第十二章第4节一阶线性微分方程

1、2)()(xqyxpdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:, 0)( xq当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的., 0)( xq当当一、线性方程一、线性方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.3. 0)( yxpdxdy,)(dxxpydy ,)( dxxpydy,ln)(lncdxxpy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxpcey1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)

2、42. 线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xqyxpdxdy 讨论讨论,)()(dxxpyxqydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxpdxyxqy),()(xvdxyxq为为设设 ,)()(ln dxxpxvy.)()( dxxpxveey即即非齐方程通解形式非齐方程通解形式与齐方程通解相比与齐方程通解相比:)(xuc 5常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数原未知函数新未知函数新未知函数设通解形式设通解形式 dxxpexuy)(

3、)(,)()()()()( dxxpdxxpexpxuexuy6代代入入原原方方程程得得和和将将yy ,)()()(cdxexqxudxxp ),()()(xqexudxxp 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:)()()(cdxexqeydxxpdxxp dxexqecedxxpdxxpdxxp )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解7.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxp ,sin)(xxxq cdxexxeydxxdxx11sin)sin(lnln cdxexxeyxx cxdxxysin1

4、 .cos1cxxy 解解例例1 18例例2 解方程解方程 .) 1(1225 xxyxdyd解解 )()()(cdxexqeydxxpdxxp ) 1(122512cdxexeydxxdxx ) 1() 1ln(225) 1ln(2cdxexeyxx ) 1() 1(212cdxxxy .) 1(32) 1(232cxxy 9例例3 如图所示，平行与如图所示，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段pq之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03

5、,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxpq3xy )(xfy 10 dxexceydxdx23, 6632 xxceyx, 0|0 xy由由, 6 c得得所求曲线为所求曲线为).22(32xxeyx 23xyy 11三、小结1.齐次方程齐次方程2.线性非齐次方程线性非齐次方程)(xyfy ;xuy 令令;)()( dxxpexuy令令12p281 1(1)(3) (6) (7) (10) ; 2 (2)(4)(5), 3, 4, 6 , 7 (2)(3) (5), 9(2)(3). 作业作业 12-413一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: :

6、1 1、xexyysincos ； 2 2、0)ln(ln dyyxydxy； 3 3、02)6(2 ydxdyxy. .二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、4,5cot2cos xxyexydxdy； 2 2、. 0,132132 xyyxxdxdy练练 习习 题题14三、设有一质三、设有一质的的量为量为 m质点作直线运动从速度等于零质点作直线运动从速度等于零的时刻起的时刻起,有一个与运动方向一致有一个与运动方向一致,大小与时间成正大小与时间成正比比(比例比例1k系数为系数为)的力作用于它的力作用于它,此外还受此外还受一与速度成正

7、比一与速度成正比(比例比例2k系数为系数为)的阻力作用的阻力作用,求质求质点运动的速度与时间的函数关系点运动的速度与时间的函数关系 .四、四、 求下列伯努利方程的通解求下列伯努利方程的通解:1、212121yxyxy ；2、0)ln1(3 dxxxyyxdy.15五、五、 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程方程, ,然后求出通解然后求出通解: :1 1、11 yxdxdy；2 2、1cossin2sin)1(sin222 xxxyxyy；3 3、xyxyxdxdy )(sin12. .六、六、 已知微分方程已知微分方程)(xgyy , ,其中其中 0,010,2)(xxxg, ,试求一连续函数试求一连续函数)(xyy , ,满满足条件足条件0)0( y, ,且在区间且在区间),0 满足上述方程满足上述方程 . .16练习题答案练习题答案一、一、1 1、xecxysin)( ； 2 2、cyyx 2lnln2； 3 3、2321ycyx . .二、二、1 1、15sincos xexy； 2 2、113322 xexxy. .三、三、)1(022121tmkekmktkkv . .四、四、1 1、cx