高一数学必修四平面向量知识与题型归类

1、优秀教案欢迎下载高一数学必修四平面向量基础知识与题型归类（1）一向量有关概念：1、向量的概念 ：既有大小又有方向的量，2、零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0 ，注意 零向量的方向不确定；3、 单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量； a 的单位向量： 与 a 同方向 且长度等于1 的向量，记作aa0 并且 a0；a与 a 共线的单位向量： 与 a 方向相同或相反 且长度等于1 的向量，可表示为a。a4、相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量；5、平行向量（也叫共线向量） ：向量的基线平行或重合，称为向量共线或平行，记作：a b ；即共线的向量方向相同或相反；规

2、定：零向量和任意向量平行 。6、相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是a 。二向量的表示方法：1 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ， b ， c 等；3 坐标表示法： 在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i ， j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为 axiy jx, y ，称x, y 为向量 a 的坐标， a x, y 叫做向量 a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三向量的运算：1 几何运算 ：（ 1）向量加

3、法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点（ 2）向量的减法： 三角形法则的特点：共起点，方向指向被减向量Cab2、向量的数乘运算：实数与向量 a 的积是一个向量，记作a ，它的长度和方向规定如下： aa ,当>0 时， a 的方向与 a 的方向相同， 当 <0 时， a 的方向与 a 的方向相反， 当 0 时， a0 ，3、向量的坐标运算：设 a( x1 , y1), b( x2 , y2 ) ，则：向量的加减法运算： ab( x1x2 ， y1y2 ) 。实数与向量的积 ：ax1 , y1x1 ,y1。若 A( x1 , y1), B( x2 , y2 )

4、，则 ABx2x1 , y2y1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。向量的模 ： | a |x2y2 ,a2x 2y| a |22四平面向量的数量积：1两个向量的夹角 ：对于非零向量 a ，b ，作 OAa OB,b，AOB0称为向量 a ，b 的夹角，记作a, b ，当 0 时， a ， b 同向，当 时， a ， b 反向，当时， a ， b 垂直。22平面向量的数量积 ：如果两个非零向量a ， b ，它们的夹角为，我们把数量 | a |b | cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积或点积） ，记作： ab ，即 a b a b cos。规定：零向量与任

5、一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。3 a 在 b 方向上的正射影的数量为 |a | cos a,ba ba b，它是一个实数，但不一定大于0。= aba b4 向量数量积的性质：设两个非零向量a ， b ，其夹角为，则： a ba b 0 ；当 a ，b 同向时， a2aaa22b a b ，特别地， a, aa ；当 a 与 b 反向时， a b a b ；| a b | | a |b | 。为锐角a b 0，且 a、b 不同向，；为钝角ab 0，且 a、b 不反向；abCC优秀教案欢迎下载高一数学必修四平面向量基础知识与题型归类（2）5、平面向量数量积的坐标运算：设

6、两个非零向量ax1 , y1 ， bx2 , y2，则 a b x1x2y1 y2 若 a2x2y2 ，或 ax2y 2 x, y ，则 a设 ax1 , y1 ， bx2, y2，则 a bx1 x2y1 y20 设 a、 b 都 是 非 零 向 量 ，a1 1，bx2 , y2，是a与bx , ycosa bx1 x2y1 y2a bx12y12 x22y22五向量的运算律：1交换律： abba ，aa ， abba ；2结合律： abca bc,abc abc，ababab3分配律：aaa,abab ， abc acbc 。八、向量中一些常用的结论：（ 1）一个封闭图形首尾连接而成的向量

7、和为零向量，要注意运用；（ 2） |a |b | | ab | a | |b |，特别地，前面等号成立的条件是a、b 同向或有 0 ；后面等号成立的条件是 a、b 反向或有0（ 3）在ABC 中， 重心： 中线的交点且重心将中线分成2： 1 两段；外心： 中垂线的交点；垂心： 高线的交点；内心： 角平分线的交点。 PAPBPC0P 为 ABC 的重心；的夹角，则PA PBPB PCPC PAP 为 ABC 的垂心；222P为 ABC的外心 ; PAPBPC若向量 AP =( ABAC )(0) , 则点 P 的轨迹一定过ABC 的内心；|AB|AC |；提醒：（ 1）向量运算和实数运算有类似的

8、地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量， 切记两向量不能相除( 相约 ) ；（ 2）向量的“乘法”不满足结合律，即 a(bc)(ab)c 。六、向量共线与垂直的条件平行向量基本定理：若aba / / b ，反之，若a / /b(b0)ab （其中是唯一的实数）向量共线的坐标表示：设两个向量 ax1 , y1 ， bx2 , y2，则 a / / bx1 y2y1 x2 0三点共线： 不重合的三点A、B、C 共线ABAC存在实数、 使得PAPBPC且1 .向量垂直的条件 ： aba

9、 b0x1 x2y1 y20 .七、平面向量的基本定理：如果 e1 和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1 、2 ，使 a1e1 2 e2 。其中不共线向量e1,e2叫做一组基底，记作 e1 , e2。优秀教案欢迎下载高一数学必修四平面向量基础知识与题型归类（3）经典题型：一、 基本概念判断正误 ：（ 1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（ 2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（ 3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（ 4）若 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都不是零向量。（ 5）若 A 、 B、 C、D 四点构成平行四边形

10、，则AB CD。（ 6）若 ABCD ，则 A 、B 、C、 D 四点构成平行四边形。（ 7）若 ab ，则 ab 。（ 8）若 a b,bc ，则 a c 。（ 9）若 a / b,b / c ，则 a / c（ 10） 若a cb c,则ab;（ 11）若 mamb ，则 ab 。（ 12）若 mana ，则 mn 。（ 13）若 a b0 ，则 a0 或 b0（14）若 | ab | | ab | ，则 ab 。2 2（ 15） (a b)2 a b二、向量的运算1、化简：AB BCCD_； AB ADDC_； ( AB CD )( AC BD ) _2、若 O是ABC 所在平面内一点，

11、且满足OBOCOBOC 2OA ，则ABC 的形状为 _3、若D为ABC 的边 BC 的中点，ABC 所在平面内有一点P ，满足 PABPCP 0，设|AP|，|PD |则 的值为 _4、若点 O 是 ABC 的外心，且 OAOBCO0 ，则 ABC 的内角 C 为 _5、若 M（ -3 ， -2 ），N（ 6， -1 ），且 MP1 MN3，则点 P 的坐标为 _三、向量的夹角与数量积1、 ABC中， | AB |3，|AC | 4，|BC |5，则 AB BC_2、已知 a(1,1 ), b(0,1 ), cakb , da b ， c 与 d 的夹角为，则 k 等于 _2243、已知平面

12、向量a, b 满足（a b）(2ab)4且 a 2，b4 且，则 a与 b 的夹角为4、已知 a,b 是两个非零向量，且abab ，则 a与ab 的夹角为 _5、 设非零向量 a 、 b 、 c 满足 | a | b | | c |,ab c ，则a, b6、已知a5, ba与b 的夹角2，则向量 b 在向量 a 上的正射影的数量为4，37、已知 | a |3 ， | b | 5 ，且 a b12，则向量 a 在向量 b 上的正射影的数量为 _8、已知 i 与 j 为互相垂直的单位向量，ai2 j ， bij 且 a 与 b 的夹角为锐角，则实数的取值范围是 _9、如图，等边ABC 中， AB

13、2 ADAC4AE4，求BECD10、如图，在矩形ABCD 中， AB2 ，BC2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD上，若 AB AF2，求 AE BF的值优秀教案欢迎下载高一数学必修四平面向量基础知识与题型归类（4）四、向量共线与垂直1、若向量 a ( x,1),b(4, x) ，当 x _时 a 与 b 共线且方向相同2、已知 a,b 不共线，cka b,da b ，如果 c d ，那么 k=, c 与 d 的方向关系是3、a（1，2）,b(2,3)，若向量 c满足于（ c b ， c （ab），则 c _a）4、设 PA( k,12), PB(4,5), PC(10,k )

14、，则 k _时， A,B,C 共线5、以原点 O和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B90，则点 B 的坐标是 _6、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1) ,B(1,3),若点C满足 OC1OA2OB,其中 1 ,2R 且 121, 则点 C 的轨迹方程是 _7、若a(12,5)，求 a 的单位向量；与 a 共线的单位向量；与 a 垂直的单位向量。8、已知 a =（ 1，2）， b =（-3，2），若 k a +2 b 与 2 a -4 b 共线，求实数k 的值；若 k a +2 b 与 2 a -4 b 垂直，求实数k 的值五、向量的模1、 设向量 a ， b

15、 满足 ab1及 4a3b3 ，则 3a5b 的值为2、 设向量 a ， b 满足 a1, b2, a(a2b),则 2ab 的值为3、已知向量 a、b、c 两两之间的夹角为60°，其模长都为1，则 ab2c=.4、已知向量 a(1, sin ), b(1, cos), 则 ab 的最大值为216,ABACABAC,则 AM_5、设点 M是线段 BC的中点，点 A 在直线 BC外， BC六、平面向量基本定理的应用问题1、下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. e1(0,0), e2(1, 2)B.e1(1,2), e2(5,7)C.e1(3,5), e2(6,10)D.131

16、2( ,)e(2, 3),e242、 a （11，），b （11，），c （4，2），则 c （）(A) 3ab(B)3ab(C)a3b(D)a3b3、已知 AD, BE 分别是ABC 的边 BC, AC 上的中线 , 且 ADa,BEb , 则 BC 可用向量 a, b 表示为 _4、已知ABC 中，点 D在 BC 边上，且 CD2DB ，CDr ABs AC ，则 rs 的值是 _5、如图, 在 ABC中 ,AN1 NC,P是BN上的一点,若3APm AB2求实数 m 的值AC ,9A6、如图ABC中， AD2 DB,2 AEEC,BECDP ，E若 APx ABy AC ( x, yR) ，求 xyDPBC优秀教案欢迎下载高一数学必修四平面向量基础知识与题型归类（5）相互垂直，其中（ ， ）3、已知平面向量a (sin , 2),b (1,cos )0七、平面向量与三角函数的综合23（）求和cos的值;1、已知1sin，A 、B 、C 在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为A(3,0)、B(0,3) 、C (cos ,