高一数学教材习题变式训练(数列)

1、优秀学习资料欢迎下载数学教材习题变式训练（数列）一、有关通项问题1、利用 anS1(n1)SnSn 1(n求通项 2)（北师大版第20 页习题5）数列 an 的前 n 项和 Snn21 （ 1）试写出数列的前5 项；（ 2）数列 an 是等差数列吗？（3）你能写出数列 an 的通项公式吗？变式题1、设数列 an 的前 n 项和为 Sn=2n 2，求数列 an 的通项公式；解：（1）：当 n1时, a1S12;当n时SnSn 12n22(n 1)24n2,2, an故 an 的通项公式为an4n2,即 an 是 a12,公差 d4 的等差数列 .变式题2、数列 an 的前 n 项和为n，且 a1

2、=1， an 11a2， a3，a4 的SSn ， n=1， 2，3，求3值及数列 an 的通项公式解：（ I）由 a1=1， an 11Sn ， n=1 ，2， 3，得3a1 S1 a1 ， a1 S1 ( a a)4 ， a1 S1 ( a aa)16 ，2313133323129433312327由 an1an1 (Sn Sn 1 )1 an （ n 2），得 an14 an （ n 2），333又 a2= 1 ，所以 an= 1 ( 4 )n 2 (n 2),3331n 1 数列 an 的通项公式为 an14n 2n 2()33变式题 3、已知数列 an的首项 a15, 前 n 项和为

3、 Sn ，且 Sn 1Sn n 5(n N * ) ，证明数列an 1 是等比数列解： 由已知 Sn 1Sn n5(n N * ) 可得 n2, Sn 2Sn 1 n4 两式相减得Sn 1 Sn2 SnSn 11 即 an 12an1 从而 an 1 1 2 an1 当 n 1 时 S2 2S1 1 5所以 a2a1 2a16 又 a15所以 a2 11 从而 a2 1 2 a1 1优秀学习资料欢迎下载故总有 an 1 12( an 1) ， nN * 又 a15, a11 0 从而 an 112 即数列 an1 是等比数an1列；2、解方程求通项： （北师大版第17 页习题3）在等差 数列

4、an 中，（1）已知 S848, S12168,求 a1和 d ；（ 2）已知 a6 10,S55, 求 a8和 S8 ；(3) 已知 a3 a1540,求 S17 .变式题 1、 an 是首项 a1 1 ，公差 d 3的等差数列，如果 an2005 ，则序号 n 等于（A ） 667（B ） 668（ C） 669（D ） 670分析： 本题考查等差数列的通项公式，运用公式直接求出.解： an a1 (n1)d 1 3(n1) 2005 ，解得 n 669 ，选 C点评：等差等比数列的通项公式和前n 项和的公式是数列中的基础知识，必须牢固掌握.而这些公式也可视作方程，利用方程思想解决问题.3

5、、待定系数求通项：写出下列数列an的前 5 项：（1） a1 1 , an4an 11(n1).2N*).变式题1、已知数列 an满足 a1 1,an 1 2an1(n求数列an 的通项公式；解：an 12an1(nN* ),an 11 2( an1),an1 是以 a11 2 为首项， 2 为公比的等比数列an1 2n .即 an2n1(nN*).4、由前几项猜想通项：（北师大版第8 页习题 1）根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.（1）（4）（ 7）（）（）变式题1、如下图，第（ 1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正

6、方形“扩展”而来，如此类推. 设由正 n 边形“扩展”而来的多边形的边数为an ，优秀学习资料欢迎下载则 a61111；a4a5.a3a99解：由图可得： an 2nn(n1)n2n ，所以 a642 ；又11111ann 2 n n n( 1) n n1所以 1111=(11111111973) (4)(100)100300a3a4a5a9945993变式题2、（北师大版第9 页习题 2）观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样， 10 条直线相交，交点的个数最多是（），其通项公式为.A40 个B45 个C50 个D55 个2 条直线相3 条直线相4 条直线相交，最多有1交，最多有3交，最多有

7、6个交点个交点个交点解： 由题意可得：设 an 为 n 条直线的交点个数，则a21， anan 1 (n 1),( n3) ，因为anan 1n1，由累加法可求得： an 12n(n1)10945 ，(n 1)2，所以 a102选 B.二、有关等差、等比数列性质问题1、（北师大版第31页习题3）一个等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为，则前3n 项60的和为（）A 83B 108C 75D 63变 式 题1 、 一 个 等 差 数 列 前 n 项 的 和 为48 ， 前2 n 项 的 和 为60 ， 则 前3 n 项 的 和为。解： 若数列 an 为等差数列，则 Sn , S2nSn

8、, S3 n S2 n 等差数列，可得：48， 12， S3n -60成等差数列，所以S3 n =36.变式题 2、优秀学习资料欢迎下载等比数列 an 的各项为正数，且 a5 a6a4a7 18, 则 log 3 a1log 3a2log 3 a10（）A12B 10C 8D 2+ log 3 5解：因为 a5a6a4a7 18, 所以 a5a6a4a7 2a1a1018a1a109 ，而 log 3 a1log 3a2log 3 a10log 3 ( a1a2a10 )log 3 (a1a10 )510 ，所以选 B.点评：高考试题的一个重要特点就是考查学生对问题敏锐的观察能力和迅速有效的思

9、维能力，灵活运用数学知识和性质可提高我们的正确解题的速度 . 因此，对相关知识的性质要深刻地理解和掌握并能灵活运用 .2、（北师大版第19 页习题4）设数列 an是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A 1B.2C.4D.8变式题1、在各项都为正数的等比数列 an中，首项a13 ，前三项和为21，则 a3a4a5（）（ A） 33 （ B） 72（ C） 84（D ） 189分析： 本题主要是考查等比数列的基本概念和性质，可利用方程思想将等比数列问题转化为a1和 q 处理，也可利用等比数列的定义进行求解.解法一 ：设公比为a13得 q2 或 q3 0（舍去

10、)，q ，由题知，a1q2a1a1q21a3 a4 a5 84 ，故选 C.解法二 ：由 a13, a1a2a3 21 得， q2 ( q30舍去)，a3 a4 a5q2 ( a1a2a3 ) 84 .三、数列求和问题1、（北师大版第20 页习题 4）已知 an 是等差数列， 其中 a131 ，公差 d8 。（ 1）求数列 an 的通项公式， 并作出它的图像； （ 2）数列 an 从哪一项开始小于？（ ）求数列n前 n 项03 a和的最大值，并求出对应n 的值变式题 1、已知 an 是各项不为零的等差数列，其中 a10 ，公差 d0 ，若 S100 ,求数列 an 前 n 项和的最大值优秀学习

11、资料欢迎下载解： S1010(a1a10 )0 ，所以 a5 0, a60 ，即数列 an 前 5 项和为最大值25(a5 a6 )变式题 2、在等差数列 an 中， a125 ， S17S9 ，求 Sn 的最大值解法一 ：由 S17S9 ，得： 251717 (171)d 2599 (9 1)d ，解得 d 2 n ( n 1)( 2)22Sn 25n(n13)2169 2由二次函数的性质，当n13时， Sn 有最大值 169解法二： 先求出 d2 ，a125 0，an252( n1)0n13 1由2 ，所以当 n13时， Sn 有最大值 169an 1252n0n12 12解法三： 由 S

12、17S9 ，得 a10a11a170 ，而 a10a17a11a16a12a15a13a14 ，故 a13a14 0d20, a10, a130, a140, 故当 n13时， Sn 有最大值 169点评：解决等差数列前n 项和最值问题的方法通常有：、利用二次函数求最值；、利用通项公式 an 求 n 使得 an an 10 ；利用性质求出符号改变项2、求和： Sn12x 3x2nxn1变式题 1、已知数列 a4n2和bn2，设 can，求数列 c 的前n 项和 T nn4n1nnbn解：cnan4n2(2 n 1)4n1 ，bn24n 1Tnc1c2cn1341542(2n1)4n 1 ,4T

13、n14 342543(2n3)4n 1 (2 n1)4n两式相减得3Tn1 2(414Tn1 ( 6n5)4923n 1n1n44)(2n1)4( 6n5) 45n5.优秀学习资料欢迎下载变式题 2、设 an 是等差数列， bn 是各项都为正数的等比数列，且a1b11 ， a3b521 ，a5b313（）求 an ， bn 的通项公式； （）求数列an的前 n 项和 Sn bnan的公差为 d ， bn的公比为 q ，则依题意有 q12dq421，解：（）设0 且4dq213，1解得 d2 ， q2 所以an1 (n1)2n1， bqn 12n 1dn（） an2n1352n 32n1bn2n

14、 1 Sn121222n 22n 1 ，2Sn2352n32n1 ，22n 3n222222n1得 Sn222n2n1，22222211112n12222n22n 1112n1222n 1112n126 2n 3 2n 1点评：错位相减法适用于通项公式形容an bn 的数列，其中 an 是等差数列，bn 是各项不为 0 的等比数列变式题 2设等比数列 an 的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若 Sn+1,Sn，Sn+2 成等差数列，则q 的值为.分析： 本题主要考查等比数列的求和公式，等差数列的概念运用，可直接求得.解： Sna1(1qn ) ， 2SnSn 1Sn 2 ，则有 2a1 (1

15、qn )a1 (1qn 1 )a1 (1qn 2 ) ，1q1q1q1qq2q 2 0 ， q2 .，若 q1 ，则 2Sn2n Sn 1Sn 2(n 1) (n 2)2n 3 。优秀学习资料欢迎下载3、利用等比数列的前n 项和公式证明anan 1b an 2b2ab n 1bn = an 1bn 1( n N , a 0, b 0)ab变式题 、已知 un a nan 1ba n 2 b2abn1b n( nN , a0,b0) .当 ab 时，求数列 u n的前 n 项和 Sn 解：（）当 ab 时， un( n1)an 这时数列 un 的前 n 项和Sn2a 3a 24a 3nan 1(

16、n 1)a n 式两边同乘以 a ，得aSn2a23a 34a4na n( n 1)a n 1式减去式，得(1a) Sn2aa 2a 3a n( n1)a n1若 a 1 ，(1a) Sna(1an )( n 1)an 1a ，1aSna(1a n )a (n1) an 1(n1)a n 2( n2)a n 1a 22a(1a) 21a(1a) 2若 a1 ， Sn2 3n(n3)n (n 1)2na1 (q1)点评：在使用等比数列的求和公式时，要注意对公比q 的讨论，即 Sn，这a1 (1q )n(q 1)1q是学生平时容易忽略的问题，应引起足够的重视，另外要求学生有运算化简的能力.4、（

17、）已知数列 a 的通项公式为a1，求前 n 项的和；（2）已知数列 an 的通项公1nn1)n(n式为 an1，求前 n 项的和nn1变式题1、已知数列 an 的通项公式为 an n1 ，111，求 Tn 2设 Tna2 a4a1 a3an an 2解：142（11）an an 2(n 1)(n 3)n 1 n 3Tn1112（1 1）（11）（ 11）（1 1）a1a3a2 a4an an 22 43 54 6n n 2优秀学习资料欢迎下载111111（）2（ ）.n 1n 323n 2n 3变式题 2、数列 a n 中， a1 8， a4 2，且满足： an+2 2an+1 an 0（ nN* ），（）求数列 a n 的通项公式；（）设bn1*，b1 b2bn，是否存在最大的整数m，使得任意n(12( n N ) Snan )的 n 均有 Sm 总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由n32解：（） an+2 2an+1 an0， an+2 an+1 an+1 an（ n N* ）， an 是等差数列，设公差为d， a1 8， a4 a1 3d 8 3d 2， d 2， an 8（ n 1） &#