第六讲多元函数微分法的应用6

1、第六讲 多元函数微分法的应用一、多元函数微分学的几何应用一、多元函数微分学的几何应用二、方向导数与梯度二、方向导数与梯度三、多元函数的极值及其求法三、多元函数的极值及其求法1、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 m 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置.tm空间光滑曲线在点 m 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.点击图中任意点动画开始或暂停一、一、几何应用几何应用(1). 曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况)(00 xxt)( )(00yyt)(, )(, )(:tztytx切线方程切线方程000zzyyxx),(000

2、0zyxmtt对应设 )(0t)(0t)(0t机动 目录 上页 下页 返回 结束 tm切线的方向向量:)(, )(, )(000tttt称为曲线的切向量切向量 .法平面方程法平面方程 0)(00zztzyxo例例1.求圆柱螺旋线 kzryrx,sin,cos2对应点处的切线方程和法平面方程.,2时当切线方程 rx法平面方程xr022kzkxr即002rykrzrxk即解解: 由于,sinrx0ry kkz2,cosry , kz ),0(20krm对应的切向量为0)(2kzk在机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),0,(krt, 故02.:cos,2sincos ,tuxeud uytt例求

3、曲线.程程处的切线和法平面的方处的切线和法平面的方在在013tezt.)(,)(,)(302010zyx, ),(.21000mt 解解,sincos,costtezttytex332. ),(:321t切向量切向量,:32211zyx切线方程切线方程,)()(:02312zyx法平面方程法平面方程.0832zyx或或(2) 曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线0),(0),(:zyxgzyxf曲线上一点),(000zyxm处的切向量为 xyzxyzmijktfffggg例例3. 求曲线0,6222zyxzyx在点m ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. (,)xyzmf f

4、 f解解 令,222zyxgzyxf则切向量(,)(1,1,1);xyzmg g g(2 ,2 ,2 )mxyz(2, 4,2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 242(6, 0, 6)111ijkt 切线方程121zyx606即0202yzx法平面方程0) 1(6)2(0) 1(6zyx即0 zx0),(:zyxf2、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点),(000zyxm任意引光滑曲线mt可以证明:此平面称为 在该点的切平面切平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 上过点 m 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. 过点 m 与切平面垂直的直线称为法线法线n

5、)( ),(0000 xxzyxfx曲面 在点 m 的法向量法向量法线方程法线方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxfy0)(,(0000zzzyxfz切平面方程切平面方程),(000zyxfx),(000zyxfy),(000zyxfzmtn),(, ),(, ),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx复习 目录 上页 下页 返回 结束 )( ),(000 xxyxfx时, ),(yxfz zyxfzyxf),(),(则在点),(zyx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程法线方程,yyff 1zf令000(,)xyz 在点特别特别,

6、当光滑曲面 的方程为显式 )( ),(000yyyxfy,xxff 切平面方程切平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 的法向量法向量0000(,),(,),1)xynfxyfxy0()0zz例例4. 求曲面3632222zyx在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解解:3632),(222zyxzyxf所以曲面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即法线方程法线方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令机动 目录 上页 下页 返回 结束 )6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n.2 ,2xyzx

7、 zy解ppyxn),(122,),(124041224)()()(:zyx切切平平面面0624zyx或或.:142142zyx法线方程法线方程225.1(2,1, 4)zxyp例求旋转抛物面在点.处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程,.32yxezfz解解0002112)()()(:zyx切平面切平面042 yx或或,:001221zyx法线法线6.23(1, 2, 0)zzexyp例求曲面在点处的.切平面及法线方程切平面及法线方程),(),(,021021122zexyn, ),(024, ),(012n取取0320yxz或或.0002zyx或或2227.2321xyz例求曲面平行于平

8、面.的切平面的方程的切平面的方程064zyx,),(.为曲面上的切点为曲面上的切点设设解解000zyxp000(2, 4, 6)nxyz法向量,由于切平面平行于已知 平面00020202022132zyxzyx,664412000zyx所以所以221221000000zyxorzyx, ),(:3211p切点切点, ),(:641n法向量法向量, ),(3212p:两张切平面两张切平面221221000000zyxorzyx064zyx平面平面,)()()(0262411zyx.)()()(0262412zyx:化简得化简得,021641zyx.021642zyx思考与练习思考与练习1. 如果

9、平面01633zyx与椭球面相切,提示提示: 设切点为, ),(000zyxm则223yx .求000226zyx3301633000zyx163202020zyx2机动 目录 上页 下页 返回 结束 162 z(二法向量平行) (切点在平面上)(切点在椭球面上)2. 求曲线0453203222zyxxzyx在点(1,1,1) 的切线解解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为)2,2, 1(因此切线的方向向量为)1,9,16(由此得切线:111zyx1691法平面:0) 1() 1(9) 1(16zyx024916zyx即与法平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1 , 1 , 1

10、 (1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnll),(zyxp1、方向导数、方向导数定义定义: 若函数),(zyxff0lim则称lflf为函数在点 p 处沿方向 l 的方向导数方向导数.),(),(lim0zyxfzzyyxxf在点 ),(zyxp处沿方向 l (方向角为, ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 p记作记作 二、方向导数与梯度二、方向导数与梯度,),(),(处可微在点若函数zyxpzyxf),(zyxpl定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在 ,flf0limcoscoscoszfyfxflf.,的方向角为其中l证明证明:

11、 由函数),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在点 p 可微 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 p故coscoscoszfyfxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数, ),(yxf为, ) 的方向导数为方处沿方向在点(),(lyxpflcos),(cos),(yxfyxfyxplxyoxflf特别特别: : 当 l 与 x 轴同向有时,2,0 当 l 与 x 轴反向有时,2,xflfl向角例例1. 求函数 在点 p(1, 1, 1) 沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方向导数 .,142cosplu) 1, 1, 1 (14

12、6,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 向量 l 的方向余弦为例例2. 求函数 从点p(1, 0)到点223yyxz(2, 1)q的方向导数.解解:plz1cos,232 (1, 1)lpq 162xy21(32 )2xy(1,0)1cos2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、梯度、梯度 方向导数公式coscoscoszfyfxflf令向量说明方向：f 变化率最大的方向模 : f 的最大变化率之值机动 目录 上页 下页 返回 结束 zfyfxfg,:g 定义定义, fadrg即grad( , , )f x y z同样可

13、定义二元函数),(yxf),(yxpgrad( , ),fffff x yijxyxy称为函数 f (p) 在点 p 处的梯度zfyfxf,kzfjyfixf记作(gradient),在点处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 g说明说明:的方向为函数增大最快的方向向量grad fmax( , , )fgradf x y zl例例3 3. 设函数222( , , )23326f x y zxyzxyxyz 求梯度梯度(0,0,0),(1,1,1)gradfgradf解解:grad( , , )f x y zzfyfxf,23, 42, 66xyyxz(0,0,0)(3, 2, 6)gra

14、df(1,1,1)(6,3,0)gradf例例4 4. 设函数2( , )yf x yxe0,(1,0)p求函数在点0(1,0)p增加最快的方向，并求沿这个方向的方向导数。解解:沿梯度方向函数增加最快沿梯度方向函数增加最快所求方向为所求方向为(1,0)grad(1,0),fflfxy22(1,0), 2(1,2)yyexe(1,0)fgradflfx5例例5 5. 设函数zyxzyxf2),(1) 求函数在点 m ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 12 32tztytx在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在 m( 1, 1, 1 ) 处的梯度梯度机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:

15、(1)12 ,lnzzxyzfx fzyfyy曲线 12 32tztytx在点m (1,1,1) 处切线的方向向量l)3,4, 1 (1dd,dd,ddttztytx)1 , 1 , 1(coscoscoszyxmffflf266机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数沿 l 的方向导数143210262626 (2) grad(1,1,1)(2,1, 0)fxyz三、三、 多元函数的极值多元函数的极值 定义定义: 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的

16、点称为极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有xyzxyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、极值的定义及求法、极值的定义及求法说明说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如,定理定理1 (必要条件) 函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值 ,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.且在该点取得极值 , 则有),(),(00yxyxfz在点存在),(),(00yxyxf

17、z在点因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 时, 具有极值定理定理2 (充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令则: 1) 当a0 时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfcyxfbyxfayyyxxx02 bac02 bac02 bac机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1. 求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点: (1, 0)

18、 , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组abc),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值.求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12a,0b,6c,06122 bac5)0, 1 ( f,0axyxyxyxf933),(2233机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12a,0b,6c,06122 bac)0,3( f6,0,12cb

19、a31)2,3( f,0)6(122 bac,0a在点(1,2) 处不是极值;6,0,12cba)2, 1 (f,0)6(122 bacabc机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二步第二步 求驻点求驻点定解第一步 找目标函数, 确定定义域2. 函数的最值问题函数的最值问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三步第三步 由问题的实际背景可知最值在区域内部取得, 且只有一个只有一个驻驻点p 时, 则)(pf为最小 值( (大大) )例例2 2.解解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有

20、盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,m2yx2ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxya0)(222yyxa因此可断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为高为时, 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233机动 目录 上页 下页 返回 结束 3、条件极值、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如 ,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3.22( , )12xf x yxyy求在条件下的极值解解: 由约束条件有由约束条件有12xy 得：22(1)2xfx2514xx2524()455x故24,1525xxy 时，函数有极小值222 4244( , )5 5555f,0),(下在条件yx方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.步骤：2.解方程