高一数学必修二直线与方程

1、优秀学习资料欢迎下载数学必修二直线与方程（一）直线的斜率1. 坡度：是指斜坡起止点间的高度差与水平距离的比值。2. 直线的斜率： 已知两点如果，那么直线PQ 的斜率为练习：直线都经过点P（ 2,3），又分别经过试计算的斜率。（ 1）当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜（ 2）当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜。（3）当直线的斜率为零时，直线与x 轴平行或重合说明：1、如果，那么直线PQ 的斜率不存在（与x 轴垂直的直线不存在斜率）2、由直线上任意两点确定的斜率总是相等的。3、直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合

2、时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线和轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°。因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0° 180°。4、直线倾斜角与斜率的关系：当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为锐角，此时有当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为钝角，此时有优秀学习资料欢迎下载概念辨析： 为使大家巩固倾斜角和斜率的概念，我们来看下面的题。关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的：A. 任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；B. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；C. 平行于 x 轴的直线的倾斜角是0 或 180°；D. 两直线的倾斜

3、角相等，它们的斜率也相等；E. 直线斜率的范围是（，）。辨析：上述说法中， E 正确，其余均错误，原因是：A. 与 x 轴垂直的直线倾斜角为90°，但斜率不存在；B.举反例说明，C. 平行于轴的直线的倾斜角为0；D. 如果两直线的倾斜角都是90°，但斜率不存在，也就谈不上相等.说明：当直线和x 轴平行或重合时， 我们规定直线的倾斜角为0°；直线倾斜角的取值范围是；倾斜角是90°的直线没有斜率。（二）直线方程1. 直线方程的概念： 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程

4、，这条直线叫做这个方程的直线 。问题一：已知直线经过点，且斜率为，如何求直线的方程？因为经过直线上一个定点与经过这条直线上任意一点的直线是都惟一的，其斜率都等于。所以，要把它变成方程.因为前者表示的直线上缺少一个点，而后者才是整条直线的方程.2. 直线的 点斜式 方程已知直线经过点，且斜率为，直线的方程：为直线方程的点斜式。直线的斜率时，直线方程为；当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为。问题二：已知直线经过点 P（0， b），并且它的斜率为，求直线的方程？3. 直线的 斜截式 方程已知直线经过点 P（0， b），并且它的斜率为k，直线的方程：为斜截式 。说明：（1）斜

5、截式在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间有什么差别？只有当时，斜截式方程才是一次函数的表达式。（2）斜截式中，表示直线的斜率，b 叫做直线在y 轴上的截距。4. 直线方程的 两点式已知直线上两点， B（，求直线方程。首先利用直线的斜率公式求出斜率，然后利用点斜式写出直线方程为：由 可以导出 ，由于这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线方程的 两点式 。注意：倾斜角是0°或 90°的直线不能用两点式公式表示。5. 直线方程的 截距式定义： 直线与 轴交于一点（轴上的截距。,0）定义为直线在轴上的截距；直线与y 轴交于一点（0,）定义为直线在叫做直线方程的截距式 。，表

6、示截距，它们可以是正，也可以是负，也可以为0。当截距为零时，不能用 截距式。优秀学习资料欢迎下载直线名称已知条件直线方程使用范围点斜式存在斜截式存在两点式截距式直线方程的四种特殊形式各自都有自己的优点，但都有局限性，即无法表示平面内的任一条直线。问题 3：是否存在某种形式的直线方程，它能表示平面内的任何一条直线？（其中A、B、C是常数，A、 B 不全为0）的形式，叫做直线方程的一般式 。探究 1：方程总表示直线吗？根据斜率存在不存在的分类标准，即B 等于不等于0 来进行分类讨论：若方程可化为，它是直线方程的斜截式，表示斜率为，截距为的直线；若 B0，方程变成.由于A 、B不全为0，所以，则方程

7、变为，表示垂直于 X 轴的直线，即斜率不存在的直线.结论：当A、 B 不全为0 时，方程表示直线，并且它可以表示平面内的任何一条直线。【典型例题 】例 1. 若三点，共线，求的值。解：例 2. 已知两点A（ 3,4）、 B（3， 2），过点范围。解： k 1 或 k 3P（ 2， 1）的直线与线段AB 有公共点，求直线的斜率k 的取值例3. （ 1）直线在轴上的截距是1，而且它的倾斜角是直线的倾斜角的2 倍，则（）A. A， B1B. A，B 1C. A，B 1D. A，B1解：将直线方程化成斜截式.因为 1， B 1，故否定A 、 D又直线的倾斜角，直线的倾斜角为2，斜率，A， B 1，故选

8、 B 。（ 2）若直线通过第二、三、四象限，则系数A. A、B、 C 同号B. AC 0，BC0C.C0， AB 0D. A0， BC 0A、B、 C 需满足条件（）优秀学习资料欢迎下载解：原方程可化为（ B0）直线通过第二、三、四象限其斜率小于0，轴上的截距小于0，即 0，且 0 0，且0即 A、B 同号， B、C 同号 A、B、C 同号，故选 A 例 4. 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是，经过点A（， 2）；（2）经过点B（， 2），平行于轴；（3）在轴和轴上的截距分别是, 3；（4）经过两点（ 3， 2）、（ 5，） .解：（ 1）由点斜式得（ 2）（ 8）化

9、成一般式得240（2）由斜截式得2，化成一般式得2 0（3）由截距式得，化成一般式得2 30（4）由两点式得，化成一般式得 1 0例 5. 直线方程的系数 A、 B、C 满足什么关系时，这条直线有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与轴相交；（3）只与轴相交；（ 4）是轴所在直线；（5）是轴所在直线。答：（ 1）当 A 0， B 0，直线与两条坐标轴都相交。（2）当 A 0， B 0 时，直线只与轴相交。（3）当 A 0， B 0 时，直线只与轴相交。（4）当 A 0， B 0， C 0，直线是轴所在直线。（5）当 A 0， B 0， C 0 时，直线是轴所在直线。例 6. 求过点 P

10、（ 2， 3），并且在两轴上的截距相等的直线方程。解：在两轴上的截距都是0 时符合题意，此时直线方程为3 2 0若截距不为0，则设直线方程为 1将点 P（ 2， 3）代入得 1，解得 a5直线方程为1，即5优秀学习资料欢迎下载【模拟试题 】一、选择题1. 下列四个命题中，真命题是（）A. 经过定点的直线都可以用方程表示B. 经过两个不同的点，的直线都可以用方程：来表示C. 与两条坐标轴都相交的直线一定可以用表示D. 经过点 Q（ 0， b）的直线方程都可以表示为y kx b2.直线 m（ x y 1）（ 3y 4x 5） 0 不能化成截距式方程，则m 的值为（）A. 5B. 3或4C. 3或4

11、或5D. m（，3）（ 4， 5）（ 5，）3.关于直线的斜率，下列说法中正确的是（）A. 斜率是正数时，直线必过一，三象限；B. 直线的倾斜角越大，斜率就越大；C. 直线的位置是由斜率确定的；D.所有直线都有斜率4. 若点 P（ x0,y0）在直线 Ax By C 0 上，则直线方程可表示为（）A. A （ x x0） B （ y y0） 0B. A （ x x0） B（ y y0） 0C. B （x x0） A （ y y0） 0D. B （x x0） A （ y y0） 05. 若直线 4x3y 12 0 被两坐标轴截得的线段长为，则 c 的值为（）A. 1B.C. ±D.&#

12、177; 16.过点 P（ 1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为10，则直线 l 有（）A.1 条B. 2条C.3 条D.4条7.直线（ 0）的图象是（）8.若三点（ 2，3），（ 3， a），（ 4， b）在一条直线上，那么（）A. a 3，b 5B. b a 1C. 2a b 3D. a 2b 3二、填空题9.若直线 过（ 2， 3）和（ 6， 5）两点，则直线的斜率为，倾斜角为10.已知两点 A（ x， 2）， B（ 3，0），并且直线 AB 的斜率为，则 x。11.对于任意实数 k，直线必过一定点，则该定点坐标是 _。12. 直线在 轴上截距是它在轴上截距的 3 倍，则等于

13、 _。三、解答题13.求下列直线的斜率和在轴上的截距，并画出图形：（1） 350；（ 2）1；（ 3）20；（ 4）76 0；（ 5）27014. 求经过 A（ 2， 0）、 B（ 5， 3）两点的直线的斜率和倾斜角。15. 菱形的两条对角线长分别等于8 和 6，并且分别位于轴和轴上，求菱形各边所在的直线的方程。16. 已知直线（ 1）当 B 0 时，斜率是多少 ?当 B 0 时呢 ?优秀学习资料欢迎下载（2）系数取什么值时，方程表示通过原点的直线?【试题答案】一、选择题1. B2. C3. A4. A5. B6. D7. C8. C7.提示：解法一：由已知，直线又因为 0与互为相反数，即直线

14、的斜率及其在的斜率为，在轴上的截距为轴上的截距互为相反数图 A 中， 0， 0；图 B中， 0， 0；图 C中， 0， 0故排除 A、B、C 选 D解法二：由于所给直线方程是斜截式，所以其斜率 0，于是令 0，解得。又因为二、填空题 0， 9. 1； 135°，直线在10. 111. （2， 3）12. 2轴上的截距为1，由此可排除A 、 B 、C，故选D。三、解答题13. 解：（ 1） 3，在轴上截距为5（2）化成斜截式得 5，b 5。（3）化成斜截式得，b 0。（ 4）化成斜截式得，。（5）化成斜截式得 0，b。图略14. 解：，就是因此，这条直线的斜率是1，倾斜角是15. 解：设菱形的四个顶点为 A、 B、 C、 D，如下图所示。根据菱形的对角线互相垂直且平分可知：顶点 A、B、 C、 D 在坐标轴上，且 A、C 关于原点对称， B、 D 也关于原点对称。所以 A（，是直线 AB 的方程；0）， C（，0）， B（ 0， 3）， D（ 0，