分三、把对坐标的曲面积分 dzdxzyxqdydzzyxp),(),(dxdyzyxr),( 化化成对面积的曲面积分成对面积的曲面积分, ,其中其中 是平面是平面63223 zyx在第一卦限的部分的上侧在第一卦限的部分的上侧 . .练习题答案练习题答案一一、1 1、0 0； 2 2、 dsrqp)coscoscos( , ,法法向向量量. . 二二、1 1、 23； 2 2、81； 3 3、22 e . . 三三、dsrqp)5325253( . . 莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯